Экономико-математические модели

Этап 3

перенос знаний
с модели на
оригинал

Рисунок 1.1.Схема процесса моделирования.

Для понимания сущности моделирования важно не упускать из виду, что моделирование - не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования «погружен» в более общий процесс познания. Это обстоятельство учитывается не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств познания.

Моделирование — циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах.

Метод моделирования может применяться для исследования объектов любой природы.

Все множество моделей делится на два класса: модели материальные (предметные) и модели идеальные (мысленные). Среди материальных моделей наибольшее распространение получили физические модели, представляющие собой материальные объекты той же природы, что и объект-оригинал. Физические модели широко используются в технических и естественных науках, однако в экономике возможности их применения (то есть – экспериментирование на реальных объектах) существенно ограничены.

Класс идеальных моделей объединяет довольно разнообразные модели, среди которых наибольший интерес представляют знаковые модели, использующие определенный формализованный язык. В свою очередь, важнейшим видом знаковых моделей являются логико-математические модели , представляющие собой определенную систему математических отношений и логических выражений (функций, уравнений, неравенств, алгоритмов, и др.), отражающих существенные свойства исследуемого объекта. Именно логико-математические модели широко применяются в экономических исследованиях.

Математическое моделирование в широком смысле — метод исследования, основанный на аналогии процессов и явлений, различных по своей природе, но описываемых одинаковыми математическими зависимостями. В современной научно-технической творческой деятельности математическое моделирование является, безусловно, важнейшей формой моделирования, а в экономических исследованиях и практике планирования и управления — доминирующей формой.

Математическая модель любого объекта (процесса, явления) включает три группы элементов:

· характеристики объекта, которые нужно определить - вектор Y = (Y_i);

· характеристики внешних, изменяющихся условий – X = (X_i);

· совокупность внутренних параметров объекта – А.

Множество условий и параметров (X и А) могут рассматриваться как экзогенные величины (определяемые вне модели), а величины Y - как эндогенные (определяемые с помощью модели). Таким образом, математическую модель можно интерпретировать как особый преобразователь внешних условий объекта («входа») в искомые характеристики объекта («выхода»).

По способам выражения соотношений между внешними условиями, внутренними параметрами и искомыми характеристиками математические модели делятся на два основных типа:

· структурные, отражающие внутреннюю организацию объекта – его составные части, внутренние параметры, связи с входом и выходом;

· функциональные, нацеленные на познание сущности объекта через важнейшие проявления этой сущности – деятельность, функционирование, поведение; внутренняя структура при этом не изучается (то есть – не используется информация об А), объект представляет собой по сути «черный ящик», о котором известны только значения «входа» и «выхода».

Рис. 1.2. Связи этапов экономико-математического моделирования

Обратим внимание на возвратные связи этапов, возникающие вследствие того, что в процессе исследования обнаруживаются недостатки предшествующих этапов моделирования.

Уже на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи противоречива или приводит к слишком сложной математической модели. В соответствии с этим исходная постановка задачи корректируется. Далее математический анализ модели (этап 3) может показать, что небольшая модификация постановки задачи или ее формализации дает интересный аналитический результат.

Наиболее часто необходимость возврата к предшествующим этапам моделирования возникает при подготовке исходной информации (этап 4). Может обнаружиться, что необходимая информация отсутствует или же затраты на ее подготовку слишком велики. Тогда приходится возвращаться к постановке задачи и ее формализации, изменяя их так, чтобы приспособиться к имеющейся информации.

Поскольку экономико-математические задачи могут быть сложны по своей структуре, иметь большую размерность, то часто случается, что известные алгоритмы и программы не позволяют решить задачу в первоначальном виде. Если невозможно в короткий срок разработать новые алгоритмы и программы, исходную постановку задачи и модель упрощают: снимают и объединяют условия, уменьшают число факторов, нелинейные соотношения заменяют линейными, усиливают детерминизм модели и т.д.

