Принцип вложенных шаров. Множества I и II категории.

В банаховом пространстве справедлив следующий аналог известного принципа вложенных отрезков (см. [18]).

Теорема 1. Пусть в банаховом пространстве X дана последовательность шаров {S (*„)}, вложенных друг в друга

(-*■ «+1) ^sr_n (*_n))> " =1, 2, ..., причем г„ -> 0 при поо.

Тогда в X существует единственная точка х, принадлежащая всем шарам.

Доказательство. Рассмотрим последовательность {х„} центров шаров. Так как х„, х_п+и... лежат в шаре S_r (jc_n), то

IIХп+р — JCnl|^r_n-> 0, п-> -оо. Поэтому {*„}—фундаментальная. Так как X полно, то х„ -> дс < = X при п -> с». При этом {*_п}°° с:

^с^Sr_k(^xk)a ^и> значит, *eS (*, ), k = \, 2, ... Если х'- еще одна точка, принадлежащая всем шарам S (x_k), то

II* — *' IKII* —II + H х_п — х' ||< 2г„-*0, п-+оо.

Отсюда * — х', и теорема доказана.

Упражнение 1. Докажите, что нормированное пространство X полно тогда и только тогда, когда любая последовательность вложенных друг в друга шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имеет непустое пересечение.

Определение 1. Множество М в нормированном пространстве X называется нигде не плотным в X, если в каждом шаре S а X содержится другой шар Si, не содержащий точек М.

Упражнение 2. Покажите, что в определении 1 можно взять замкнутые шары S и Si.

Определение 2. Множество в нормированном пространстве называется множеством I категории, если оно есть объединение счетного числа нигде не плотных множеств. Если М нельзя представить в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств, то М называется множеством II категории.

Упражнение 3. Покажите, что нигде не плотное в X множество является множеством I категории.

Упражнение 4. Покажите, что в Е³ любая плоскость — нигде не плотное множество, а множество всех точек Е³ с рациональными координатами есть множество I категории, плотное в £ ³.

Теорема 2 (Бэр — Хаусдорф). Всякое банахово пространство является множеством II категории.

Доказательство. Допустим противное, что банахово пространство X представимо в виде

х = м, им₂им₃и...,

где каждое Mi нигде не плотно в X. Возьмем какой-либо шар S_r(xо). Так как М\ нигде не плотно, то существует шар S cr в котором нет точек Мь Можно считать, что г, <

< 1. Тогда М₂ нигде не плотно; поэтому в (х, ) содержится шар S (лг₂), не содержащий точек из М₂, так что г₂ <. 1/2. Продолжая эти рассуждения, мы получим последовательность |S_r (*„)} вложенных друг в друга шаров с г_п -> 0, я-»- оо.

В силу теоремы 1 о вложенных шарах существует точка а'о, принадлежащая всем шарам. Но х₀фМ_к, ибо х_а < = S_k(x_k), в котором нет точек из М*. Это верно при k = 1, 2, ... Значит, х₀ф.Х, но х₀ = lim х_к и X полно. Полученное противоречие

доказывает теорему.

Упражнение 5. Докажите, что в банаховом пространстве

1) всякое непустое открытое множество есть множество II категории;

2) множество, дополнительное к множеству I категории, всегда II категории;

3) в С [а, Ь] функции, обладающие конечной производной хоть в одной точке, составляют множество I категории и, значит, в С[а, Ь\ существует всюду иедифференцируемая функция.

Задачи.

1. Докажите полноту любого конечномерного нормированного пространства.

2. Докажите полноту пространства т.

3. Докажите полноту пространства сходящихся последовательностей с нормой IWlH^f!?..! h I

оо

4. Ряд ^ х_к называется безусловно сходящимся, если при любой пере-

fc-l

становке его членов он сходится к одному и тому же элементу. Покажите, что

а) абсолютно сходящийся ряд является безусловно сходящимся;

б) в конечномерном пространстве всякий безусловно сходящийся ряд является абсолютно сходящимся;

в) абсолютная сходимость эквивалентна безусловной сходимости тогда и только тогда, когда банахово пространство конечномерно.

Гильбертовы пространства

6.1. Определение гильбертова пространства. Пространство со скалярным произведением называется гильбертовым, если оно полно в норме, порожденной скалярным произведением. Гильбертовы пространства обычно обозначают буквой Я.

Простейший пример гильбертова пространства дает евклидово пространство Е'^п.

