Левый и правый обратные операторы.

Определение I. Пусть А^2'(Х, У). Оператор U е eS'll',! ) будем называть правым обратным к А, если AU = = 1у.

Определение 2. Пусть AeS'fX, У). Оператор V е е 2 (У, X) будем называть левым обратным к /1, если VA =

Здесь через /к обозначен тождественный оператор в про­странстве У, а через /*—тождественный оператор в простран­стве X. Ниже для правого обратного к Л используем обозначе­ние Л^', а для левого — ЛГ'-

Интересно взглянуть на эти определения с точки прения су­ществования н единственноегн решения уравнения

Ах = у. (1)

Лемма I. £ '.■; < < существует правый обратный Аг" ¹ к А, то уравнение (! ) имеет решение

х = А7¹ у.

Если существует левый об репный к А, то уравнение (1) мо- otcei иметь не более одного решения.

Замечание I. В первом случае говорят, что для уравне­ния (1) справедлива теорема существования, а во втором—тео- piма единственности.

Доказательство леммы.

А (ЛГ^, " ) = (/1ЛГ')У = У.

т. с..г = Л_г" '/у обращает (1) в тождество и, значит, является решение».!. Далее, пусть существует ЛГ¹- Рассмотрим N(A). Пусть xeiN(A), тогда Ах — 0. Применим к этому равенству оператор ЛГ¹, тогда ЛГ'Лх = 0, откуда х = 0. Итак, всякое х < = N(Л) оказывается равным 0. Значит, Л/(Л) = {0} и, по тео­реме 1 п. 12.1, Л взаимно однозначен, т. е. для уравнения (! ) справедлива теорема единственности.

Замечание 2. Если существует А~\ то R(A) — Y. Если с ществует А~\, то N(A) = {0}. Это замечание является пере­фразировкой леммы.

Приведем примеры, иллюстрирующие понятия правого и ле­вого обратного операторов. Пусть И — гильбертово простран­ство с ортонормироваиным базисом •

Пример 1. Зададим линейный оператор Л в И следую­щим образом:

Л<? | = 0, Aei = <? _; _i, / = 2, 3, ...

оо

Элемент x=Y^ik^ek принадлежит Н тогда и только тогда, к = 1

оо

когда || х ii² = X I h I² < + ⁰⁰ (см. п. 6.5).

Упражнение 1. Показать, что R (Л) = Н, a N(A)— одно­мерное пространство, натянутое на вектор ei (см. п. 12.1). Зададим линейный оператор ЛГ' формулами

A7^]e_k = e_ki.i -f Yfcfii. £ = 1, 2,...,

где y 1. • • • — некоторые постоянные такие, что сходится 138

ряд £ I У к I²- Если у = £ ( Ё I % I² < ⁰⁰ ). то

оо оо

Л7¹у = Z ^fe+i + е_{ £ Yfclft

оо

(по неравенству Коши — Буняковского ряд сходится).

i = \

Упражнение 2. Показать, что ЛГ'Л = /.

Таким образом, оператор Л имеет семейство правых обрат­ных операторов, зависящее от произвольного вектора

оо

С = Z Yft^ft е= Я. ft=!

Пример 2. В том же гильбертовом пространстве Я рас­смотрим линейный оператор В, заданный формулами

Be_k = e_k+1, /г = 1, 2, ...

Упражнение 3. Показать, что N(B)={0}, a R(A) со­стоит из векторов, ортогональных еь

Зададим в Я линейный оператор Bf' следующем образом:

BT^le_k+l = e_k, k = 1, 2............ B7ⁱe_l=z,

где z— произвольный вектор из Я.

Упражнение 4. Показать, что ВВГ¹ = 1-

Таким образом, оператор В имеет семейство левых обрат­ных операторов, зависящее от произвольного элемента геЯ. Приведенные примеры показывают, что, в общем случае, нельзя говорить о единственности правого и левого обратных опера­торов.

Тем не менее справедлива

Лемма 2. Пусть для оператора А^2? (Х, У) существуют А_г ' и АГ\ Тогда существует оператор А~\ обратный к А, и

1) А~^х = ат' = АТ'\

2) D(A-^[) = Y, R(A-^[) = X-,

3) правый обратный к. А и левый обратный к А единственны.

Доказательство. Из существования ЛГ' и Л/^_1> со­гласно теореме Банаха и замечанию 1, имеем: А отображает X на У взаимно однозначно, т. е. А всюду обратим. Пусть Л^-1 — оператор, обратный к А. Утверждение 2) леммы очевидно. До­кажем единственность правого и левого обратных к А. Пусть U — еще один левый обратный к A, a V — еще один правый об­ратный к А. Имеем равенства

VA = I_X, ЛГ'Л = /_Х,

откуда {V — Ai ')Л = 0. Применяя справа оператор А полу­чим V = Л/^-'• Аналогично доказывается, что U = ЛГ'- Поскольку за У и за U можно принять А~\ отсюда получаем и первое ут­верждение леммы. Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть А^2(Х, У), и пусть существует опера­тор U ^ 2 (У, X) такой, что

U А — 1 _х, AU = 1у,

тогда А непрерывно обратим и Л^-1 = U.

