График оператора. Замкнутые операторы

15.1. Прямая сумма банаховых пространств.

Определение. Прямой суммой Z = X 4- У двух линей­ных пространств X п Y называется совокупность пер г—(х, у), i/e У, для которых операции сложения пар п умноже­ния пары на число определяются следующим образом: если

={х\, у\), а z₂ =(.v₂, i/₂) и ai, a₂ — скаляры, то

а_{гI -f а₂г₂ = (a,.г, + а₂х₂, a+ а₂у₂).

Если X и У— нормированные пространства, то норма н X 4- У вводится по формуле |! г|| = IU||х —i— ИII

Упражнение 1. Проверить ахепемы нормы. При этем, если X я У банаховы, то и X 4- У банахово (почему? ).

у п р а ж н е и и е 2. Показать, что с X -; - У можно dlcctii i: < р- му также следующими способами:

= II^ 1! ⁼⁼ ('Iху 4~ ||уii^j¹ (р> \),

II2II = шах С!.г I!, !! г/||).

Показать, что все эти нормы эквивалентны.

15.2. График оператора. Пусть у = F(х)—оператор (вооб­ще iсворя, IK¹ типсиiil! i'i) с областью определения D(F) в бана­ховом пространстве X и с областью значений в банаховом про­странстве У. Трафиком оператора F называется совокупное¹ь пар {.v, F{\')}, где x^D(F). График onepaiopa является пед- мпожесгвом пространства X 4- У. Определение графика опера­тора хорошо согласуется с обычным определением графика ф} пкцпн. Пусть ниже F = А —линейный оператор.

Определение. Линейный оператор Л: XY называется замкнутым, если его график является замкнутым множеством в.V 4- У.

Замкнутость графика оператора А означает, что если х,, е

!; {А) и {.v.,, Ах„\-+(х, у), то х е D(A) и у = Ах.

Так как ||л|| = ||х||4-||у11, то определение замкнутости опера­тора /1 можно записать так: если х_п< = D (Л), х_п~+х, а Ах_п-+у, то л sh D {Л) и у = Ах.

Теорема 1. Еслч D(A) — X и А ограничен (т. е. А е е it (Л, У)), то А замкнут.

Доказательство. Пусть х_п-+х и Ах_п-> у при /г-> со. Вследствие непрерывности /1 Ах_п-> Лх, п^оо. Но предел едпи- стьси п, значит, у = Ля.

Теорема 2. Если А замкнут и Л^-1 существует, то А~¹ так?, се замкнут.

Доказательство. Рассмотрим графики операторов.4 и. 1" ¹:

{.г, Ах), x^D (Л), {у, А~¹ у}, yt=R{A).

Но график оператора Л^-1 можно записать в виде [Ах, к), х < = е£ > (Л), т.е. он получается из графика оператора А переста­новкой х и Ах и, значит, также является замкнутым множе­ством в У 4- X. Это и означает замкнутость Л^-1.

Следствие. Если У) и Л^-1 существует, то Л^-1

замкнут.

Действительно, по теореме 1 Л замкнут, тогда по теореме 2 А'¹ замкнут.

15.3. Примеры замкнутых неограниченных операторов.

Пример 1. В гильбертовом пространстве Н с ортонормп- рованным базисом зададим линейный оператор А следую­

щими формулами:

Ae_k = /._he_k, k—l, 2...............

где — некоторые скаляры.

оо со

Если.v s И, тол-=Е b_te_k, где ряд |] х\\² = £ i Ik I² сходится, fe-l ' к-1

Тогда Л.у = £ Этот ряд сходится (Ах^Н) тогда и

только тогда, когда

=, '< + «>. с,

/. = 1

Возможны следующие два случа:::

а) {1^1} ограничена. Пусть с_Л = ^up j 1_к |. Тогда Г, /l.v

с²_л j| х |Р, откудч — А ограничен, а з.J: гчиг, и замкнут.