Покажем, что пространство I² (пример 2 п. 4.4) является полным и, значит, гильбертовым. Возьмем в /² фундаментальную последовательность {а,, }, где = {Е*¹'}^' ^как

( » Л 1/2

I ir^p> - ЕГ> | < ( S 11Г ^Р) - 1Г? } = || х_п+р - х_п ||,

то при каждом фиксированном k числовая последовательность {Е*^п>} _t является фундаментальной в Е^т и, следовательно, сходящейся. Пусть = lim Рассмотрим последовательность

оо

вещественных чисел {Ц? '}^ =*₀ и покажем, что jc₀e/^! и что

х_а-*-хо при оо в Р. Из фундаментальности {х_п}с: I² следует, что для всякого е > О можно найти номер N такой, что при всех номерах п > N и при любом натуральном р будет выполняться неравенство

( °° 1/2 Но тогда для всякого номера т

( т -) 1/2

(Е |2'/^1+р,~ёГР] < «.

Перейдем в последнем неравенстве к пределу при р —*■ -(- оо и получим при всех п> N

( т ) 1/2

Теперь перейдем к пределу при т—*-оои найдем

( °° " J 1/2

| Е 1- if |² ] < «.

Полученное неравенство означает, что при п > N х₀ — х_п ^ I²и что ||х₀ — *и|1 ^ е. Но тогда х₀ = х_п + (х₀ — х„) < = I² вследствие линейности I². Кроме того, Хп-^х₀ при п-*- оо.

Упражнение. Докажите тем же способом, что пространство 1^р, (см. п. 2.6), является полным и, значит, банаховым.

6.2. Расстояние от точки до замкнутого выпуклого множества. Вернемся к задаче наилучшего приближения, рассматривавшейся нами в пп. 3.3—3.5. В гильбертовом пространстве, вследствие его полноты и наличия понятия ортогональности

элементов, удается полностью решить эту задачу. Сначала, в данном пункте, рассматривается общий случай, затем, в следующем пункте, изучается важный частный случай линейного приближения.

Пусть в гильбертовом пространстве Н задано множество М и точка х е е Н. Определим расстояние от точки х до множества М по формуле

р (x, М) = inf || х — и ||.

us М

Лемма. Если х е М, то р (х, М) = 0. Если хфМ и М замкнуто, то р(х, М) > 0.

Доказательство. Если x< =Af, то при и — х имеем Цх — _w||= 0, откуда р(х, Л1)=0. Пусть теперь М. замкнуто, а хфМ. Допустим, что р(х, М) = 0. По определению точной нижней грани для любого п найдется н„ е М такое, что ||х —«_п||< < С 1 /п. Отсюда и_п-+х при п-*-оо. Вследствие замкнутости М хеМ, но по условию хфМ. Полученное противоречие приводит к выводу о том, что допущение р(х, М) = 0 неверно. Значит, р(х, М)> 0, и лемма доказана.

Теорема. Пусть М-—замкнутое выпуклое множество в гильбертовом пространстве Н и точка хф. М. Тогда существует единственный элемент у е М такой, что {рис. 6)

р(х, М) ~\\х — у ||.

Доказательство. Согласно лемме d = р(х, М) > 0. Снова воспользуемся определением inf: для любого п найдется _м„е М такое, что

Покажем, что последовательность {и_п}—фундаментальная. Для этого воспользуемся равенством параллелограмма, приняв _х — _Un и х — и_т в качестве его сторон. Диагонали параллелограмма будут тогда 2х

— Un — Ит И Urn — Un> Равенство параллелограмма имеет вид

21| х - u_n IP + 21! х - и_т |! ² = || и_я - и_т |Р + || 2х-и_а- и_т ||².

Заметим теперь, что ~~" " " ^т~~ еМ вследствие выпуклости М; поэтому

|| 2х — и_п — и_т |р = 4

^ип + и_т ||²

Далее, согласно неравенству (1)

|| * - u_n |р < (d +, || х - и_т ||² < (d + •

Следовательно,

\\u_n-u_mf = 2\\x-u_n\? + 2\\x-u_nt-A\x- " ⁿ~" ^m f<

V n / \ m) n in п^г m¹ A

если m, n> N, откуда и вытекает фундаментальность {ci_n}. Вследствие полноты И {ы„} сходится к некоторому элементу у е М, ибо М замкнуто. Переходя к пределу в неравенстве (1) при п —*■ оо, получим ||л; — у|| = d. Осталось доказать, что элемент у, на котором достигается точная нижняя грань И* —«II, единствен.

Пусть для некоторого у* < = М также IU— у*\\= d. По равенству параллелограмма

4d² = 2\)x-yT + 2\\x-y* ||² — \\у — у* II² +

Следовательно, ||у — у*\\=0 и у* = у. Теорема доказана.

6.3. Расстояние от точки до подпространства. Если в трехмерном евклидовом пространстве задана плоскость L, проходящая через начало координат О, и точка Р, не лежащая на L, то существует точка Р' е L такая, что |РР'| реализует расстояние от точки Р до плоскости L. При этом прямая РР' перпендикулярна плоскости L.

