Равномерный закон распределения

 

Непрерывная с. в. X имеет равномерное распределение на отрезке [а, 6], если ее плотность вероятности f(x) постоянна на этом отрезке, а вне его равна нулю:

№ = {Ь-а' прихеЕа.Ь],

+0< /

при х ^ [а, Ь],

(т. е. f(x) = с при х 6 [а, 6], но

+оо

cdx — 1, —оо

отсюда следует, что еж = 1, с = —; вместо отрезка [а, 6] можно

а о — а

писать (а, Ь) или (а, Ь], [а, Ь), так как с. в. X — непрерывна.)

График плотности f(x) для равномерного распределения н.с.в. X изображен на рис. 28.

(яг) = (б-а1 1°.

Равномерное распределение с. в. X на участке [а, Ь] (или (а, 6)) бу­дем обозначать: X ~

F(x) =

Найдем функцию распределения F(x) для X ~ R[a, Ь]. Согласно формуле (см. п. 2.4)

) = J f(x)dx,

№ 1
6 — а	1 1 J 1 1 1	] J 1 1 j
	а	b	X

Рис 28

 

имеем

 

b — а

— ^х ~ ^а а Ь — а

 

при а < х ^ b\ F(x) = 0 при х ^ а, и а 6

 

= 1

b — a

F(®)= J Odt + J + J0di

 

при x > b. Таким образом,

 

О, при а? ^ а,

(2.33)

F(a; ) = f—при о < х < Ь, I О-Й

X, при b < х.

График F(x) изображен на рис. 29.

F(x) 1
	a	b	X

 

Рис. 29

Определим MX и DX с. в. X ~ R[a, Ь]. Согласно формуле (2.11),

а Ь -f оо

МХ = J x-0dx + J ■ j^dx+ J x-0 =

(Ожидаемый результат: математическое ожидание с. в. X ~ R[a, b] равно абсциссе середины отрезка; MX совпадает с медианой, т. е MX = М_еХ.)

\

Согласно формуле (2.14). Ь

а

1 /(6-а)³ (а — б)³ \ (6-а)²

3(6 - а) V 8 8 J 12 '

Таким образом, для н. с. в. X ~ R[a, 6] имеем

MX = ЯХ = (2.34)

Пример 2.11. Пусть с. в. X ~ Л(а, 6). Найти вероятность попадания с. в. X в интервал (а, /? ), принадлежащий целиком интервалу (а, 6).

О Согласно формуле (2.8), имеем

Р{ХЕ(а, Р)} = J f{x)dx = J _v^X—dx = а а

т.е. Р{Хе(_а, /3)} = ^.

Геометрически эта вероятность представляет собой площадь пря­моугольника, заштрихованного на рис. 30. •

		>
		ш
	a a fib х

Рис. 30

 

К случайным величинам, имеющим равномерное распределение, относятся: время ожидания пассажиром транспорта, курсирующего с определенным интервалом; ошибка округления числа до целого (она равномерно распределена на отрезке [—0, 5; 0, 5]). И вообще случайные величины, о которых известно, что все ее значения лежат внутри не­которого интервала и все они имеют одинаковую вероятность (плот­ность).

Дискретная случайная величина X имеет равномерное распреде­ление, если она принимает целочисленные значения 1, 2, 3, п с вероятностью р_т = Р{Х - т} — где т = 1, 2, 3,..., п.

В этом случае MX = Мр, DX = ¹. Так, при п = 5,

многоугольник распределения имеет вид, представленный на рис. 31, MX — 3.

р 1 0, 2
							X

Рис 31

 

Показательный закон распределения

_ ГЛе

О

Непрерывная случайная величина X имеет показательный (или экспоненциальный) закон распределения, если ее плотность вероятно­сти имеет вид

(2.35)

/м =

при х ^ О, при х < О,

где Л > 0 — параметр распределения.

График плотности f(x) приведен на рис. 32.

№

О

Рис 32

Функция распределения показательного распределения имеет вид

-As

Г1-е 1°.

при х ^ О, при х < 0.

(2.36)

F(x) =

□ F{x)= J f(t)dt= j 0dt + Jxe~^Xxdt = 1 -e~^Xx.

-oo 0

—oo

График F(x) представлен на рис. 33.

F(x) 1
	X

Рис. 33

 

Найдем математическое ожидание и дисперсию показательного распределения:

оо о

MX = J х • Хе~^Хх dx = ^lim J x • Xe~^Xx dx = [интегрируем по частям] —

о Л

= 0-i(0-l) = i

— Ax

— lim f —x ■ e b—► oo

 

uv ои

x2e~Xx dx-~ = A2

DX = J x²f{x)dx-{MX)² = [формула (2.17)] = xj

— [дважды интегрируем по частям] —

 

= Л [ lim , Ь~юо

X2

X² -\х, 2 ( X ~\х 1 „-Лаг

 

Таким образом,

(2.37)

Найдем вероятность попадания случайной величины X, распределен­ной по показательному закону, в интервал (а, Ь). Используя форму­лу (2.2) и формулу (2.36), получаем

Р{а < X < Ь} = F{b) - F[a) = (1 - е~^А6) - (1 - е~^Ха) - е" ^Ла - е" ^ЛЙ, т. е. Р{а < X < Ь} = е~^Ха - е~^хь.