б) (|/.fc]} нсогранпчепа. Оператор /1 неограничен, и его об­ласть определения D(A) состоит пз элементов х, удовлетво­ряющих неравенству (1). Неограниченность Л усматривается пз того, что ||Л(?;, И = J}.; ] при к-> < х> пеогранпчеп ы, хотя |> еИ1=1-

Если inf j K_k | == с_л > U (г. е. отделены от пуля положптель- k

ным числом), то сущеспзуег Л^м, определяемый па элемент: »;

у = Z 11л ( £ I чк < )

формуло"!

СО

^А'^ху = е ^ТЧа-

Поскольку sup | }~^х | = cj¹ < оо, то Л^-1 ограничен (D (Л^-1) = /А

Таким образом, услочне inf|?._/; |> 0, согласно юореме 2, п. 15.2

к

обеспечивает за.мкнуиоь А.

б* юз

Пример 2. Пусть X = У = С[0, оо) — банахово про­странство функций x(t), непрерывных на полуоси [0, + оо) с

нормой || х ||= sup | л: (0 ].

|0, +00)

Зададим в X оператор А по формуле Ах = tx(t). Оператор А линеен, и его область определения D(A) состоит из функций, удовлетворяющих неравенству

где постоянная с — своя для каждой функции из В (А).

Оператор А неограничен. Действительно, рассмотрим после­довательность функций x_n(t)=, п= 1, 2 Заметим,

что

п ___ п

х_n(t)< =D(A), так как \х„(01 =

п -I- t ^ 1 + t Кроме того, ясно, что ||x_n||= 1. Теперь имеем II Ах_п || = sup = п,

[О, +оо) ^п т ¹

следовательно,

sup || Ах\\ = + ⁰⁰•

х е D (А). II JC || < 1

Покажем, что А замкнут. Пусть в X х_п (*)-> - х (/)', tx_n(t)~> - -+y(t) при п -> оо. Тогда (1 + i)x_n(t)-> x{t) + у (t) прия-> оо. Следовательно, для любого е > 0 найдется номер N такой, что ссли п > N, то

1(1+0 х_п (0 - [* (0 + У {()] | < е для всех t е= [0, -j- со),

< ттг< е-

или

_г (Л - x(n + y(t)

Следовательно, при п—> оо, но x_n(t)-*x(t),

поэтому * ^ = х (0, откуда y(l) = tx(t), т. е. у = Ах

\ У I

(x^D(A)), ибо |.х(0: ^ _{1 + £} .

Упражнение. Показать, что обратный оператор А~^ху — = y(i)/t также неограничен н замкнут.

Пример 3. В пространстве С [а, 6] рассмотрим оператор дифференцирования Dx = dx(l)/dt с областью определения 0(D), состоящей нз непрерывно дифференцируемых на [а, Ь] функции. Оператор D неограничен.

Для д-ikl ri гсльс! ва его неограниченности возьмем последо- гатслыюсть A„(/) = sinnf, п =■ 1, 2, ...; x_n^G(D) и ||.v„||= 1,
однако [IDx,! ¹ = п, если п достаточно велико, и потому

sup || Dx || = + оо

1ей (D), || х || < 1

и D неограничен.

Покажем, чго D замкнут. Сходимость в C[a, bj равномер­ная. Пусть х_п{() s G(D), и пусть при п ОО

хп(0 х (0 равномерно на [а, & ], x'_n(t)-> у(! ) равномерно на [а, Ь\.

Согласно известной теореме о дифференцировании функцио­нальной последовательности (см. [18]) функция х(() непре­рывно дифференцируема (т.е., ((/)е G(D)j и х' (t) = у (t). Итак, D замкнут.

Пример 4. Снова рассмотрим в С[а, Ь] оператор диффе­ренцирования D, но па этот раз в качестве его области опреде­ления G(D) возьмем множество всех непрерывно дифференци­руемых на (а, Ь] функций, удовлетворяющих граничному усло­вию х(а)= 0. Теперь оператор D имеет обратный

t

D~''tJ=\y(s* ds,

а

определенный всюду в С[а, й] и ограниченный ^(b— о) II//II). Г1о теореме 2 п. 13.2 оператор D замкнут.

15.4. Теорема Банаха о замкнутом графике и ее следствия. С. Банаху принадлежит следующая важная в приложениях тео­рема.

