ТЕОРЕМЫ О НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧКАХ НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Дифференцирование нелинейных операторов. Степенные ряды

32.1.Производная Фреше нелинейного оператора. Рассмотрим нелинейный оператор F(x) с областью определения D(F) в ба­наховом пространстве X и со значениями в банаховом простран­стве У. Предположим, что оператор F(x) определен в некоторой окрестности S точки дго, т. е, S с D(F).

Определение 1. Оператор F(x) называетсядифферент цируемым в точке Хо (в смысле Фреше), если существует ли­нейный ограниченный оператор А (А^З? (Х, У)) такой, что для любых хе 3

F (х) — F (х₀) = А (х — х₀) < о (х — х₀), (1)

причем I'a (х — х₀) II = о(\]х — х₀\]) при х х₀.

Оператор А в формуле (1) называется производной {Фре­ше) оператора F в точке х₀ и обозначается F (х₀) или

-J^-- Если положить h = x — Xo, то (I) можно записать в

виде

F (xo + h)-F (xo) = F '(xo)h + a(h), (2)

где МА)||=о(||й||) при h 0.

Определение 2. Если оператор F(x) дифференцируем в точке А'о, то выражение

dF{xo, h)^F'{xo)h

называется дифференциалом (Фреше) оператора F в точке х₀ при приращении h.

Таким образом, дифференциал dF(x₀\ НУ— это всего-навсего значение линейного оператора F'(xо) на элементе h. Заметим, что из дифференцируемоети оператора в точке следует его не­прерывность в этой точке. Действительно, если х-*- х_й, то из (1) вытекает, что F(x)-*-F(xо)\

Замечание. Если F(x) = Ax, где A^.9? (X, Y), то F (x)] дифференцируем в любой точке хо s X и его производная рав­на А, т. е. производная линейного оператора равна ему же.

Упражнение 1. Пусть F: X-> Y и G: X-+Y дифферен­цируемы в точке xq. Докажите, что F + G дифференцируем в х_0> причем

(F + G)'(_Xo) = F'(xo) + G'(xo).

Упражнение 2. Пусть F: X-+Y дифференцируем в точке Xq. Докажите, что aF, где а — скаляр, дифференцируем в этой точке и

(aF)' (х₀) = o.F' (*₀).

Рассмотрим вопрос о дифференцировании суперпозиции опе­раторов (п. 10.3). Пусть X, Y, Z — банаховы пространства. Пусть, далее, оператор y = F(x) дифференцируем в точке x₀(F: X-+Y), а оператор x = G(z) дифференцируем в точке z₀ (G: Z-+X), причем G(z₀) = X0. Так как отсюда вытекает не­прерывность F в точке хо и G в точке Zo, то определена и не­прерывна в точке хо суперпозиция операторов

F[G(z)]^(F*G)(z)

(см. теорему о непрерывности суперпозиции непрерывных функ­ций в [18]).

Покажем, что F *G дифференцируем в точке z₀, причем

{F*G)'{zo) = F'{xo)G'{zo). (3)

Действительно, дифференцируемость F в Хо означает справед­ливость представления (1), причем можно считать, что ю(0) = = 0, так что (о (/г) непрерывна в окрестности нуля. Далее, диф­ференцируемость G в точке Zo означает, что

G(z) = G(zo) + B(z-Zo) + b(z-Zo), (4)

где || б (z — Zo) ||⁼ о (II2 — Zoll) при \\z — z₀||-> -0. Подставляя (4) в (1), получим

F (G (z)) — F(G (z_n)) = АВ (z — z₀) + e(z- z_Q), (5)

где e (z — z₀) = A 6 (z — z₀) + со [Й (z — z₀) + 6 (z — z₀)]. Ho || A6(z-z_Q)|| = o(||z-z₀||) при ||z-z₀||-> 0,

II 0 IB (z - z₀) + 6 (z - Zo)] II = О (II В (z - Zo) + 6 (z - Zo) II) =

= o(||z — Zoll) при ||z — Zol! -> 0.

Следовательно, ||e(z —z₀)||=o(||z —z₀||) при ||z — z_oll-> -0. Та­ким образом, представление (5) означает, что (F * G)'(zo) = = АВ, а это и есть формула (3).

Приведем теперь несколько примеров.

Пример 1. Производная нелинейного оператора в конеч­номерном случае. Пусть F: Е^к-+Е', Тогда равенство у = FJix)]
равносильно системе равенств

y\ = f\(x\, ... x_k), yi = h{x_lt... х_к),

yt — fi (*ь • • • x_k),

которые задают отображение из Е* в Е¹. Если F определен в окрестности точки хо, то координатные функции f; также оп­ределены в окрестности этой точки лг₀ = (л^, х°₂, :.., х\).

Пусть F дифференцируем в окрестности точки х₀; тогда при /= 1, 2, I

ft (*? + К 4 + К • • • • 4 + Л») - f_t........... *») =

= a_{lhi + a_i2h₂ +... + a_lkh_k + щ{h_u..., h_k), где IleaЦ = о(||/г||) при Л-*0, (й = (со_ь..., са₂); ||(о|| =

= Vl ®i Р +... + l®, I², a h = (А, ........ h_k)-, || h || = Vl Л. p+... ■ +| |².