Недостатки, которые не удается исправить на промежуточных этапах моделирования, устраняются в последующих циклах. Но результаты каждого цикла имеют и вполне самостоятельное значение. Начав исследование с построения простой модели, можно быстро получить полезные результаты, а затем перейти к созданию более совершенной модели, дополняемой новыми условиями, включающей уточненные математические зависимости.

По мере развития и усложнения экономико-математического моделирования его отдельные этапы обособляются в специализированные области исследований, усиливаются различия между теоретико-аналитическими и прикладными моделями, происходит дифференциация моделей по уровням абстракции и идеализации.

Теория математического анализа моделей экономики развилась в особую ветвь современной математики — математическую экономику. Модели, изучаемые в рамках математической экономики, теряют непосредственную связь с экономической реальностью; они имеют дело с исключительно идеализированными экономическими объектами и ситуациями. При построении таких моделей главным принципом является не столько приближение к реальности, сколько получение возможно большего числа аналитических результатов посредством математических доказательств. Ценность этих моделей для экономической теории и практики состоит в том, что они служат теоретической базой для моделей прикладного типа (других уровней абстракции и идеализации).

Довольно самостоятельными областями исследований становятся подготовка и обработка экономической информации и разработка математического обеспечения экономических задач (создание баз данных и банков информации, программ автоматизированного построения моделей и программного сервиса для экономистов-пользователей). На этапе практического использования моделей ведущую роль должны играть специалисты в соответствующей области экономического анализа, планирования, управления. Главным участком работы экономистов-математиков (специалистов по экономической кибернетике) остается постановка и формализация экономических задач и синтез процесса экономико-математического моделирования.

Взаимодополняемые товары.

Как мы знаем, в этом случае функция полезности имеет вид:

Вспомним определение функции :

Отсюда получаем, что уравнения кривых безразличия имеют следующий вид:

Графически семейство кривых безразличия можно представить следующим образом:

Рисунок 2.3. Семейство кривых безразличия в случае
взаимодополняемых товаров.

Рисунок 2.4. Выбор потребителя

В силу выявленных свойств, которыми должно обладать решение задачи потребительского выбора, переформулируем задачу следующим образом:

В новой формулировке задача потребительского выбора представляет собой задачу нелинейного программирования.

Для решения данной задачи составим функцию Лагранжа:

и найдем ее точки максимума. Точки, в которых функция Лагранжа достигает своего максимума, находятся среди стационарных точек, удовлетворяющих условиям:

Имеем

Отсюда мы получаем условия первого порядка решения задачи потребительского выбора:

Из свойств функции полезности следует, что условия первого порядка определяют точку максимума функции Лагранжа и, следовательно, решение задачи потребителя. Мы видим, что в точке решения задачи потребителя отношение предельных полезностей любых двух товаров должно совпадать с отношением цен этих товаров.

Решение задачи потребительского выбора записывается в виде функций спроса Маршалла:

Эти функции позволяют определить количество единиц каждого вида товара, приобретаемого потребителем в зависимости от цен товаров и дохода потребителя.

Помимо базовой задачи, описывающей потребительское поведение, существуют и ее модификации, например:

Модель Стоуна.

В модели Стоуна предполагается, что определенное количество единиц каждого вида товара необходимо потребителю в любом случае, и вопрос относительно их приобретения не является предметом выбора. Оставшиеся средства потребитель использует для приобретения дополнительных единиц товаров в соответствии со своими предпочтениями. В этом случае задача потребительского выбора и ее решение видоизменяются. Сначала приобретается минимально необходимое количество единиц соответствующего вида товара. После приобретения минимальной потребительской корзины рассчитывается оставшаяся сумма, которая распределяется между различными видами товаров в соответствии с весовыми коэффициентами и определяется количество дополнительных единиц каждого вида товара которое необходимо приобрести потребителю.

Рисунок 2.5. Кривая “доход-потребление”.