Эти факты справедливы в произвольном гильбертовом пространстве Н. Пусть L—подпространство в Н, т. е. замкнутое

5 J

линейное многообразие. Пусть, далее, reff, но хфЬ. Как и в п. 6.2, расстояние от точки х до подпространства L определяется формулой

р(х, L)= inf || х — и |L

и ei

Далее, заметим, что всякое подпространство гильбертова (или банахова) пространства является замкнутым выпуклым множеством. Поэтому имеем следующее следствие из теоремы п. 6.2.

Следствие 1. Существует единственный элемент у е L, реализующий расстояние от точки х до подпространства L\

р(х, L) = || jc — у ||.

Отсюда вытекает еще один важный вывод.

Теорема. Пусть ||х— у\\=р(х, L); тогда х — у _L L.

Доказательство. Докажем, что для любого h^L имеет место равенство (х — //, Л.) = 0. Пусть Я— произвольный

комплексный (вещественный, если Н вещественно) параметр. Имеем |)дс — у -f- -f lh\\^\\x — t/||, значит,

(x — у + Я/г, х — у + Щ — у, х — у).

Производя упрощения, получим

Рис. 7. Я (/г, х - у) + Я (х — у, /1) + ЯЯ||/г||²> 0.

Полагая здесь Я = — ~~^ ^~~, получим — ^-щг^—^ 0, откуда (х — у, h)— 0.

Следствие 2. Пусть L — подпространство в Н\ тогда для любого 1бЯ справедливо разложение (рис. 7).

х = у + г, (I)

где y^L, z -L L, причем это разложение единственное.

Для доказательства достаточно взять у, определяемый по х на основе теоремы (если х е L, то у — 0), и положить х — у + + (х — у), где z — х — у 1 L по теореме.

Элемент у в разложении (1) принято называть проекцией * (ортогональной) на подпространство L.

Упражнение. Пусть имеет место ортогональное разложение (1). Докажите теорему Пифагора: ||л: ||² = 1Ы1² +1|г||².

6.4. Ортогональные дополнения. Определение. Пусть L — линейное многообразие в Я. Совокупность всех элементов из Я, ортогональных к L, называется ортогональным дополнением к L и обозначается L^L.

Теорема 1. L¹— подпространство в Н. Доказательство. Докажем линейность ZA Пусть z\, г₂ е Н, т. е. (z_bi/) = 0, (г₂, у) = 0 для любых у е L. Тогда для любых скаляров и Х₂

(Я, z, + l₂z₂, у) = li (z_hу) + Х₂ (z₂, у) = О

для любых у ^ L, т. е. Xi2i + K₂z₂ е L^L.

Докажем замкнутость L^L. Пусть дана {г_л}с= L¹ и z_n-*-z, п-уоо. Для любых у е L имеем (z_n, y) = 0. Перейдя в этом равенстве к пределу при п оо по свойству непрерывности скалярного произведения, получим (z, y) = 0 для любого у е L, т, е.г£ L¹. Теорема доказана.

Замечание. Если, в частности, L — подпространство в Н, _то Li-—также подпространство в Н.

Теорема 2. Пусть L — линейное многообразие в гильбертовом пространстве Н. L плотно в Н тогда и только тогда, когда L±={ 0}.

Доказательство. Достаточность. Пусть L^x =={0}, 7. е. если (г, t/) = 0 для любого у е L, то z = 0. Допустим, что L не плотно в Н. Это означает, что существует x₀^L. L — подпространство, и ХофС. Тогда справедливо ортогональное разложение x₀ = yo + z₀, где уо ^ L, a z₀ е (Г)¹ = (L) -¹-. При этом 2оФ0; иначе, х₀е С, (z₀, y) — 0 для любых и, в частно

сти, для любых у е L. По условию такой Zo равен 0. Мы получили противоречие, которое доказывает, что допущение о неплотности L в Н неверно.

Необходимость. Пусть L плотно в Н, т. е. Е = Н. Допустим, что существует гцеЯ, z₀ 1 L. Пусть {y_n}cz L и у„ -> -у ^ Н, п -^ оо. Тогда 0 = (t/n, 2₀)-> -({/, го) при n-voo вследствие непрерывности скалярного произведения. Значит, (y, Zo) = = 0 для любого у^Н (плотность L в Н). Полагая, в частности, у = Zq, получим (г₀, z₀)=0, откуда г₀ = 0. Теорема доказана.

6.5. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. Пусть в бесконечномерном пространстве £ со скалярным произведением дана ортогональная система {ф_А}, т. е. ф* ф 0, k =1, 2, ...;

ОО

(ф*. ф/) = 0 при I Ф k. Ряд вида £ «аФл называется рядом по

ортогональной системе {ср*}. Пусть х< =Е. Числа c_k =.

ь _ 10 II 'ft II

« 1, г, называются коэффициентами Фурье элемента х

оо

ПО Ортогональной системе {ф*}, а ряд £ ^сьФь называется ря-

k=\

дом Фурье (по ортогональной системе {ф*}), составленным для

п

элемента х (ряд Фурье элемента х). Многочлен £ с_Аф_д — час- тнчпая сумма ряда Фурье — называется многочленом Фурье (элемента а).