^dU I

¹ на-

В математическом анализе матрица Л =

" * |i-l........ /;

1 = 1.. к

зывается матрицей Якоби или матрицей-производной оператора (отображения) F. Оператор А е 3? (Е^к-> Е¹) и является про­изводной Фреше оператора F в точке хо, т. е. А = F'(x₀). Уста­навливается (см. [18]), что из дифференцируемости F в точке х₀ вытекает существование в этой точке частных производных и равенство

< 5*

 

Ы

k.

ац —

dx,

/=1, ..., /; /'==1, .

 

Посмотрим еще, как записывается производная суперпози­ции отображений. Если x = G(z) — отображение из Е^т в Е\ дифференцируемое в точке Zo, то

л и/=1, «=1

. к т.

 

Формула производной суперпозиции (3) приобретает теперь вид

 

0t, (* о)

I <? 2„

дх,

(F*G)'(2o) =

 

Производя умножение матриц, получим

 

dh (*о) д8/(го)

Е

дх.

дг.

(F.O)' (г„)-

 

i-l..... I

s=l.... т

Это оператор из 2'(Е^т, Е^! ). Мы получили в общем виде пра­вило вычисления производных при замене переменных (см. [18]).

Упражнение 3. Вычислите (F * G)' (z₀), если

F = (sin + х₂ -f х₃), cos [х_х + х₂ + х₃), х_хх₂х_ъ), G = (zi + z₂, z, — г₂, z_yz₂), a z₀ = (0, я).

Пример 2. Пусть f(x, u)—непрерывная функция двух пе­ременных, хе[с, 6], —оо ■ < и < С + Зададим нелинейный оператор F, действующий в С [а, й], по формуле

F(u) = f(x, и{х)).

Упражнение 4. Покажите, что если и(х)е С [а, Ь\, то и f(x, u(x))s=C[a, b].

Рассмотрим теперь вопрос о дифференцируемое™ оператора F(u) в точке uq ( x )^ С[а, Ь]. Предположим, что функция f{x, u) имеет при любых (х, и) непрерывную частную производную f_u(x, u). Для всех h{x)^C[a, b\ имеем следующее равенство:

fix, «о (х) + Л (х)) — f (х, и₀ (х)) = f _и (х, «о (*)) Л (х) + со (х, h), (6)

где

О (х, Л) = J [fu (X, Ио (*) + ел (*)) - f_u (х, «о (*))] dо h (х). (7)

о

Рассмотрим в Ь^л замкнутое ограниченное множество П_Л = {х, и: х е [а, Ь], и₀{х) — Ж«(х)< «₀(х) + /? }, Я > 0.

Согласно теореме Кантора (см. [18]) функция f_u(x, u), бу­дучи непрерывна на Т1_К, равномерно непрерывна на нем. Это означает, что для любого е > 0 найдется б > 0 такое, что для всех (У, к')еП(!, (/, «" )en_s, удовлетворяющих нера­венству л]{х! — x" f + {и' — и" )² < б, выполняется неравенство I Их', u')-f_u(x", и" ) | < е.

Пусть, далее, в формулах (6) и (7) Тогда для всех

0е[О, 1] имеем (х, «о(*)+ 6Л(х))е Пд. Возьмем х'= х" = = х, и' = uo(x)-\- 6Л(х), и" = и₀{х) и получим, что для всех х е [а, Ь\, как только ||Л|| < б, так

|| ш Ос, A) li < max \\f_u (х, и₀ (х) + Qh (х)) - f_u (х, «о W) I dS 1А (х) | <

< в || А ||.

Это означает, что оператор F дифференцируем в точке «о в смысле Фреше и что

f'(uo) = f_u(x, " oW).

Упражнение 5. Найдите производную Фреше следующих операторов F в точке и₀:

1) F{u)= sin и(х) в С [0, я], и₀ = cos*;

2) F (u) = и(х)— exp(хи(х)) в С[0, 1], «о = 0. Будет ли оператор F'{uq) непрерывно обратим? Пример 3. Рассмотрим в пространстве С[а, Ь]- нелиней*

ный интегральный оператор

ь

F(u) = u(x)-\f(x, 6, u(t))dl,

а

где функция f{x, и) непрерывна по совокупности своих пе­ременных при а ^ х, \ ^ Ь, — оо< «< + оо, вместе с част­ной производной fu(x, и).

Упражнение 6. Покажите, что оператор F дифференци­руем в любой точке «о s С[а, Ь] и что

ь

F' («о) Л = Л (х) - J U (х, I, и_а ©) h dt

а

Упражнение 7. Найдите производную Фреше по и в точ­ке «о = 0 интегрального оператора с параметром X:

я

F (и) = и (х) — I ^ cos (л- -f и (I)) d\.

о

Найдите все решения уравнения

F' (0) /г = cos.v.