Пример 2.12. Случайная величина Т — время работы радиолампы имеет показательное распределение. Найти вероятность того, что лам­па проработает не менее 800 часов, если среднее время работы радио­лампы 400 часов.

О МТ = 400, значит (формула (2.37)), Л = Искомая вероятность

Р{Т > 800} = 1 -Р{Т < 800} = 1-^(800) = 1-(1-е400) = е" ² « 0, 135.

•

Показательное распределение используется в приложениях теории вероятностей, особенно в теории массового обслуживания (ТМО), в фи­зике, в теории надежности. Оно используется для описания распреде­ления случайной величины вида: длительность работы прибора до пер­вого отказа, длительность времени обслуживания в системе массового обслуживания и т. д.

Рассмотрим, например, н. с. в. Т — длительность безотказной ра­боты прибора. Функция распределения с.в. Т, т.е. F(t) — Р{Т < i}, определяет вероятность отказа за время длительностью t. И, значит, вероятность безотказной работы за время t равна R(t) = Р{Т > t] — = 1 — F(t). Функция R(t) называется функцией надежности.

Случайная величина Т часто имеет показательное распределение. Ее функция распределения имеет вид F(t) = 1 — e~^Xt (формула (2.36)). В этом случае функция надежности имеет вид R(t) — 1 — F(t) = = 1 — (1 — е~^Л£ ) = т. е. R(t) = e~^Af, где Л — интенсивность от.казов_} т. е. среднее число отказов в единицу времени.

Показательный закон — единственный из законов распределения, который обладает свойством «отсутствия последствия» (т. е. если про­межуток времени Т уже длился некоторое время г, то показатель­ный закон распределения остается таким же и для оставшейся части Ti = Т — г промежутка).

Нормальный закон распределения

а

Нормальный закон («закон Гаусса») играет исключительную роль в теории вероятностей. Главная особенность закона Гаусса состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются, при определенных условиях, другие законы распределения. Нормаль­ный закон наиболее часто встречается на практике.

Непрерывная с. в. X распределена по нормальному закону с пара­метрами а и о > 0, если ее плотность распределения имеет вид

(х - а)²

/(яг) = ----- е" 2а*, х е R. (2.38)

а • V 27г

Тот факт, что с. в. X имеет нормальное (или гауссовское) распреде­ление с параметрами а и а, сокращенно записывается так: X ~ N(a, а). Убедимся, что f(x) — это функция плотности. Очевидно, f(x) > 0.

оо

Проверим выполнение условия нормировки J f(x) dx = 1. Имеем:

— 00

⁰⁰ (х а)^{2 00} ( х — а \²

J о ■ л/2тг о • \/2тг / \> /2 • о)

оо

Л/ТГ / л/7Г

—оо

Здесь применили подстановку и использовали «интеграл Пуассона»

оо

J е^-*² dt — у/п. (2.39)

—оо

о г2

= £ JAdz = ^= J

Из равенства (2.39) следует:

= J е~ 2 (2.40)

О 0 -оо

ж

Функция распределения F(x) = J f (t) dt н. с. в. X ~ N(a, а) имеет

-00

вид

! }

F(x) = --- / е (2.41)

СГ • V27T J

-оо

Если а = 0и< т = 1, то нормальное распределение с такими параме­трами называется стандартным. Плотность стандартной случайной величины имеет вид

х²

V 27Г

С ней мы уже встречались в п. 1.21, формула (1.37). Функция распределения с. в. X ~ iV(0, 1) имеет вид

^Х 2 f2

Ф{х) = —L. [ е" 2 dt sfbx J

—оо

и называется, как мы уже знаем (п. 1.21, формула (1.42)), функци­ей Лапласа. Она связана с нормированной функцией Лапласа Фо(^) (п. 1.21, формула (1.40)), как мы уже знаем (формула (1.43) п. 1.21), равенством

Ф(х) = 0, 5 + Фо(я). (2.42)

Действительно,

^х 2 ⁰ 2 ¹ 2 Ф{х) = j е~~2" dt = / е~ 2" dt + f е~г dt =

y/bi J y/bi J

—oo —oo 0

(см. (2.40)).

оо

Установим смысл параметров а и а нормального распределения. Для этого найдем математическое ожидание и дисперсию с. в. X ~ ~ JV(a, сг).