Мы пока оставляем открытыми вопросы: сходится ли ряд Фурье эле, мента х? Если сходится, то к х или к другому элементу?

Возьмем теперь первые п векторов ортогональной системы {ф«}: ф[. ф₂, Ф-I- Образуем всевозможные их линейные ком-

п

бннацни вида и_п — £ a_kq> _k. В результате мы получаем «-мерное

А-1

подпространство L_n в Е. Иногда говорят, что L„ натянуто на (р!, ф2, ..., тр« или что L_n является линейной оболочкой Фг. Ф-- Возьмем теперь элемент х е Е и вычислим квадрат расстояния между х и и„:

Рассуждения ведутся для случая комплексного Е. В вещественном случае все выкладки тоже справедливы, но несколько упрощаются. Пользуясь свойствами скалярного произведения, получаем

^ = ( * — £ ЗДРа- x — т, a_k< fk) =

\ А = 1 Лг — I /

п п п

= (х, х) — Yj «а (Фа> X) — £ a_ft (л:, ф*) + £ a*aк (фл. Фа).

Заметим теперь, что

Фа) = с_к || щ ||², (ф₄, х) — (*, ф*) = с_к || ф₄1|², где& — коэффициенты Фурье элемента х. Следовательно,

А» = 11 * IP - i «А II Фа Г - «А*А || ФА f + t \ % |f.

Далее,

I Щ — I² = (а* — с_к) (а_к — с_к) = а_ка_к — а_кс_к — с_ка_к + | с_к I², и мы получаем

Теперь мы можем вычислить

d_n = p(x, L_n)= inf ||х —u„ll = inf Л_я,

" n^eL_n ^ai.... ^ап

где А„ зависит от и_п — £ ссаФа, т. е. от п комплексных перемеп-

ных аь аа, ..., а_п. Явная формула, полученная для А'_п, показывает, что й_п достигается при ак = с_к, k = 1, 2, ..., п. Это

G2

свойство коэффициентов Фурье с_и с₂, .... с„ называется минимальным свойством коэффициентов Фурье. Итак, мы имеем следующее предложение.

Теорема. Пусть {ф4 ортогональна в пространстве со скалярным произведением Е, пусть L_n — подпространство, натянутое _На ф, фп. Тогда d_n = p(x, L_n), х^Е, дается следующими формулами:

d„ =

(1)

Е ^ckfk

k = V

(2)

ф»

dl = \\x\? -Y.\c_t

k=V

мента х по си-

где Ck, k— 1, 2, ..., —коэффициенты Фурье эле: стеме {фй}.

Из доказанной теоремы легко выводится Следствие. Если пг> п, то

х — Е С_к щ

\<

х-Т,

CkWk

4=1

k= 1 I

Действительно, по формуле (2)

d*_m=I! х ip - Е \c_kf\ ф, f < iu IP - E \c„ p J ф, |f = di

Осталось воспользоваться формулой (1).

Упражнение 1. Доказать формулы (1) и (2) в случае вещественного пространства.

Итак, наилучшее приближение элемента х посредством элементов из L_n есть многочлен Фурье элемента х:

п

Е с_ку_к. 6 = 1

Упражнение 2. Найти наилучшее приближение функции е¹ в метрике & ₂\—1, 1] с помощью многочлена третьей степени. Воспользоваться многочленами Лежандра.

(i)

6.6. Неравенство Бесселя. Полные ортогональные системы. Так как d²_n > 0, то из формулы (2) п. 6.5 имеем

Е|^р||ф*|р< ||*|

k=i

оо

Слева стоит частичная сумма числового ряда Е I с_к |²1| а_к |р

fe=i

с неотрицательными членами, причем оценка (1) верна для любого п.

Ряд с неотрицательными членами сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена
(см. [18]). Следовательно, из (1) вытекает сходимость

оо

ряда Yj I ^ch I'²IIФйI! ^{2 и} неравенство для его суммы к = 1

оо

Хк*Р! 1Ф, 11²< Н*Г. (2)

Это неравенство называется неравенством Бесселя. Его справедливость доказана нами для любой ортогональной системы в любом бесконечном пространстве со скалярным произведением.

Из неравенства Бесселя вытекает следующее важное следствие.

Следствие. Если || ср* || ^ а > 0, k = 1, 2, ..., то коэффициенты Фурье си любого элемента х е // стремятся к нулю при k оо.

оо

Для доказательства заметим, что теперь ^ | с_к |² ^ -р-II * li" ^н

ft=1

|с/г|²—> -0, k-> -oo, как члены сходящегося ряда. Переходим к вопросу о сходимости ряда Фурье. Определение 1. Ортогональная система {ф^} из гильбертова пространства // называется полной, если для любого х^Н

оо

Z Ck< Vk = X h = \

(ряд Фурье, составленный для х, сходится к х).