32.2. Формула конечных приращений Лагранжа и условие Липшица. Докажем сначала формулу конечных приращений Лагранжа в интегральной форме. Условимся говорить, что опе­ратор F(x) непрерывно дифференцируем в точке xq, если он дифференцируем в некоторой окрестности точки Хо и F'(x) не­прерывен в xq. Если F(x) непрерывно дифференцируем в каж­дой точке некоторого множества, то будем говорить, что он не­прерывно дифференцируем на этом множестве.

Теорема. Пусть оператор F непрерывно дифференцируем в окрестности S точки xq \ тогда в S справедлива формула Лаг­ранжа

F(x)-F (х₀) = \F' ( х₀ + 9 (* - *о)) dQ (х - х₀). (1)

о

Доказательство. Рассмотрим суперпозицию F*G, где w

x ₌ G(e) = jt₀ +9 0< 9< 1 (G\E ^[4] -*X).

Имеем С(0) = х— х₀. Следовательно, согласно формуле про­изводной суперпозиции (см. п. 32.1),

F (*₀ + 9 (х - хо)) = F' (х₀ + 6(х- х₀)) (х - хо).

Интегрируя это тождество по 6 от 0 до 1, получаем формулу (1). Теорема доказана.

Перейдем теперь к обсуждению условия Липшица и связан­ных с ним некоторых утверждений. Пусть оператор F(x) опре­делен на некотором множестве Q банахова пространства X, а аначения его лежат в'банаховом пространстве Y.

Определение. Будем говорить, что F удовлетворяет на S3 условию Липшица {с постоянной Липшица /), если для лю­бых х\, х₂ s Q

\\F(x_l)-F(x₂)\\^l\\x_l-x₂\\. (2)

Лемма 1. Пусть F(x) непрерывно дифференцируем на вы­пуклом множестве Q, причем ||Р(х)|| на Q; тогда F(x) удо­влетворяет на Q условию Липшица с постоянной Липшица I.

Доказательство. По формуле Лагранжа имеем

F (х, ) - F (х₂) = J F' (х₂ + 0 (х, - х₂)) dQ (х, - х₂). о

dQ

Оценка по норме дает следующее неравенство:

 

i

< J IIF'(х₂ + 0(х, - х₂)) ||dQ|| х, - х₂1|< /1|х, - х₂1|. а

Таким образом, лемма доказана.

Лемма 2. Пусть F{x) дифференцируем на выпуклом мно­жестве Q, причем

^'(xO-F'^IK/IUi-x.H на Q

{т.е. F'(x) удовлетворяет на Q условию Липшица с постоян­ной Липшица /); тогда справедлива оценка

II F (х, ) - F (х₂) - Г (х₂) (х, - х₂) || < \ I II Xi - х₂ |р. (3)

Доказательство. Применяя сначала формулу Лагран- жа для F, а затем условие Липшица для производной, полу­чаем

— х2\\<

»i^? (JH)-F(jc₂)-F(jc₂)(*_I-*_a)B =

J^'te + efo-xa))-^)}^

< S II F' (х₂ + 8 (*, - х₂)) - F' (х₂) II 481| - *₂ IK

о

1 ^ < 5 /8|| - х₂ II48II - х₂ II = У 1\\х_х - Хп ||², о

и формула (3), а с ней и лемма доказаны.

Пример. Пусть оператор F: E^k -> Е¹ дифференцируем в точке Хо (в обозначениях примера 1 п. 32.1). Формула конеч­ных приращений здесь принимает вид (i = 1, .... I)

/, (*? + *„.... x°+h_k)-f_tW, .... xl) =

^k - fo + flh_lt....xl + M_k)

dx.

DQh

1-1 о ¹

32.3. Степенные операторы, производные и дифференциалы Фреше высших порядков. Пусть X и У — банаховы простран­ства. Образуем прямую сумму к экземпляров пространства X

Х^к = Х + Х+... -\-Х

и рассмотрим нелинейный оператор у = Fk{xi, ..., х_к), опре­деленный всюду на Х^к: (xj, х_к)< =Х^к со значениями в про­странстве У. Иначе говоря, мы имеем дело с операторной функ­цией от k векторных переменных.

Определение 1. Оператор F_k(x..., х_к) называется k-линейным оператором, если он линеен по каждому аргументу

х,, i=l, 2.... k.

Определение 2. ft-линейный оператор Fk{x\, ..., **)] называется ограниченным, если существует постоянная m та­кая, что для всех х, е X

HF*(*i....... **)1Кт||*, ||... ||**||. (1)

Наименьшая из постоянных m в (1) обозначается Ц/*а|| и назы­вается нормой й-линейного оператора Fn. Точнее,

Ц/ч11= snp (2)

Упражнение I. Покажите, что всякий ^-линейный огра­ниченный оператор непрерывен в любой точке х^к е X^k.

Определение 3. ^-линейный оператор называется сим­метричным, если его значения не изменяются при любой пере­становке его аргументов.

Определение 4. Пусть Fk(xь..., х_к)—линейный опера­тор. Положим Xi s= х₂ =... =Xk = x. Оператор Fk(x, ..., х)' называется k-степенным (степенью) и обозначается FkX^k.