Теорема 1 (Банаха о замкнутом графике). Пусть А—■ замкнутый линейный оператор, определенный всюду в банахо­вом пространстве X и со значениями в банаховом пространстве У. Тогда оператор А ограничен.

Доказательству этой теоремы предпошлем следующую лемму.

Лемма. Пусть А — замкнутый линейный оператор, опреде­ленный всюду в банаховой пространстве X и со значениями ^ банаховом пространстве У. Пусть, далее, существует плотное в X множество М и постоянная с > 0, так что ||Лх\\ s^ с||а|| для всех х е М. Тогда оператор А ограничен.

Доказательство леммы. Выберем элемент Покажем, что найдется элемент, V| s М такой, что

11*1 II < IUo II. lUi-XolKylUoll. О

Действительно, вследствие плотности М п X для х_е = (1 —s) ее(0, 1), найдется элемент х\ е М такой, что ||х_е—*ill^ < elkoll.

Оказывается, е можно подобрать так, чтобы элемент х\ удовлетворял условиям (1). Имеем

II -V, II < || х, - х_£ il + ||х_£ ||< е II Хо II + (1 - е) [| х₀1! = II х₀ II, II-t, - хо||< ||х, - х_е || + ||х_Е - х₀1|< е||ХоII + е||х₀II = 2е||х₀1|.

Возьмем е = 1/4 и получим неравенства (1).

Точно так же можно показать (проверьте! ), что для элемен­та хо — х\ найдется элемент х₂ < = Л1 такой, что

|| х₀ — х, — х₂ ||< j || х₀ — х, || < ; ] х₀1!,

Повторяя эти построения, можно доказать, что для каждого натурального п найдутся х\, х₂, ..., х_п е М такие, что

1! Х₀-(х, + Х₂+... -[- х_п) IK -^Г ||.*о II.

Отсюда вытекает, что

а

x_rt= lim s_n, s„= X x_k.

П-> ы к = 1

Далее, так как

H/UvJKcllxJK^-ilxol!,

оо

то ряд £ Ах_к сходится абсолютно. Пусть у — его сумма. Па-

4 = 1

скольку при п -> ОО

As, _l-> y, s_n-> x₀, то, вследствие замкнутости оператора А,

оо

Axq = Z Лх_к.

к^ 1

Но тогда имеем опенку

оо со

li Ах₀1| < I I! Ах_к || < с 2 II х_А II < 2с II х₀! |.

К - I л - 1

Вследствие произвольности х₀ доказана ограниченность опе­ратора А, а значит, п лемма док^-азана.

Доказательство т е о р е м и о замкнутом гра­фике. Для каждого натурального числа п рассмотрим мно­жен во

X_u={xgX: || Лх IK я Цх ||}. (2)

Далее, очевидно,

оо

п= 1

По теореме Бэра — Хаусдорфа (см. п. 5.8) пространство X, вследствие его полноты, является множеством II категории. Но тогда по (3) существует Х_п, плотное в некотором шаре S с. X, (В противном случае X оказалось бы объединением счетного числа нигде ие плотных множеств Х„, п — 1, 2, ..., т. е. мно­жеством I категории.) Следовательно, имеем

= s.

Пусть, далее, л₍ е S Г| X;, а 5₀— шар с центром в л-j, ра­диуса г₀ настолько малого, что S_u с S. Тогда

57n>: „=s, (4)

Выберем теперь элемент с |iuo! l=/'o н рассмотрим эле­

мент 1/о = л-₀ + г/ц. Так как [jy₀ — Xoi, =H! «oii = r_ih то г/о < = S₀. Вследствие соотношения (1) найдется последова: ельность

Rl^fUy (5)

такая, что при п -*■ со

Уп~> Уо = и,. '3)

Рассмотрим теперь последовательность

К} = {< /«- А, }. (7)

Заметим, что вследствие (5)

\\Ч, Л = \\Угг-~Л^Г_}. (8)

Вспоминая определение Х_п (с.м. (2> ) п нотьз;, ясь тем, что гx₀< ^X_Pi, получаем следующею оценку (см. (7) п (8)j:

II Ли_п II = II Л (_Уп - Л-, ) II с: II.\'jn II + || Лх» II < п₀ (II у_п II ₊ II л-о II) = = По (II и_п + л-о || + || л'э h) < Но (|| и_п || + 2! | л-о II) < /го (г, + 2 '! v, ). (9)

Далее, так как при; > оо

I. " к И = I! Уп — Хо II ^г0,

то найдется шмер N такой, что поп всех п > Л' выполняется неравенство

1 2

II IIЛ > J Го, »•! » 1< —||«„||.