п X — Z C_k(f_k

Полная ортогональная система называется ортогональным базисом гильбертова пространства Н. Из формул (1), (2) п. 6.5 имеем

Z k* I² II ФА IP. (3)

Отсюда приходим к следующему заключению:

Для того чтобы {ф& } была полной, необходимо и достаточно, чтобы

оо

X I Ch I² II Фа II² = IIX ||². (4)

Таким образом, в случае полной системы и только в этом случае неравенство Бесселя превращается в равенство. Равенство это называется равенством Парсеваля — Стеклова.

Заметим, что полнота ортогональной системы означает, что ее нельзя дополнить до более широкой ортогональной системы путем присоединения новых элементов.

Приведем еще один критерий полноты ортогональной системы. Для этой цели нам будет полезно следующее определение.

Определение 2. Пусть в линеином пространстве Е задана конечная или бесконечная система элементов {и}. Множество L всевозможных конечных линейных комбинаций л

£ c_kx_k при различных п будем называть линейной оболочкой k-1

системы {хь}.

Упражнение. Покажите, что L — линейное многообразие в Е.

Теорема. Ортогональная система {фь} из гильбертова пространства Н полна в том и только в том случае, когда ее линейная оболочка L плотна в Н (т. е. L = Н).

Доказательство. Пусть {ср*} полна. Если L=f=H, то найдется *о Ф 0. Но тогда (хо, (р*)=0, k = 1, 2, ...

Значит, Си — = 0. Вследствие полноты системы х₀ =

II ч> * 1г

оо

= ^ ^йФ* — 0- Полученное противоречие доказывает, что L = Н. ft = l

Пусть теперь L = Н. По определению плотности L в Н для любого е> 0 существует i, e[ такое, что И* — *_е||-< е. Так как то х_в — конечная линейная комбинация по {< р*}.

N

Значит, существует N = N(b) такое, что x_t = X

л-1

По минимальному свойству коэффициентов Фурье

|*~ Z^AVijs^ll* —*е II-

Далее, по следствию п. 6.5 для любых п > N с ростом п. Следовательно, для любых п > N

I

n И II N

* — Z с*Ф*1< * — Е C_h< p_ft

< 11* —*_f II < e.

II II s-=i

Итак, для любого e> 0 нашлось N = N(s.) такое, что для любых п > N имеем

!

п |

* — Е c> Mk < е-

оо

Это означает, что Е с*Фй = *. Так как х ^ Н произволен, полнота {< р*} доказана.

6.7. Ряды Фурье в оснащенном банаховом пространстве.

Пусть X — банахово пространство, а ||л: || — норма элемента

3 В. А. Треногим g< j

хё! Иногда наряду с нормой || • II в X (как в линейном пространстве) можно еще ввести скалярное произведение (оснастить банахово пространство скалярным произведением) (*, < /).

Скалярное произведение порождает в X еще одну норму:

11 х ||_с = V (х, х). не совпадающую, вообще говоря, с ||-||. Если при этом существует постоянная у> 0 такая, что IUIU^yIUII для любых х^Х (т. е. Ц -1| _с подчинена норме IHI, см. п. 2.9), то говорят, что X—-оснащенное банахово пространство.

Если ||- ||с не эквивалентна норме || • || (см. п. 3.2), то в X возникает два вида сходимости: сходимость по норме 1Ы1, которую мы будем называть равномерной сходимостью, и сходимость по II-Не, которую мы будем называть сходимостью в среднем. Из сходимости х_п-+х, п-^оо, равномерной следует сходимость х_п -*■ х, п -*■ оо, в среднем (проверьте! ).

Пример 1. В C[a, i] введем, кроме нормы ||*|| = max | x(t) |, еще и скалярное произведение

(а. 6|

ь

(х, y) = \x{t)y{t)dt.

Тогда

.Ь.1/2

и, значит, С[а, Ь] превращено в оснащенное банахово пространство. Иначе можно сказать, что оснащенное банахово пространство X погружено в некоторое гильбертово пространство.

Целью наших рассмотрений является следующее предложение.

Теорема. Пусть X — оснащенное банахово пространство, и пусть X — линейное многообразие в X, плотное в X в метрике II-|| с. Пусть, далее, ряд Фурье всякого элемента по орто

гональной системе {фь} сходится к х в метрике ||-||. Тогда {< р*} полна в X в метрике || • ||_с-

Доказательство. Зададим произвольные и е > 0.

Вследствие плотности X в X найдется х < = X такой, что

\\x-k Не < е. (1)

Ck Vk

Далее, по условию теоремы ряд Фурье по {фь} для х сходится к нему. Значит, по е > 0 можно найти N = N(e) такой, что для всех п> N

< е. (2)

k=i

Здесь £ k — коэффициенты Фурье элемента х. Используя нера*

венства (1) и (2), получаем при любых п > N

х — Z СаФл

i — S ^ЛФЛ

< (1 + V) е.