Если кривая «доход - потребление» является прямой линией, выходящей из начала координат под углом 45°, это означает, что с ростом дохода потребитель в одинаковом размере увеличивает потребление обоих благ. Если же покупки увеличиваются непропорционально, то угол наклона бюджетной линии изменяется. В приведенном на рисунке примере первый товар является относительно менее ценным для потребителя, чем второй. В результате чего с изменением дохода происходит изменение структуры потребления.

Возможна также ситуация, когда при увеличении дохода объем потребления товара снижается. Такие товары называют некачественными. Товар, потребление которого с ростом дохода возрастает, называют качественным. Также можно определить высококачественный товар как такой, прирост расходов на который поглощает более 100% прироста дохода.

В конце XIX в. немецкий статистик Э. Энгель сформулировал эмпирические законы потребления и построил кривые спроса от дохода, в соответствии с которыми с ростом дохода доля расхода на питание уменьшается, доля расхода на одежду и жилье остается стабильной и т.п. (поэтому функции спроса от дохода часто называют кривыми Энгеля).

Если мы будем изменять цену первого товара, сохранив неизменным доход потребителя, то бюджетная линия будет поворачиваться вокруг точки . При этом новая бюджетная линия будет касаться новой кривой безразличия в точке, соответствующей новому решению задачи потребительского выбора.

Соединив все полученные точки потребительского выбора, мы получаем кривую “цена-потребление”.

x₂

I/p₂

I/p₁ x₁

Рисунок 2.6. Кривая «цена-потребление»

На основе кривой цена-потребление можно построить линию индивидуального спроса (нижняя часть рис. 3.11). Если потребитель покупает Х1 товара X при цене РX и X2 при цене Р'X, то на основании этой (и подобной) информации можно построить линию DD, характеризующую объем спроса на товар X как функцию его цены.

Более детальный анализ влияния изменения цен и дохода потребителя на объем потребления того или иного товара позволяет нам выявить некоторые особенности спроса на различные товары. В частности, дать строгое математическое определение взаимозаменяемости и взаимодополняемости товаров, выявить нормальные товары и товары Гиффена.

Назовём товары i и j взаимозаменяемыми, если при увеличении цены товара j растет спрос на товар i: .

Если же при увеличении цены товара j спрос на товар i падает: , то товары i и j называются взаимодополняемыми.

Товар i называется ценным или нормальным, если , то есть если при увеличении дохода спрос на этот товар увеличивается, и малоценным или некачественным, если наблюдается обратная зависимость: .

Товар i называется нормальным, если с увеличением его цены снижается спрос на данный товар: . Если с увеличением цены спрос на товар также растет, то данный товар называют товаром Гиффена: .

Кроме того, анализ изменения цен и дохода потребителя на объем потребления того или иного товара является основой для построения уравнений Слуцкого, характеризующих количественные зависимости между изменением цен на отдельные товары и доходов потребителей, с одной стороны, и структурой покупательского спроса — с другой. Наиболее просто основное уравнение Слуцкого формулируется так: изменение спроса на некоторый товар при повышении или снижении его цены складывается из двух частей: влияния непосредственного изменения спроса (т. е. изменения реальной возможности приобретать данный товар в результате изменения цены на него) и косвенного влияния в результате переключения спроса на другие товары.

Производственная функция

y = f(X), X = (x₁, ..., x_m) (3.1)

характеризует максимально возможный объем выпуска продукта j в зависимости от использования разнообразных ресурсов. Каждой точке X⁰_j соответствует единственный максимальный выпуск y⁰_j.

Функция (3.1) описывает однопродуктовые технологии, но не применима для характеристики комплексных технологических процессов, выпускающих одновременно несколько видов продукции.

Производственные функции могут задаваться не только в аналитической форме, но и в виде таблиц, а также графически. Наиболее распространенным способом графического представления производственной функции являются изокванты.