Если Fk(xi.......... Xk) — /%-линейный ограниченный оператор,

то, в соответствии с {1), (2) и определением 4,

11^** II < 11 ^11II* II*. (3)

Отметим еще следующую точку зрения на й-линейные опе­раторы. Билинейный оператор F₂(xj, дг₂) можно трактовать как произведение элементов х\, х₂^Х, значение которого лежит в У. Если F₂ симметричен, то порядок сомножителей несуще­ствен (см. также п. 11.7). Можно также рассматривать F₂(xи х₂) как произведение трех сомножителей: «коэффициен­та» F₂^3? (X², У) и сомножителей х\ и х₂. Аналогично, Fk(x 1, Xk) можно рассматривать как произведение k (или & +1) сомножителей.

Замечание. Всегда можно считать, что степень FkX^k по­рождена симметричным ^-линейным оператором. Действитель­но, положим

где суммирование ведется по всевозможным перестановкам

(vi, ..., v*). Очевидно, ....... х_к) симметричен и F_kx^k =

= Ф*(*, ..., х).

В дальнейшем, говоря о степени FkX^h, мы будем считать, что

исходный ^-линейный оператор Fk(xi.................. х_к) симметричен.

Тем самым определены операторы Ft, x^sh^k~^s при 0 ^ s ^ к.

Упражнение 1. Докажите формулу «бинома Ньютона»

F_k(x + h)^k=tc_kF_kx^k~^sh^s.

s=О

Упражнение 2. С помощью формулы бинома Ньютона докажите, что й-степенной ограниченный оператор FkX^k диффе­ренцируем (в смысле ФреТне) в любой точке х и

-^F_kx^k = kF_kx^^3(X, У).

Перейдем теперь к вопросу о дифференциалах высшего по­рядка от нелинейного оператора F(x). Пусть G— некоторая об­ласть в банаховом пространстве X. Предположим, что оператор F(x) дифференцируем в G (т. е. во всех точках x^G). Рас­смотрим его дифференциал dF(x, h)= F'{x)h. Он является скова функцией (оператором) от х, и поэтому можно поставить задачу о нахождении его дифференциала в точке ха s G.

Определение 5. Пусть оператор F'(x)h = dF(x, h) диф­ференцируем в точке Хо; тогда выражение

d°-F(x-, h) = d[F'{xo)h, g]\_g=h (4)

называется вторым дифференциалом оператора F(x) в точке xq.

Согласно определению 5, чтобы найти второй дифференциал оператора F в точке х₀ при приращении h, следует сначала найти дифференциал F'(x)h в точке х₀ при приращении g, не­зависимом от h, а затем положить g = h. Согласно этому пра­вилу составим приращение

F' (хо + g)h- F' (хо) h = (Bg) h + со (g) h, (5)

где Mg)|| = 0(||g||) при g -» 0.

Таким образом, дело сводится к дифференцированию линей­ного оператора F'(x) в точке хо. Его производную, если она существует, естественно обозначить через F" (x о), причем F'" (х₀) ^ 2? (X, 2? (X, У)), т. е. выражение F" (x₀)hg является симметричным билинейным (2-линейным) оператором. Фор- мулу (5) можно теперь записать так:

F' (х₀ + h) h - F^r (хо) h = F" (x₀) hg + ffl (g) h.

Согласно определению 5 имеем

d²F(xо, h) = F" (x₀) h².

Совершенно аналогично, если второй дифференциал суще­ствует в точках области G, то можно поставить вопрос о диф­ференцировании его по х и т. д.

Пусть dⁿF(x, h)= Я" '(х)Л" уже определен. Тогда, если он является дифференцируемым в точке хо eG оператором, пола­гаем

d^n+lF(xо, h) = d[F⁽ⁿ⁾ (хо)h\ g]|, __ftt

откуда вытекает, что

d^n+lF(xо, h) = F⁽ⁿ⁺ⁱ⁾(xо) hⁿ⁺ⁱ.

Таким образом, п-й дифференциал F^w (хо) hⁿ является п-сте­пенным оператором.

Приведем несколько примеров, в которых выкладки мы предлагаем сделать читателю.

Пример 1. В пространстве с^т m-мерных столбцов

'.-MXi-

рассмотрим оператор у = F (xu х₂), определяемый формулами

т

Здесь at] — набор т^г вещественных чисел.

Упражнение 3. Покажите, что F(xi, x₂y является били­нейным (т. е. 2-линейным) ограниченным оператором. Найдите оценку его нормы. Как выглядит соответствующий квадратич­ный оператор (2-степенной оператор)? Когда F(xi, x₂) симмет­ричен?

Пример 2. В пространстве С[0, 1] рассмотрим нелиней­ный интегральный оператор

(/V)(') = *(/)$*(/, s)x(s)ds о

с непрерывным в квадрате 0 ^ s ^ 1 ядром K(t, s).

Соответствующий билинейный симметричный оператор имеет вид

1 1

(F₂X_IX2) (t) = j_Xl(l)\K (t, s) x₂ (s) ds + Y x₂ (/) \ К it, s) (s) ds.