< ||*-*11_с +

I

По минимальному свойству коэффициентов Фурье получаем при любых п> N

* — Z C_ky_k

X, -x~x(f) - х-Ш') ^ [

а 0 / ^bt

Рис. 8.

" " ~ " < (1+Y)e.

* — Z Ckqpft k=\

Здесь c_k — коэффициенты Фурье элемента *. Это и означает

сходимость ряда Фурье £ с_кщ к *. Теорема доказана.

k = 1

Пример 2. Пусть X = С[—л, л]. В качестве линейного многообразия Я возьмем класс функций *(/). непрерывных на [—я, я], кусочно непрерывно дифференцируемых на этом отрезке и'таких, что *(—л) = *(л). В математическом анализе (см. [18]) доказывается теорема о том, что ряд Фурье, составленный для * е Я, по тригонометрической системе сходится к х равномерно. Кро- м^ того, нетрудно проверить, что Я плотно в X в среднем, аппроксимируя непрерывную на [—л, л] функцию ломаной x(t)^.X и разбив [—я, я] достаточно мелко (рис. 8).

Из доказанной теоремы следует сходимость ряда Фурье, составленного для непрерывной функции, в среднем к ней же.

6.8. Ортогональные разложения в гильбертовом пространстве.

Теорема 1. Во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортогональный базис из конечного или счетного числа элементов.

Доказательство. Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство. Тогда в Н найдется счетное, всюду плотное множество {*„} (см. определение п. 5.7).

Пусть х_к — первый не равный нулю элемент в {*„}; обозначим его через е\. Рассмотрим последовательность х_к+и х_к+2, ..., и пусть */ —первый ее элемент, линейно независимый с в\. Обозначим xi = e% Рассмотрим последовательность */_+], xt₊₂, ... и обозначим через е₃ первый ее элемент, не являющийся линейной комбинацией е_х и е₂. Продолжая эти рассуждения, получим конечную или бесконечную систему элементов {е_п}. Поскольку линейная оболочка (см. определение 2 п. 6.6) L системы {е_п} содержит систему {х_п}, то L плотна в Н. Ортогонализи- руя систему {е_п} (см. п. 4.6), придем к ортогональной системе

³* 67
{f„}. Так как линейные оболочки систем {/„} и {е„} совпадают, a L плотна в Я, то система {f„} и образует искомый базис.

Теорема 2. Если в гильбертовом пространстве Я существует конечный или счетный ортогональный базис {f„}, то И сепарабельно.

Доказательство. Множество всех конечных линейных комбинаций векторов системы {/*} с коэффициентами вида си — = an + Ф*, где an и р* рациональны, образует счетное множество, плотное в Я.

Приведем теперь используемое в дальнейшем определение ортогональной суммы подпространств гильбертова пространства. Пусть в гильбертовом пространстве Я заданы подпространства L\, Z-2, ..., L_m, причем ЬгфО, Li=£ H, i— 1, ..., m.

Будем говорить, что подпространства L\, ..., L_m попарно

ортогональны, если (*;, */)= О при i ф j, i, /= 1...................... m, для

любых элементов xi е Li, Xj е L/.

Определение. Будем говорить, что подпространство й гильбертова пространства Я разлагается в ортогональную сумму подпространств L\, ..., L_m, и писать L = LiQ> L₂(& ...... ф L_m, если

1) L\, ..., L_m попарно ортогональны;

m

2) каждый элемент xei представим в виде х = £ x_it где

i-i

Xi е L[, i = 1, ..., m.

Упражнение 1. Покажите, что указанное разложение х единственно и докажите теорему Пифагора:

iuip=eii*, ip. i-i

Задачи.

1. Доказать, что если в нормированном пространстве Е справедливо для любых х, у е Е равенство параллелограмма

II * + г/ II² + 11 * — У И² = 21| х ||² + 2 || у ||²,

то в Е можно ввести скалярное произведение по формуле (х, у) =

|| х + I/1|² —1| * — г/ II²., \\x + yt-\\x-yf, = -— ' ----- -— в вещественном случае, (*, у) = ² ^ Ь

+ / ----------------------------------- ——— i— в комплексном случае.

2. Пусть в нормированном пространстве Е справедливо равенство ромба: при любых х, у е Е таких, что IUII = llyll = 1 справедливо равенство Цж + уII² + ||х — у\\^г = 4; тогда в Е можно ввести скалярное произведение.

3. Пусть L — линейное многообразие в пространстве со скалярным произведением Е, а х — точка, отстоящая от L на расстоянии d, т е.

d = р U, L) = inf || х — и ||. nsL

Тогда для любых двух векторов y,, y₂^L справедливо неравенство Леви;

II if i — Ы < VII — У' II² ~d² + Vll х-VII² -

Глава II

ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА И СОБОЛЕВА

§ 7. Пополнение нормированных пространств

и пространств со скалярным произведением.