Продолжая оценку (9) при п > N, приходим к оценке

Отсюда получаем следующий вывод: при всех п > N (см. оп­ределение Х_п (2)) и_п е Х_П], где щ = 2п_а + ■ -°^||'^Уо11.

' о

При п -> оо из неравенства (10) получаем и_п-+ио, где и a — любой элемент Л с ||ио11= г₀. Но из (2) следует, что Х_п, содер­жит вместе с каждым х н 7.x при любом /.. Таким образом, Х_п, плотно в X, и так как па Х_п, rtilUil, то по лемме

оператор ограничен, и теорема полностью доказана.

Теорема Банаха о замкнутом графике имеет интересные следствия. Приведем некоторые из них. Это прежде всего более сильный вариант теоремы Банаха об обратном операторе (сгл. н. 12.1).

Теорема 2. Если А—замкнутый оператор, отображающий банахово пространство X на банахово пространство У взаимно однозначно, т. е. R(A) =У, то оператор А~¹ ограничен.

Доказательство. По условию теоремы D(A) = X п Л замкнут. По теореме о замкнутом графике А ограничен. По теореме Банаха Л^-1 ен 3? {Y, X). Теорема доказана.

Приведем теперь еще одно следс1впе теоремы о замкнутом графике.

Теорема 3 (об эквивалентных порчах). Пусть на некото­ром линейном пространстве Е заданы две нормы |'; «'||i и Цх'Ь, по отношению к каждой из которых Е — банахово пространство. Если одна из норм подчинена другой (см. п. 2.9), то эти нормы эквивалентны.

Доказательство. Обозначим через Х\ пространство Е с нормой lU'lii, а через Х₂ — пространство Е с нормой IUi|₂.

Пусть, папрпмер, [Hii подчинена II-Иг. Это означает, что су­ществу ет постоянная с ~> 0 такая, что для всех х

IIa-|', < C; i.V||₂. (И)

Определим оператор Л, отображающий Х\ на Х_? , по формуле Ах — х (слева хеА' как элемент из А';, а справа он же kpi: тсмепт из Х₂). Очевидно, П(А) = Х\, А линеен и отображает А] взаимно однозначно па R (А) = А'₂. Неравенство (11) г> м.: - чаег, что НЛН^г, т. е. А ограничен. По теореме 2 Л^-1 се се LL (Л'₂, X, ), т. е.

lUlb^ll Л" ¹1.*;!,.

Итак, ci||.v||₂< IUII, sC С\ || А'[| 2, где с, = ЦЛ" ¹!! " ¹. Это п озна­чает эквивалентность норм. Теорема доказана.

15.5. Норма графика и эквивалентные ем нормы. Замкнут и с " инеппые операторы, как мы видели, по ряду своих свойств fi 'iiiihii к непрерывным (т. е. ограниченным) лппейш/м оиера- тогам.

^'рпдрпхсу п. и щдлежпг идея, иоз'зочяющая в ряде случаев свести н --у '.епье замкну пл\ линейных операторов к изучеин'.о ограниченных линейных операторов. Пусть Л— замкнутый ли­нейный оператор с плотной в банаховом пространстве X об­ластью определения D (А) и с областью значений в банаховом пространстве У.

Введем на D(A) новую норму, которая называется нормой графика:

\\х\\ = \\х\\_х + \\Ах\\у

(вспомните определения графика опера гора /1 п нормы в X 4- У). Линейное многообразие D (А) в новой норме превращается в нормированное пространство, которое обозначается Л'д. Если {*«} фундаментальна в Х_л, т. е. при п, т -> со

i! — у_1П lb, +! 1 Лх_п — Д v_m!! _У -> О, то тем более при п, т -> оо

!; Х_п — х_т \\_х -> О, II Ах_п — Ах_т ||у -> 0.