Множество точек, удовлетворяющих уравнению постоянного выпуска f(X) = q, называется изоквантой. На рис. 3.1 изображено семейство изоквант — кривых в пространстве двух ресурсов; эти изокванты соответствуют объемам выпуска продукции q₁, q₂, q₃. В общем случае изокванты — это поверхности в пространстве ресурсов. Поскольку X > 0, то все изокванты находятся в неотрицательном ортанте.

Из общих свойств производственных функций вытекает ряд свойств изоквант:

· они никогда не пересекаются друг с другом;

· большему выпуску продукции соответствует более удаленная от начала координат изокванта;

· если все ресурсы абсолютно необходимы для производства, то изокванты не имеют общих точек с осями координат.

Далее будут обсуждаться свойства изоквант, соответствующих определенным классам производственных функций.

Для характеристики эффективности испольтзования производственных ресурсов в производственной функции применяются два основных показателя:

Рисунок 3.1. Изокванты производственной функции с взаимозаменяемыми ресурсами и изоклинали

При исследовании технологии с помощью ПФ с взаимозаменяемыми ресурсами, помимо средней и предельной эффективности использования ресурсов определяются такие характеристики, как предельная норма эквивалентной замены ресурсов, эластичность выпуска по ресурсам и эластичность взаимозамены ресурсов.

Изменение выпуска продукции при небольших изменениях затрат нескольких ресурсов выражается полным дифференциалом . Либо, в дискретном варианте: Условия эквивалентной взаимозаменяемости ресурсов в точке Х° = (x⁰_i) выводятся из формулы

(3.9)

Либо, в дискретном варианте:

В частности, предельная норма эквивалентной заменяемости каких-либо двух ресурсов h и l определяется формулой:

(3.10)

Процессу эквивалентного замещения одних ресурсов другими соответствует движение вдоль изокванты. Поэтому изокванту называют также кривой замещения.

Если затраты ресурса k увеличиваются, то для сохранения объема производства на прежнем уровне затраты ресурса l, как правило, можно уменьшить. Отсюда следует такое свойство изоквант: это убывающие функции по отношению к каждой оси (т.е. они имеют отрицательный наклон).

В пространстве двух ресурсов норма эквивалентной заменяемости — это тангенс угла между касательной к изокванте и соответствующей осью координат. На рис. 3.1 нормы эквивалентной заменяемости второго ресурса по отношению к первому в точках A₁, В₁ C₁ равны тангенсам углов γ _А, γ _B, γ _С

Комбинации ресурсов, для которых предельные нормы эквивалентной замены одинаковы, образуют в пространстве ресурсов кривые, называемые изоклиналями. На рис. 3.1 изоклиналь I соединяет точки В₁, В₂, В₃, а изоклиналь II — точки С₁С₂, С₃.

Анализ закономерностей изменения предельных норм эквивалентной замены позволяет еще более конкретизировать форму изоквант. При увеличении использования ресурса l его предельная эффективность падает, и поэтому дополнительные затраты этого ресурса высвобождают все меньшее количество ресурса k. Таким образом, предельная норма эквивалентной взаимозаменяемости двух ресурсов постоянно уменьшается.

Это означает, что в пространстве двух ресурсов изокванты являются графиками вогнутых функций (одной переменной относительно другой). Если эта особенность предельных норм эквивалентной заменяемости распространяется на множество всех т ресурсов, то изокванты обладают двумя дополнительными свойствами: множества {X: f(X)≥ Q} выпуклы и изокванты имеют асимптоты, совпадающие с осями координат или параллельные им.