о 0

Упражнение 4. Покажите, что

d [F ₂ x ² , A] = 2F₂xh, d² [F₂x², h] = 2F₂h², d^k[F₂x², A] = 0 при ft> 3. Пример 3. Рассмотрим нелинейный оператор /4*) = -^-+Sin* (О,

действующий из С²[ 0, 1] в С[О, 1].

Упражнение 5. Покажите, что если x₀(t)=t, то

d[F(*6), h] — 4- (cos () h ((),

d²[F(x₀), A] = — (sin t) A² (/), d³[F(x o), A] = —(cos/)A³(/).

Найдите общий вид d^k[F{x о), А].

32.4. Степенные ряды, ряды Тейлора, аналитические опера­торы. Пусть задана последовательность степенных операторов F_kx^k, ft = 1, 2, ..., действующих из банахова пространства X в банахово пространство У, и пусть задан элемент F₀ е У. Об­разуем формальный степенной ряд

Е F_kx^k (F_Qx° = F₀). (1)

а-0

Обозначим через Q с: X область сходимости ряда (1). Всег­да ОеЙ, Фиксируем хо< =Х с llx₀|l= 1 и рассмотрим ряд (1) на одномерном подпространстве (комплексном, если таковы X и У) элементов вида х = Хх₀, где % пробегает всевозможные скалярные значения. Получим ряд

ft = U

Обозначим через р'(*о) радиус сходимости ряда (2). Для одних хо может оказаться, что р(лго) = 0, для других р(л: ₀)> 0 или даже р(*о)= + °°- Таким образом, область сходимости £ 2 ряда (1) представляет собою так называемую С-звезду вокруг точки О, т. е. такое множество в X, что если лей, то и VteQ при sgl. В приложениях особенно важен случай, когда Q содержит некоторый шар So (0). Числовой ряд

Z mi н* н* (з)

fe=0

является мажорантным (оценивающим) для ряда (1). Его ра­диус сходимости р« называется радиусом равномерной сходимо­сти ряда (1). По формуле Коши — Адамара (см. п. 13.3)

Lim VPIf

л-> °о

Если ри > 0, то в любом шаре S_p(0), р е(0, р«), степенной ряд (1) сходится абсолютно и равномерно. Если же р> р«, то най­дутся точки х с 11*11= р, в которых ряд (1) не сходится равно­мерно. Таким образом, при р_и > 0 и только в этом случае £ 2 содержит шар (радиуса р > Ос любым р < С р«).

Упражнение 1. Пусть X = Е², Y = ЕК Рассмотрим сте-

оо

пенной ряд X (*1*г)^[5]. Найдите Q и р_и.

к=0

Обозначим через F{x) сумму ряда (1), и пусть

F(x) = tF_kx^k. (4)

6=0

В этом случае оператор F(x) будем называть аналитическим в точке л: = 0. Как и в случае абстрактных функций, можно показать, что в шаре Sp_u( 0) оператор F(x) непрерывен и даже бесконечно дифференцируем.

Для бесконечно дифференцируемых операторов F{x) имеет смысл рассматривать степенные ряды специального вида — ряды Тейлора: следует сразу из аналогичной теоремы для абстрактных функ­ций, если степенной ряд рассмотреть на одномерных подпро­странствах. Таким образом, всякий степенной ряд аналитиче­ского оператора автоматически оказывается его рядом Тейлора.

Упражнение 2. Пусть ядро K(t, s) непрерывно при ^ t, s^b. Рассмотрим действующий в С[а, Ь] нелинейный иператор

ъ

{F (ж)} (/) =*< /)+$* (t, s)ex р [х (s)}ds.

а

Докажите, что F(x)~ разлагается в сходящийся всюду ряд Тей­лора

ь ъ

s)ds + x(t) + J K(t, s)x(s)ds +

a a

00 b + £ 5F W- ^s )* ^k ( ^s ) ^ds -

k=2 a

32.5. Дифференцирование нелинейных операторов, завися­щих от двух переменных. Пусть X, Л и Y— банаховы простран­ства. Рассмотрим оператор F(x, зависящий от переменных х е X, % е Л, со значениями в пространстве Y. Воспользуемся следующим приемом. Введем U = X-j-Л — прямую сумму ба­наховых пространств X и Л (см. п. 14.1). Норму элемента и =(х, Х)^ U определим так:

|| н |i = У|| л: ||²-HI Л ||²,

где ||*||—норма в X, а ||Х||—норма в Л. Оператор F(u)\ опре­деленный, скажем, на множестве Q, a U, является теперь опе­ратором, зависящим от одной переменной. Это простое сооб­ражение позволяет перенести на операторы, зависящие от двух (и более) переменных, практически все понятия и результаты пп. 32.1—32.4. Начнем с определения непрерывности.

Пусть оператор F(x, X) определен на множестве Q с X -j- Л и (^о, А₀)ей. Оператор F(x, X) называется непрерывным в точке (хоДо), ^если F(x, X)-+F(x₀Д₀) в У при (х, й, (х, Х)-> (х₀, Ко) в X -i- А.