Пространства Лебега

7.1. Теорема о пополнении нормированного пространства.

Ниже приводится важнейшая конструкция замыкания произвольного нормированного пространства, в результате чего получается банахово пространство. Идея этой конструкции восходит к Коши, осуществившему ее в своей теории вещественных чисел, рассматривавшихся им как классы эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

Теорема. Всякое нормированное пространство Е можно рассматривать как линейное многообразие, плотное в некотором банаховом пространстве ё.

Пространство ё при этом называется пополнением пространства Е.

Доказательство. Рассмотрим всевозможные фундаментальные последовательности fv_n} пространства Е. Две такие последовательности {х_п} и {л: ^} будем называть эквивалентными, если

IK-^l-*⁰. п-> оо. Если {х_п} и эквивалентны, то будем писать

К) - кг

Множество всех фундаментальных последовательностей разобьем на непересекающиеся классы: две такие последовательности {x_n} и {х'^ включаем в один класс в том и только в том случае, когда {x_n} ~ Множество всех классов обозначим через £, а сами классы —через х, Q, ... Если {*,, } относится к классу х, то будем писать {je„}e х и называть {*„} представителем класса i.

Превратим ё в нормированное пространство. Операцию сложения классов х и # определим так: если {х_л}е! и 9, то суммой будем называть класс, содержащий {х_п + у_п}.

Упражнение 1. Покажите, что (х_п + уп} фундаментальна, если фундаментальны {х_п} и {у_л}.

Наше определение хр не зависит от выбора представите- лей классов х и у. Если {х'_п} eiii {у'_п} < = у, то + у'_п) ~ {х_п + + < /„} и, значит, {х^ + 1/^} е i + д.

Упражнение 2. Покажите, что если {х'_п}~{х_п}, а {«/, '} ~

~Ш> ^то К + +

Введем теперь в Ё операцию умножения класса на число: классом Хх будем называть класс, содержащий {Хх_п}, если

{Хп}^Х.

Упражнение 3. Покажите, что если {х_п} фундаментальна, то {Хх_п} фундаментальна.

Упражнение 4. Покажите, что если {х^} ~ {х_п}, то {Хх'_п} ~

Упражнение 5. Покажите, что определение класса Хх не зависит от выбора представителя класса х.

Поскольку наше определение операций в Е сводится к операциям над элементами из линейного пространства Е, то ё также является линейным пространством. Роль нуля в Е играет класс 0 с представителем {0}.

Введем теперь в Ё норму. Пусть {х„}ех. Полагаем

1Ш1_г= lim||*J_E.

Заметим, что предел этот существует, ибо {||х_п||} фундаментальная (так как x„||—lUmll | — х_т\\), а значит, и сходящаяся в силу критерия Коши для числовых последовательностей.

Кроме того, предел не зависит от выбора представителя класса х. Если также {хе £, то

Отсюда

Ит 1< ||= Um flxjj.

П-»оо л-»оо

Упражнение 6. Проверьте аксиомы нормы в Е. Итак, Е— нормированное пространство.

Покажем теперь, что

а) Е можно отождествить с некоторым линейным многообразием в Ё\

Р) Е плотно в £ (в смысле отождествления, указанного в а);

у) ё — банахово пространство.

Этим теорема о пополнении будет доказана.

Доказательство предложения а. Элемент х < = Е отождествим с классом, содержащим стационарную последовательность {х}, т. е. х, х, х, ... Такой класс будем обозначать через х. Ясно, что Хх — это класс, содержащий {Ях}, а х + у— класс, содержащий {х + у}. Таким образом, множество всех классов, содержащих стационарные последовательности, является линейным многообразием в Е. Для этого линейного многообразия мы сохраняем обозначение £.

Доказательство предложения р. Пусть класс х е ■ е Е, тогда || х llg = II * II (как предел постоянной).

Пусть х< =£. Покажем, что существует {*„}< =£ такая, что — п-+оо. Этим будет доказана плотность £ в £

(см. п. 3.6).

Пусть {х„}ех. Из фундаментальности {*„} имеем: для любого е > 0 найдется номер N такой, что для любых п, т > JV справедливо неравенство

IU_n — ll£ < J • (! )

Фиксируем n > N и заметим, что

lim || х_п — х_т ||_£ = Цх_п — £ II(2)

где ^е х„, как стационарная последовательность. Пере

ходя в (1) к пределу при т-> с», используя (2), получим

II х_п — *||g < J-.

Это и означает, что х_п х, п с».

Доказательство предложения Пусть дана {■ £ „}, фундаментальная в ё. Вследствие справедливости условия р) найдем {xn}cz Е такую, что

II — Х_п llg <

Докажем, что {х_п} сама фундаментальна: это вытекает из неравенства

Д *» - х_т ||£ < || х_п - £ _п ||g + Ц£ _а — £ _т ||g +1| £ _т - х_т ||g <

+ \\& п —& m\\g + ------ > -0 при т, П-+СО.