Для характеристики влияния каждого ресурса на рост производства, помимо показателей средней и предельной эффективности, используется также понятие эластичности выпуска от затрат различных ресурсов. Коэффициент эластичности δ _i показывает предельное отношение относительного прироста производства к относительному приросту затрат i-го ресурса:

(3.11)

В общем случае коэффициент эластичности — это непрерывная функция от X⁰. В экономических расчетах часто используются средние коэффициенты эластичности, определяемые не для каждой точки X⁰, а для некоторых интервалов изменения компонент вектора X⁰. Такие коэффициенты соответствуют формуле:

(3.12)

В теории производственных функций применяется также понятие эластичности взаимозаменяемости ресурсов. Коэффициент эластичности замены ресурсов характеризует отношение относительного изменения соотношения затрат ресурсов k и l к относительному изменению предельной нормы эквивалентной заменяемости этих ресурсов. Или, иными словами, показывает процентное изменение соотношения затрат ресурсов при изменении предельной нормы их замещения на 1%:

(3.15)

Чем выше эластичность замены ресурсов, тем в более широких пределах они могут заменять друг друга. При бесконечной эластичности (σ _kl = + ∞ ) не существует никаких границ для взаимозаменяемости ресурсов. Наоборот, при нулевой эластичности (σ _kl = 0) возможность замены отсутствует. В этом случае ресурсы взаимодополняют друг друга и обязательно должны использоваться в определенном комплекте.

Рис. 3.4 Эластичность взаимозаменяемости ресурсов

На рис. 3.4 изображены изокванты с различными коэффициентами эластичности замены двух ресурсов в интервале 0 ≤ σ ≤ ∞. Прямоугольная ломаная ABC является изоквантой при (σ = 0). Сокращение одного ресурса нельзя компенсировать сколько угодно большим увеличением другого ресурса. Три изокванты имеют положительные эластичности σ ₁, σ ₂, σ ₃. При этом более выпуклые к началу координат изокванты соответствуют меньшим коэффициентам эластичности: σ ₁ < σ ₂ < σ ₃ (7з- Наконец, прямая АС представляет собой изокванту с бесконечной эластичностью замены ресурсов. Она имеет формулу a₁х₁ + a₂х₂=q, где а₁ и а₂— положительные числа. Предельная норма замены ресурсов на этой изокванте не меняется:

Рассмотренные эластичности выпуска по ресурсам и эластичности взаимозамены ресурсов наряду с показателями общей эффективности ресурсов (" отдачи на масштаб" ) являются основными характеристиками абстрактной технологии.

3.3. Производственные функции с взаимодополняемыми
ресурсами и функции производственных затрат

Наблюдаемые изменения в структуре используемых ресурсов часто объясняются не столько замещением ресурсов в рамках одной и той же технологии производства, сколько изменением самих технологий или сочетанием различных жестких технологий. В предельном случае (при нулевой эластичности замены ресурсов) мы получаем производственную функцию с взаимодополняемыми ресурсами.

Производственная функция с взаимодополняемыми ресурсами может быть выражена следующим образом:

(3.21)

где f_s(x_s) - объем производства, который может быть получен при использовании s-ro ресурса в количестве x_s при условии, что другие ресурсы имеются в достаточном количестве. Максимальный объем производства определяется узким местом, т.е. количеством такого ресурса, который обеспечивает наименьший объем производства.

Изокванты функции (3.21) в пространстве двух ресурсов представляют собой прямые углы (рис. 3.3). Их расположение определяется тем, при каких минимальных затратах ресурсов достигаются определенные объемы производства. Кривые ОА₁А₂А₃ характеризуют минимальные затраты ресурсов, обеспечивающие различные объемы производства. Все точки изоквант, не лежащие на этих кривых, являются неэффективными комбинациями затрачиваемых ресурсов при любых разумных критериях эффективности.

б)

Рис. 3.3. Изокванты взаимодополняемых ресурсов:

а) постоянные соотношения затрат; б) изменяющиеся соотношения затрат

От функций (3.21) можем перейти к семейству обратных функций, характеризующих зависимости затрат от объемов производства, т.е. к функциям производственных затрат:

x_s =φ _s(y), (sÎ M) (3.22)

φ _s(y) — это минимальное количество ресурса s, которое нужно затратить для выпуска продукта в количестве у.