Вследствие полноты Л' и У найдутся х £ = X и у s У такие, что при п —со х_п —х, а Ах_п у.

Вследствие замкнутости А имеем x^D(A) п у = Ах. Это означает, что {х„} сходится в Хл, и, значит, Х, \ — банахово пространство. Будем теперь рассматривать А как оператор, дей­ствующий из в У. Очевидно, ||Л*||)'||*||. Следовательно, А ограничен. Иногда вместо нормы графика в D(A) удобнее вве­сти другую, эквивалентную еп норму.

Пусть Л — замкнутый линейный оператор с D(A), плотной в X, и со значениями в У.

Теорема. Пусть в D (А) введена норма ||-|li такая, что ! I*IU ^ Ci 11*11;, НДлсЦу ^ СгМь Тогда Ц-lh эквивалентна норме графика.

Доказательство. Пусть || ■ ||—норма графика. Тогда для любого х е D(A)

II * II = II * На + II Ах Ну < с, II Л- II, + с₂ II х! > i = (с, + с₂) II х II,.

Следовательно, норма графика подчинена Ц-Ц- Но тогда, по тео­реме об эквивалентных нормах, эти две нормы эквивалентны. Теорема доказана.

Глава IV

СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ

§ 16. Теорема Хана — Банаха и ее следствия

16.!. Теорема Хана — Банаха. Пусть X — вещественное нор­мированное пространство, а Е— вещественная ось. Всякий опе­ратор /: Х-+Е называется функционалом. Здесь мы ограничим­ся изучением линейных функционалов. Значение лпнеп.пго функционала f на элементе.г е.'( будем означать (х, f>. На­помним, что лннелиосгь функционала / означает, что его об­ласть определения D< j) является линейным многообразием, причем дтя любых л*, у £ = D (/" ) п любых а, р е Е

(с+ f) = a(x, f) + fl(y, /)•

Кроссе того, мы бутсм рассматривать здесь только ограни­ченные линейные функционалы, т. е. такие, для которых конеч­на величина

= пп I {-V, f) |.

ie! ) | 1 С 1

Сформулируем теперь следующее предложение — одно из центральных в фуикци.иалыю" анализе.

Теорема (Хан, Банах). Пусть с. рсщсстаенн -> ч норм про­са.ч ном г, по^г~рпнетве X задан линейный ограниченный функ­ционал j с D(j)czX. Тогда cyiec: сует ваоду апрсС-гленный вХ лчпейний ограниченный фунгнионал J такой, что!! /1! =! > Л' ^и < _>: , {) = < д-, /> д.: ч лют.к х < ееГ){\).

(Иначе: всякий линейный ограниченны; "! функционал, опре­деленный па некотором линейном ьнкгообразин, можно продол­жать па все пространство с сохранением нормы.)

Замечание. Если D{A) — X, то утверждение теоремы Хана — Банаха рытекает пз теоремы о продолжении линейного оператора по непрерывности (см. п. 11.6), в которой надо прп- п-мь У /'.

Доказательство теоремы Хапа — Банаха мы, " а'т.нм ниже в часы; > м случае сеппраосмьного пространства. Но сначала дока­жем следующую лемму.

Лемма (об элементарном продолжении). Пусть X — ст иччное нормированное пространство, a L — линеччое много­образие в X, а пусть на L задан линейный ограниченный функ­ционал f. Пусть х_йфЕ и L\ — линейное многообразие всевоз­можных элементов вида у + tx_Q, где у е L, t е Е. Тогда суще­ствует линейный ограниченный функционал f\, определенный на Li, совпадающий с f на L и такой, что ||fil! = ll/l|.

Доказательство леммы. Заметим сначала, что каж­дый х е Li представим в виде х = у + tx_Q, У ^ L, t < = Е, един­ственным образом. Действительно, если у + ix₀ = у' + t'v_e. го у — у'=(t' — i).'с₀. Если t' — t, то у' — у п представление х единственно. Пусть t' ф /; тогда получаем, что л'о ^ L, что Не-

возможно.