Перейдем к определению дифференцируемости. Пусть те­перь Ф содержит некоторый шар S с центром в (хо, ^о). Опе­ратор F(x, X) называется дифференцируемым в точке (хо, Л& )', (в смысле Фреше), если для любых (h, g) таких, что (x< > -f h, %v + g)e=S, _v

F{x₀ + h, h + g) = F(x₀, %₀)+Ah + Bg + < s> (h, g), (1)

где A ^L(X, Y), В et(A, Y), a o(A, g) = o(Vl[A|l² + Ц_г||») при (h, g)-+ 0.

Определение это является, конечно, только перефразировкой определения п. 32.1. Достаточно заметить, что выражение ЛА -f Bg, где А < = L(X, Y), a BeL(A, У), дает общий вид ли­нейного оператора из L(X-\-A, Y). Следуя математическому анализу, операторы Л и В будем называть частными производ­ными оператора /^х, Я) соответственно по х и по Я и писать

_л___ 3F (jcq, Ар) _R_____ dF (х₀, Х₀)

^Л— дх ' дХ

Упражнение 1. Покажите, что если оператор F(r, X)] дифференцируем в точке (х₀, Я₀), то _/

F (*о + h, Х₀) = F (хо, Хо) + ^af(***^o) h + щ (h), F (хо, Х₀ + g) = F (хо, Ко) + ^dF(H^U) ё + со₂ (g),

где < оГ(А)" =о(||А||) при A-> 0, cMg) = 0(llgfl) при g-*-0.

Выражение

d {F (хо, ХоУ, (h, g)} = ^дР % ^U) A + ЁП^М. _g

называется дифференциалом оператора F в точке (хо, Яо) при приращении (A, g).

На случай двух переменных без труда переносится правило дифференцирования суперпозиции. Предлагаем в качестве уп­ражнения проверить частный случай этого правила.

Упражнение 2. Пусть оператор F(x, X) дифференцируем в точке (х₀, Я₀), а оператор x = f(X) дифференцируем в точке Яо, причем /(Я q) = xq. Покажите, что оператор Ф = F(f(X), X) дифференцируем в точке Яо и

Ф' (Яо) = Г (хо) + ^дР(х_д1^кй). (2)

Приведем теперь примеры операторов, зависящих от двух пе­ременных.

Пример 1. Пусть X = Е", Y = Е', Л = Е^т. Равенство y = F(x, X) можно записать в координатной форме так:

У\ ⁼! \{х\, ..., Xft^-, Я_ь..., Х_т),

4/2 = /2(х_и..., x_k\ Я₁₍..., Х_т),

yi — fi(xi, - x_k; Я_ь..., Х_т).

Эти равенства задают отображение из E^k+m = E^k + Е^т в Е¹. Если это отображение дифференцируемо в точке

(*0> ^о) ~ (*? • • ■ '» ^Хк> • • •' то для каждой координатной функции

fi (хь..., Xftj Я[, ..., Х_т), с = 1, ..I,

в окрестности точки (.Ко, ^о) справедливо следующее представ­ление:

f, (*? + *»..... xl + h_k; +............ + g_m)~

-Ш. ................. ^Х °> ■ ■ ■ • =

к т

= Z a_irhr + £ b _lsg_s + щ(/г_{, ..., h_k\ g_h • • • > gm).

Г=1 S=1

где" (о_{| = 0}(VA? + ••• +... + ) при (/г, g)-0. Таким образом, коэффициенты

. df, (zj............... 4, Я?.............. С)

<? *_r ' дк_а

являются частными производными, а операторы Л = ||а, _{г г}

л=1" .'.", ' fc

и jB = ||6_is||_[=1 _ _t представляют собой матрицы Якоби. Ра-

s=l! '.'■ '.', к

венство (1) является матричной записью свойства дифференци- руемости оператора F.

Упражнение 3. Запишите в условиях примера 1 правило дифференцирования суперпозиции (2).

Пример 2. Пусть f(x, u, X) —непрерывная функция трех переменных: х е [а, Ь], — оо < и < + °° и X < = [а, р]. Зададим оператор F(u, X): С[а, b] + Е¹ -> ■ С[а, Ь] формулой

F(u, X) = f(x, и(х), X).

Если предположить, что f(x, u, X) при любых и и X имеет непрерывные по (х, и, X) частные производные по и, и по X, то, как в п. 32.1, можно установить дифференцируемость оператора F. При этом

dF __ df (х, и (х), X) dF __ df (х, и (s), X) ди ди дк ~~ дХ

Пример 3. Рассмотрим следующий нелинейный интеграль­ный оператор:

ь

F (х, X)=\K(t, s)f[x{s), X(s)]ds.

а

Здесь K(t, s) непрерывна в квадрате а ^ s ^ 6, a f(x, K) не­прерывно дифференцируема как функция х, X при — оо < х, X < + оо.