Для анализа функций производственных затрат введем новые понятия: q_s — средние затраты s-ro ресурса; h_s — предельные затраты s-ro ресурса:

· cредние затраты рассчитываются по формуле q_s = x_s/y;

· предельные затраты h_s характеризуют прирост затрат ресурса s при увеличении выпуска продукции на " малую единицу": h_s = dx_s/dy.

В дальнейшем изложении индекс ресурса опускается; это позволяет интерпретировать получаемые результаты как относящиеся не только к определенному ресурсу, но и к совокупным производственным затратам (например, в ценностном выражении).

Соотношения между средними и предельными затратами зависят от свойств функции х = φ (y).

I. Наиболее простой функцией затрат является линейная однородная, характеризующая производственные процессы с постоянной эффективностью затрат:

x = ay; a > 0 (3.23)

Средние и предельные затраты функции (3.23) постоянны и равны между собой: g=h=a.




Рис. 3.6. Линейная однородная функция (постоянная эффективность затрат)	Рис.3.7. Линейная неоднородная функция затрат

II. Линейная неоднородная функция включает две части затрат - пропорционально зависящие от объема производства и не зависящие от объема производства:

x = ay +b (3.24)

где а > 0 и b > 0.

Средние затраты g = a + b/y являются убывающей нелинейной функцией (гиперболой), асимптотически приближающейся к постоянным предельным затратам h = а.

III. Нелинейная функция возрастающей эффективности затрат отражает положительный экономический эффект концентрации производства:

(3.25)

Средние и предельные затраты - убывающие функции, причем предельные затраты всегда ниже средних.

Одним из простейших примеров функции (3.25) является х = ау^а при 0 < а < 1.


Рис. 4.8. Нелинейная функция возрастающей эффективности	4.9. Нелинейная функция падающей эффективности

I. Нелинейная функция падающей эффективности затрат характерна для отраслей, деятельность которых тесно связана с использованием природных ресурсов:

(3.26)

Для увеличения добычи минерального сырья, например, часто приходится переходить к эксплуатации месторождений, шахт, рудников с более сложными горно-геологическими условиями или с более бедным содержанием полезных компонентов. Поэтому средние и предельные затраты увеличиваются, причем предельные затраты выше средних.

Примером может служить функция х = ау^а при а > 1.

II. Функции немонотонной эффективности затрат отражают часто встречающиеся в хозяйственной практике такие зависимости между затратами и выпуском продукции, которые объединяют признаки рассмотренных выше функций. Довольно типична такая ситуация: при увеличении производства эффективность затрат вначале возрастает (положительный эффект концентрации производства), но по достижении некоторого уровня производства эффективность начинает снижаться (из-за сложности управления, ухудшения условий производства, роста транспортных затрат и т.д.).

III.

IV. Рис. 3.10. Нелинейная функция немонотонной эффективности затрат

Рисунок 6.1. Прямые, косвенные и полные материальные затраты.

Экономический смысл элементов матрицы В заключается в том, что каждый элемент b_ij матрицы B есть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли.

Система уравнений межотраслевого баланса является отражением реальных экономических процессов. В соответствии с экономическим смыслом задачи значения X_i должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях Y_i и a_ij. В этой связи важным является вопрос: при каких условиях экономическая система способна обеспечить положительный конечный выпуск по всем отраслям? Ответ на этот вопрос связан с понятием продуктивности матрицы прямых материальных затрат.

Матрица А называется продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор X ≥ 0, что (E - A) X = Y > 0. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Одним из самых простых признаков продуктивности матрицы А является ограничение на сумму элементов ее столбцов: говорят, что матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы. Данное условие является достаточным, но не необходимым. К необходимым и достаточным условиям продуктивности матрицы А относят следующие:

1. Матрица А неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица
(E-A) ≥ 0.