Доказательство. Поскольку U является и левым обрат­ным и правым обратным к Л, то по лемме 2

Л" ¹ = U < =2(У, X).

12.4. Существование (/ — С)^-1. В этом и в следующем пун­ктах будут доказаны две теоремы об обратных операторах, ча­сто используемые в последующем изложении. Очень важны также доказываемые при этом оценки обратных операторов. Среди применений отметим, в частности, метод малого парамет­ра (см. пп. 13.5—13.7), метод продолжения по параметру (см. § 14), а также приложения к оценкам погрешностей прибли­женных решений линейных уравнений (см. § 22).

Пусть X—банахово пространство. Рассмотрим банахово пространство 2 (X) — пространство линейных, ограниченных, всюду заданных операторов. Пусть I — тождественный оператор в 2(Х). Очевидно, / непрерывно обратим. В этом пункте до­казывается, что вместе с / непрерывно обратимы все операторы Ле5](/)—единичного шара в 2(Х), т. е. все такие Л, для которых справедливо неравенство ||Л — /||< 1. Для краткости положим С = 1 — Л.

Теорема. Пусть Се£ " (Х) и ||С||< 1; тогда оператор I—С непрерывно обратим. При этом справедливы оценки

Ис-сг'^-птргр < *>

^-(/-cr^k-JjL. (2)

Доказательство. Рассмотрим в 2 (X) ряд

/ + с + с² + с³+...

Так как ||C^fc|| ^ ||С||*, то ряд (3) оценивается сходящимся числовым рядом — геометрической прогрессией

1 +||С|| + ||С||² + ||С|М-... (3)

По признаку Вейерштрасса (см. теорему 2 п. 5.6) ряд (3) сходится равномерно, т. е.

S_n = / + C+... п-> оо,

где 5 — сумма ряда (3). Далее простой проверкой убеждаемся, что

(/ — С) S_a = l — C^n+l,

S_n(l -С) = / -C'^l+I-

Но при п-+оо С" +'н. О (ибо ||C" +i||s£ l|C|lⁿ⁺¹ и ||С||< 1), а S„-> S. Поэтому в пределе имеем равенства (/ — C)S = I и S(J — С) =/. По лемме 1 п. 12.3 отсюда заключаем, что I — С непрерывно обратим и 5 = (/— С)^-1. Далее,

1-11 с II • II с II — II с ||" +| 1 - II с II

IIS„]|< 1+||C]|+... +||С|Г= '-^||С||'^{! +} '

I/-SJKIICII+... +||С|Г =

Переходя в этих неравенствах к пределу при п -*■ оо, получаем оценки (1) и (2).

12.5. Существование (А — С)~^[. Рассуждение п. 12.4 мы пере­несем теперь на более общий случай пространства Пусть А < = 3? (X, У) непрерывно обратим. Будет показано, что существует шар S, (/l)cz2^{: >} (X, У), все операторы из которого бу­дут непрерывно обратимы. Предварительно докажем следую­щую лемму.

Лемма. Пусть Ai^S^X, У) и A₂^3(Y, Z) непрерывно обратимы. Тогда A₂A\^3(X, Z) непрерывно обратии и

= X).

Доказательство. Достаточно заметить, что оператор U = ЛГ'Л< Г' е 3 (Z, X) является обратным к Л₂Л_Ь и восполь­зоваться леммой 3 п. 12.3.

Теорема. Пусть A, BeS'fl, У), Л непрерывно обратим и выполнено неравенство

II (S- Л)Л" '||< 1. (1)

Тогда В непрерывно обратим и справедливы оценки

1Л" Ч< ______ ^^_________ (2)

¹¹" ¹¹ ^ 1 -|| (й- Л) л-¹1| ' ^у£ >

Доказательство. Представим оператор В в виде В = = Л—(Л — В) = [1—(Л —В)Л-']Л. Воспользуемся леммой при А\=А, А₂ = / —(Л — В)А~\ Оператор А_х непрерывно об­ратим по условию, и

ЛГ = Л •

Далее, так как || (Л — В)Л-'|| < 1, то по теореме предыду­щего пункта оператор А₂ также непрерывно обратим, и,

В" ¹ = а~¹\1-(А-В) л-'Г'-

Оценки (2) и (3) теперь очевидным образом следуют из оценок (1), (2) н. 12.4.

(4)

Следствие. Пусть А непрерывно обратим и справедлива оценка

-I

II б — А || < I А~ Тогда В непрерывно обратим, причем

 

(5)

(6)

Доказательство. Заметим, что ||(б— /4)Л^_1|К11В — — А |! ||Л^-||1 и если имеет место неравенство (4), то тем более имеет iwcro неравенство (I). Оценки (5), (6) вытекаю! из оце­нок (2), (3), так как дробь может только увеличился, если числитель се заменить большим числом, а знаменатель—мень­шим.

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. ЛЕВЫЙ ШАССЕ ПОВОРОТ» (Chasse Reverse Turn).
2. Обратные слоги и слоговые ряды с ними: АС, ОС, УС, ЫС, ИС
3. Определите функцию штатного работника редакции по приведенным направлениям работы журналиста, и впишите ее в левый столбец таблицы
4. ХОВЕР КОРТЭ», исполненное после 3-х шагов фигуры «Быстрый открытый левый поворот» (Hover Corte).