Нетрудно убедиться в том, что оператор F(x, X) действует из С[а, Ь] С[а, Ь\ в С[а, 6], а его частные производные опре-

384 деляются следующими формулами:

а

Ь

Перейдем теперь к вопросам определения производных выс­ших порядков оператора F(x, X). Пусть F(x, X) дифференци­руем в области Q а X 4- А. Тогда дифференциал

d{F(x, ХУ, (h, +

снова может оказаться дифференцируемым по (х, X) операто­ром, например, в точке (*о, Я₀). Следуя определению 5 п. 32.3, мы можем тогда определить второй дифференциал d²{F{x₀, Хо); (ft, g)}, являющийся квадратичным оператором приращения (h> g), и, следовательно,

d² {F (х_а, Х₀ ); (Л, g)} = + 2 F_uhg + F₀₂g².

Операторные коэффициенты в правой части этого равенства яв­ляются частными производными:

„ d²F Uo, К) р _ d²F (х_а, Я.р)d²F (х_а, Яр) р d²F(x₀. Я₀) ^20— _дхг. ^11— _ajcaA, — _дХдх. ^02— _ая, 2

(равенство смешанных производных следует из симметричности второго дифференциала). Заметим, что

F_w: X-t-X-+Y, F_n: X-bA-> Y, F₀₂: Л + Л-> У.

Аналогично определяются производные и дифференциалы высших порядков. При этом

d^k{F(x, V-, (h, g)}= £ cl& ffih'g¹, (3) i+l~k ^x

^dkp j*' ^: X+... +X + A±... 4-A-+Y

дх'дк¹ •--------- p.------- --------- r-----------

l раз I раз

(Cfc — биномиальные коэффициенты).

Рассмотрим теперь двойные степенные ряды

£ F_klh^kg^l, h^X, geЛ, (4)

k+l> О

где Fki — {k + I) '-линейный оператор, ft-линейный по Л и /-ли­нейный по g. Вместе с рядом (4) рассмотрим следующий чис­ловой ряд:

I II IIII h f || g ||'. (5)

ft+i> о

13 В. А. Треногин 335

Пусть существуют числа р_и > 0 и г_и~> 0 такие, что при IIА|| < р_и и ||g|| < г_а ряд (5) сходится. В этом случае р_и, г_и на­зываются совместными радиусами сходимости числового ряда (5), а также и совместными радиусами равномерной сходимо­сти абстрактного ряда (4), так как в области ||А|| < p_u, ||g|| < г_и ряд (4) сходится абсолютно и равномерно.

Упражнение 4. Покажите, что числа г, 1 — г для лю­бого ге(0, 1) являются совместными радиусами сходимости

оо п

числового ряда X £ chx^kyⁿ~^k.

/1 = 0 А = 0

Таким образом, р_и и г_и определяются неоднозначно (напри­мер, при уменьшении р„ может увеличиваться г_и). Можно по­казать, что в области ||ft||< p_u, ||gll< r_u сумма ряда (4) есть функция непрерывная и ряд этот можно дифференцировать по hug любое число раз, в результате чего получаются непре­рывные функции, равные соответствующим производным ряда.

Приведем еще следующее определение. Оператор F(x, X) называется аналитическим в точке (*о, Яо), если можно указать окрестность этой точки, в которой F(x, X) представим равно­мерно и абсолютно сходящимся рядом Тейлора

оо

F (х, \) = F (х₀, Я₀) + £ ^ d^k {F (х₀, Я₀) (х -х₀, 1- Я₀)}.

а-1

Учитывая выражения (3) для дифференциалов и формулу биномиального коэффициента, ряд Тейлора оператора F(x, Я) можно записать также в следующем виде:

F (х, Л) = £ Рц (* - *> )' (Я - Я₀ У, (6)

о

где

_f _ 1 d^{, +l}F (*₀, *., ) ¹¹ tip дх'дк¹

Отсюда видно, что ряд Тейлора представляют собою двойной степенной ряд вида (4), где h = х — Хв, g = % — Яо.

В заключение остановимся на нескольких примерах (см. примеры 1—3 этого пункта).

Пример 4. Пусть в примере 1 k = I = m = 1 и координат­ная функция f(x, X) аналитична в точке (jto, Яо). Тогда

оо

/ (х, Я) = / (*о, ^о) + 2 If tfo (*о, (* -xq, х- Яо)},

а-1

где

к

^t _ V П¹ d^kf(x₀, Я₀) а,, , чА-г

^d to = L ^Ck -^^T О - *o) О - ^Ao)

1=0

Пример 5. Пусть в примере 2 функция f\x, и, X)" k раз не­прерывно дифференцируема по переменным (и, Я) е (— оо, 4- • Тогда k-й дифференциал оператора F в точке (ио(х), Х о)^ е С[а, ft] 4- Е¹ при приращении (h(x), С[а, ft] 4- Е¹ равен

a^kF = Tcl h^l(х)g^k~

1=0

Пример 6. Пусть в примере 3 функция }{х, Х)' дважды непрерывно дифференцируема при (хД)е(—оо, и пусть

хо(/)еС[а, ft], Второй дифференциал опера­

тора F в точке (x₀(s), Xo(s)) при приращении (h(s), g(s)) имеет следующий вид (проверьте! ):

d²F = ( К (t, s) { ^d2f(Xof_x'₂ ^K{s)) h*(s) +

_{+ 2 (X0}(s, X . (, )) _{д (s) g (s) +} (*. (g. (, )) _{g2 (s)} I ^

32.6. Первая вариация и производная Гато нелинейного опе­ ратора. В приложениях иногда оказываются полезными другие определения дифференцируемости нелинейного оператора.