2. Матричный ряд сходится, причём его сумма равна обратной матрице (E-A)^-1.

3. Все собственные значения матрицы А по модулю меньше единицы.

4. Все главные миноры матрицы (Е-А) положительны.

При выполнении хотя бы одного из перечисленных необходимых и достаточных условий матрица А является продуктивной.

Модели экономического цикла

Современная теория циклов представляет собой обширную и очень сложную область экономических знаний. Мы рассмотрим лишь отдельные аспекты проблематики экономических циклов посредством наиболее простых моделей.

Эффект мультипликатора, рассмотренный в предыдущей теме, является статическим и предполагает, что в результате приращения автономных расходов экономика мгновенно переходит к новому равновесию, поскольку существующий объем избыточных производственных мощностей достаточен для полного удовлетворения возросшего в результате действия мультипликатора эффективного спроса. Мультипликативное воздействие автономных расходов определяется по формуле:

Иными словами, эффект мультипликатора показывает связь между увеличением инвестиций и соответствующим расширением экономической активности в том же году.

Эффект акселератора учитывает динамический аспект процесса инвестирования, в частности тот факт, что инвестиции текущего года позволяют увеличить производственные мощности и поднять уровень производства в последующие годы. Эффект акселерации был ранее рассмотрен при описании индуцированных инвестиций, вызываемых устойчивым увеличением спроса на блага и недостатком производственных мощностей, необходимых для удовлетворения этого спроса.

I_t = k (Y_t+1 – Y_t),

где k ≡ ∆ K / ∆ Y.

Взаимодействие эффектов мультипликатора и акселератора, по мнению экономистов, является одной из причин циклических колебаний экономической конъюнктуры. Общая логика этого взаимодействия такова. При увеличении совокупного спроса расширение производства рано или поздно наталкивается на ограничения, накладываемые существующим объемом производственных мощностей. Исчерпание наличных производственных мощностей требует осуществления индуцированных инвестиций. Индуцированные инвестиции, становясь составляющей совокупного спроса, порождают очередной мультипликационный эффект, который снова увеличивает эффективный спрос, побуждая предпринимателей к новым индуцированным инвестициям. Таким образом мы видим, что комбинированное действие мультипликатора и акселератора приводит к нестабильности, которая лежит в основе многих теорий экономических колебаний.

Модели мультипликатора - акселератора основаны на кейнсианской концепции ОЭР. Они описывают процесс перехода от одного равновесного состояния к другому после изменения экзогенных параметров и призвана ответить на вопросы: как будет протекать процесс (монотонно или колебательно) и вернется ли экономическая система к новому равновесному состоянию.

Рассмотрим наиболее известную из этого класса моделей – модель Самуэльсона-Хикса.

Модель Самуэльсона-Хикса включает в себя только рынок благ и предполагает, что уровень цен, относительные цены благ и ставка процента являются неизменными. В соответствии с кейнсианской концепцией также предполагается, что объем предложения совершенно эластичен. Так как модель динамическая, все переменные являются функциями времени x_t = f(t).

I. Построение модели

Объем потребления домохозяйств в текущем периоде определяется величиной их дохода в предшествующем периоде:

C_t = C_a_,_t + cY_t_-1,

где C_a – автономное потребление.

Предприниматели осуществляют автономные инвестиции, объем которых при заданной ставке процента фиксирован, и индуцированные инвестиции, зависящие от приращения совокупного спроса (национального дохода) в предшествующем периоде:

I_t = I_{a, t} + k(Y_t-1 - Y_t-2).

При принятых предположениях экономика будет находиться в равновесии, если

Y_t = cY_t-1 + k(Y_t-1 - Y_t-2) + A_t

или

Y_t = (c+ k)Y_t-1 - kY_t-2 + A_t, (5.1)

где A_t = C_f_,_t + I_a_,_t + G_t – экзогенная величина автономного спроса.

Уравнение (5.1) является неоднород

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