Так как {х_п} фундаментальна в Е, то она фундаментальна « в £, ибо

11х_п-х_т ||_в = || х_п — х_т llg.

Но тогда существует класс £, содержащий {*„}. Докажем, что оо. Действительно, \\Я_п - £ ||g < |U„ - х„ ||g -f|| £ -

—*nllg < —+IU — *„||g. Тогда при п-> ~ ОО II X — вслед

ствие (}). Теорема полностью доказана.

7.2. Пополнение пространств со скалярным произведением. Пусть теперь исходное пространство £ является пространством со скалярным произведением (х, i/). Пополняя £ как нормированное пространство с нормой

iU || = У(*. х),

мы приходим к банахову пространству Е, элементами которого служат классы х эквивалентных фундаментальных последовательностей {*„}. Покажем, что £ является само пространством со скалярным произведением, а значит, вследствие своей полноты, и гильбертовым пространством. Пусть х, у е Е, а {*_п} и {у_л}—представители этих классов. Определим в £ скалярное произведение

(х, у) = Jim (x_a, г/_я).

П-> оо

При этом оказывается, что

(£, i)= Jim (x_n, x_n)= lim || |p = |( jt |f.

Л-» oo oo

Упражнение. Проверьте аксиомы скалярного произведения в

Итак, пополнение пространства со скалярным произведением является гильбертовым пространством.

7.3. Пространство Лебега & [a, b\. Определим банахово пространство 2? [a, b] как пополнение нормированного пространства [a, b] (см. п. 2.9). Напомним, что элементы 2? \[a, b]—■ это непрерывные на [a, Ь] функции x{t) с нормой

Wx(t)W=\\x(t)\dt.

Пусть {x_n Щ и {х'_п (0} — две последовательности непрерывных на [а, Ь] функций. Если последовательность {*„ (0 — (0} является бесконечно малой в [а, Ь), т. е. при п-> оо

то последовательности и будем называть эквивалентными в [a, b] или эквивалентными в среднем.

Далее, последовательность {хЛО} непрерывных на [а, Ь\ функций будем называть фундаментальной в 3? \ [а, Ь] или, короче, фундаментальной в среднем, если для любого е > 0 найдется номер N такой, что для всех номеров n > N и всех натуральных р выполняется неравенство

II — *» II = J I х_п+р (/) — х_а (0 I dt < е.

Согласно теореме о пополнении пространство Лебега 3! \а, b] состоит из элементов x(t), являющихся классами эквивалентных в среднем и фундаментальных в среднем последовательностей непрерывных функций. Две фундаментальные в среднем последовательности {*„(')} и являются представителями одного класса x(t) тогда и только тогда, когда они эквивалентны в среднем. Если ^т°. ¹¹⁰ определе

нию,

II * И* _ta », = Ит \ | (О | dt = lim || х_п ||_2i (1)

Подобно тому, как иррациональные числа можно трактовать как некоторые идеальные элементы, сколь угодно хорошие приближения к которым получаются с помощью рациональных чисел, так и элементы пространства S[a, b\ мы можем рассматривать как некоторые идеальные функции, приблизиться к которым практически всегда возможно с помощью непрерывных функций. Более того, будем называть интегралом Лебега от функции |, где x(t)^. 3? \а, Ь\, выражение (1), т. е., по определению,

ь ь

\це(01Л= lim \\x_n(t)\dt

J оо J

а а

(слева — интеграл Лебега, а справа — интегралы Римана).

Оказывается, что некоторые идеальные элементы (классы) пространства S£ [a, b] можно отождествить с некоторыми конкретными, вообще говоря, разрывными функциями.

Прежде всего отметим, что согласно теореме о пополнении (п. 7.1) пространство i? [a, 6] содержит все непрерывные на [а, 6] функции. Понимать это нужно в следующем смысле. Рассмотрим класс, содержащий своим представителем стационарную последовательность {*(£ )}, где x(t) непрерывна на [а, й]. Этот класс мы отождествляем с функцией x(t) и обозначаем также x(t). Помимо функции x(t) класс x(t) содержит и разрывные функции, например, отличающиеся от функции Jt(/) в конечном числе точек.

Эту идею можно развить дальше в следующем направлении: некоторые разрывные функции можно трактовать как пределы в метрике 2" [а, Ь] фундаментальных последовательностей непрерывных функций. Каждую такую разрывную функцию можно отождествить с некоторым классом из S⁷[а, 6]. В § 8 этот путь будет реализован полностью. Будет показано, что всякий элемент пространства можно отождествить с некоторой

обычной, вообще говоря, разрывной функцией (точнее, с некоторым классом таких функций). В основе этих рассуждений лежит основанная на теореме о пополнении конструкция интеграла Лебега.

Пока же мы ограничимся следующими двумя примерами.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 10 Следующая ⇒