Рассмотрим нелинейный оператор F(x), определенный в ок­рестности S точки Хо банахова пространства X, со значениями в банаховом пространстве Y.

Определение 1. Если для всех ZieJf существует предел

lim + _{=ЬР{хо] h)t} (1)

< -> о ^г

то этот предел называется первой вариацией оператора F в точке х₀.

Разумеется, в формуле (1) при каждом ЛеХ выражение F(xo + th) определено при достаточно малых |/|: при Хо + 4- th е S.

Заметим, что при фиксированном Хо первая вариация б F(x₀\h) является, вообще говоря, нелинейным оператором, отображающим пространство X (Л — переменная) в простран­ство Y.

Определение 2. Пусть оператор F имеет в точке Хо пер­вую вариацию следующего вида: 8F(xo\ h) = Ah, где А — ли^ нейный ограниченный оператор (AeS'fX, У)). Тогда говорят, что оператор F дифференцируем в точке Хо в смысле Гато. При этом оператор А называется производной Гато оператора F в точке х₀ и обозначается A = F'(x 0). Сама первая вариация

6F(x₀; h) = F'(xo)h (2)

называется дифференциалом Гато оператора F в точке хо по направлению А.

Упражнение 1. Вычислите производную Гато функцио­нала ф(x)=(x, f}, где / е X", X — банахово пространство.

Упражнение 2. Пусть ф(х) — функционал, определенный в окрестности точки х₀ банахова пространства X и дифферен­цируемый в точке х₀ в смысле Гато. Покажите, что if'^jef, причем (p'(x₀)h = < Л, ф'(*о)>.

Заметим, что из дифференцируемости F в точке в смысле Фреше следует его дифференцируемость в xq в смысле Гато Действительно, дифференцируемость F в точке Хо в смысле Фреше означает, что для всех достаточно малых Л

F(x₀ + h)-F (x_Q) = F' (*„) h + со (h),

где ||< в(А)||=о(||А||) при А -*■ 0, a F'(x ₀)—производная Фреше. Тогда при / е=(—1, +1), t ф О

F (х₀ + th)-F (jc₀) = F' (x_Q) th + со (/А),

где ||< в(/Л) ||= о( |/|) при < -> 0. Деля последнее равенство на/ и переходя к пределу при t -> ■ 0, получаем

lim P^ + m-F(_Xr> ) _{= F}, _ы f-»o '

Согласно (1), (2) это означает дифференцируемость F в Хо в смысле Гато, а также совпадение производной Гато F в точке х₀ с F(по­следующий пример показывает, что из дифференцируемости оператора по Гато не вытекает его дифференцируемость п > Фреше.

Пример 1. Рассмотрим функцию /: Е²-+Е¹ переменных (х, у), определенную формулой

f (х, у) = 1, если у = х², х Ф 0;

/ (х, у) = 0 в остальных точках Е².

Эта функция разрывна в точке (0, 0), а потому не дифферента р^ема в этой точке в смысле Фреше. В то же время

f (th, ig) - / (Q, Q) _ _n t ^u'

ибо f(0, 0) = 0 и f(th, tg) = 0 при любом (Л, g) и достаточно малом t (нарисуйте график /). Следовательно, функция f диф­ференцируема в точке (0, 0) в смысле Гато и ее дифференциал Гато в этой точке равен нулю.

Следующий пример показывает, что требование существо­вания первой вариации слабее требования дифференцируемо­сти по Гато.

Пример 2. Рассмотрим функцию

fix, у)=^Х*_хГ+^Х_у? при х* + у²> О,

/(0, 0) = 0.

Упражнение 3. Покажите, что

б/((0, 0); (Л, g)) = f(h, g),

т. е. f имеет в точке (0, 0) нелинейную первую вариацию и, значит, не дифференцируема в этой точке в смысле Гато.

Задачи.

1. Найдите производную Фреше функционала (UII в вещественном гиль­бертовом пространстве.

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Богослужение неподвижных дней года
2. Как производится графический метод расчета нелинейных цепей постоянного тока?
3. Качественные характеристики оценок параметров нелинейных эконометрических моделей
4. Метод простой интерации и Зейделя для решения систем нелинейных уравнений
5. Методы исследования нелинейных САР.
6. Написание программы на Паскале с использованием операторов ввода-вывода данных, операторов присваивания и безусловного перехода
7. Нормальное и прерванное выполнение операторов
8. Особенности оценки параметров нелинейных моделей
9. ПОДБОР И РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ ОБОРУДОВАНИЯ ТЕПЛОВЫХ СЕТЕЙ: КОМПЕНСАТОРОВ, НЕПОДВИЖНЫХ И ПОДВИЖНЫХ ОПОР, ТРУБОПРОВОДОВ.
10. Разработка проектов в Visual Basic: соглашения об именах, редактор кода, создание процедур пользователя, запись основных исполнимых операторов.
11. Тема 7. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений
12. Теоремы о неотрицательных линейных функционалах.