(х - а)²

/

1 Г _ ^ ~ > х • fix) dx = Ц= х-е 2о-² =

сг ■ > /27Г J

—оо —оо

оо

= подстановка ^{х а} = t =---------- I (y/2ot + a)e~^{< 2} splo dt —

дуД yft

[ уДа J a • J

-oo oo

J V* J V⁷¹"

т. e. MX = a. Первый интеграл равен нулю, так как подинтегральная функция нечетная, а пределы интегрирования симметричны относи­тельно нуля, а второй интеграл равен у/тх (см. равенство (2.39)). Таким образом, параметр а — математическое ожидание.

При нахождении дисперсии с. в. X ~ N(a, сг) снова сделаем подста-

/р_ а

новку — y=r— = t и применим метод интегрирования по частям: V2а

^{00 00} (х - о)²

DX = [ [x-a)²f{x)dx = [ =

2e-t2dt=:

J J < jv27T

оо

= f 2< T²t²e-^t2*V2dt=*£ [ t

< 7\/27Г J \Д J

— OO

—oo

Таким образом, DX = сг², a cr — среднее квадратичное отклонение. Можно показать, что для с. в. X jV(a, cr): МоХ = М_еХ = а,

о⁶ сг⁴

Исследуем дифференциальную функцию (2.38) нормального за­кона:

1. f{x) > 0 при любом х £ = (—00, 00); график функции расположен выше оси Ох.

2. Ось Ох служит асимптотой графика функции /(х), так как

lim fix) = 0.

(х - о)2

3. Функция f(x) имеет один максимум при х = а, равный f{a) ~ — ^:. Действительно,

< 7> /2ТГ

(я — а) _

/'(_Я) = -1—^е 2а² V27T

Отсюда f'(x) — 0 при х = а, при этом: если х < а, то f^f(x) > 0, а если х > а, то /'(а? ) < 0. Это и означает, что х = а точка максимума

и /шах = /(о) = ¹

оу/ЪК

4. График функции /(з? ) симметричен относительно прямой х = а, так как аналитическое выражение f(x) содержит разность х — а в квадрате.

5. Можно убедиться, что точки

Mi (а - а, —\=е~2 ] и М₂ (а + а, —2 )

V ау/2тг ) \ ау/2тг J

являются точками перегиба графика функции f(x). Пользуясь результатами исследования, строим график плотности распределения вероятности нормального закона — кривую распреде­ления, называемую нормальной кривой, или кривой Гаусса (рис. 34).

 

Как влияет изменение параметров а и а на форму кривой Гаус­са? Очевидно, что изменение а не изменяет форму нормальной кривой (графики функции f{x) и f(x — а) имеют одинаковую форму; график f[x — а) получается из графика функции f(x) путем сдвига последнего на а единиц вправо, если а > 0, и влево, если а < 0). С изменением о максимальная ордината точки кривой изменяется. Так как площадь, ограниченная кривой распределения, равна единице при любом значе­нии < 7, то с возрастанием а кривая Гаусса становится более пологой, растягивается вдоль оси Ох —

На рис. 35 изображены нормальные кривые при различных значе­ниях a (< 7i < о < СГ2) и некотором значении а (одинаковом для всех трех кривых).

SW	г	\	-- сг i
___ —-i	J-	N	Чс
	а		X

 

Рис. 35

Нормальному закону подчиняются ошибки измерений, величинь износа деталей в механизмах, рост человека, ошибки стрельбы, вес- клубней картофеля, величина шума в радиоприемном устройстве, ко­лебания курса акций и т. д.

Найдем вероятность попадания с.в.Х~ N(a, a) на заданный уча­сток (а, /3). Как было показано,

о

dx

Р{а< Х < Ь} = J f{x)

(п. 2.4, формула (2.8)). В случае нормального распределения

₁ г _> ~^й)2 г _ л

Р{а < X < /3} = / е 2с² dx = - t \ =

< jy/2'K J L J

а

ft — a fi — Q а — а

° t^{2 а} t^{2 С} t² = —/ 2" dt = —/ е~2' dt / dt.

ч/2тг J \/2тг 7 ч/2тг У

а — а а

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. A. законом, иными правовыми актами или договором.
2. B. Сущность закона Мосеева завета
3. I. Имущественные права в силу закона
4. I. Когда все это закончится?
5. I.Закончите предложения, употребляя сложное дополнение.
6. II. СВЯЩЕНСТВО. ЖЕРТВА. ЗАКОН
7. VI. ПРЕСТУПЛЕНИЯ ПРОТИВ МЕЖДУНАРОДНОГО МИРА В УГОЛОВНОМ ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВЕ РОССИИ
8. Абсолютизировало законы механики применительно к социальной философии философское направление: французского материализма XVIII века
9. Административная и уголовная ответственность за нарушение законодательства по
10. Административная юстиция как способ обеспечения режима законности публичного управления
11. Административно-рыночная экономика позднего СССР и обычное право — неписаные законы
12. Аналогия права и аналогия закона. Обычаи делового оборота