Рассмотрим теперь уi, у₂ ^ L, тогда, вследствие ограничен­ности / на Л. имеем

< 0ь /> -< 1/2, /} = < < /, " Уз, 1)< \\}\\\\У1-У₂\\<

< 11/1!, 1< /, 4--toР-Н/Ыу> + х

Полученное неравенство можно записать в виде

(и и f) ~\\f II il tj[ + Л'о II < {у 2, f)+\\f\\hj2 + x, l

Если зафпксирсвать у₂, а у\ менять, то мы видим, что левая часть ограничена сверху. Если же зафиксировать //>, а менять уо, то мы видим, чю правая часть ограничена снизу. Положим

«= sup {< //,, /)-II/1111 у, + л₀|! },

У, ^ L

Р= inf {{у₂, /> +||/1111^2+ *,!! }.

< /; е L

Имеем следующую цепочку неравенств:

{уи! ) - i: /1; ii < /> + ii < а < р < (у₂, f)+\\f iiii у2 + л₀1|.

Возьмем число у такое, что а ^ у ^ р. Теперь для любых У\, у₂^ L имеем

(l'u /)-il/lllly. + ^oll< Y< < ^, /> + Н/||1|02 + *о1!. (П

Определим линейный функционал/i по формуле (для i)

(х, f i) = (У + txо, fx) = (У, /) - V/.

Линейность fi проверяется просто (проверьте! ).

Если а- е L, то / = 0 и <.v, f\}—(x, />, т. е. на L fi — j. Пока­жем теперь, что |i/[|| = li/l|. Заметим сначала, что

II/, и= sup |< л, u)\> sup ю-> /.)! =: i/;:, (²>

x e Lu II x II < 1 x e L, i| 'I < I

так как на более широком множестве sup может разве лишь увеличиться. Таким образом, нам достаточно доказать неравен­ство

I (х, /i) К I! / II || ЛII (3)

171

для х = у'+ (х₀, у е L, t е Е, причем при t = 0 это ство справедливо.

неравен-

Из неравенства (1) для любого tj\ G L имеем

 

(Уь /> -Y < 11/1111^/1 Полагая здесь у\ = y/t, приходим к

(f. f)-y< \\f\\

f+*< >! ■

< 1/

-h ха

С помощью этой оценки получаем \{Х, Л) I = I (у, /)-Y/| = m|(|, /)-Y

 

Рассмотрим теперь два случая: t > 0 и / < 0. Если t > 0, то |п = t и, следовательно,

 

У + tXo 11 = 11/1111*1

Если / < 0, то 1t1= — ( и

Ч I т +

ш-

\(х, КII / ll|| г/ -Ш—Ь f ^ IЛ-О || =! 1 / 1П1 — £ / — ^-v-o И = II /1

 

Итак, доказано неравенство (3): ll/ill^11/11, что вместе с (2) дает ||/ill = ||/||. Лемма полностью доказана.

Доказательство теоремы Хана — Банаха в се н арабе ль ном случае. Так как X сепарабельно, то су­ществует X'—счетное, плотное в X множество. Занумеруем в последовательность х₀, х\, х₂, ... те элементы X', которые не попали в D(f). Затем, согласно лемме об элементарном про­должении, последовательно продолжаем f на А7 = Х₀ + {хо}, затем на Х₂ = Х\ + {-^v'i} ■ ■ так далее. В результате мы получим линейный ограниченный функционал /, определенный на Я = — UA; c — плотном в X линейном многообразии. Доказательство завершается использованием замечания к теореме Хана — Ба­наха.

В общем случае теорема Хана — Банаха доказывается с ис­пользованием известной леммы Цорпа (см. [21], стр. 176).

16.2. Теорема Сухомлинова — комплексный вариант теоре­мы Хана —Банаха. Пусть теперь X — комплексное нормиро­ванное пространство, а С — комплексная плоскость. Линейные операторы f: X -> С называются линейными функционалами. Речь пойдет здесь, как и в п. 16.1, о продолжении линейного функционала /, заданного и ограниченного на линейном много­образии X, на все пространство X с сохранением нормы.

В комплексном случае следует различать линейные много­образия L комплексно-линейные и вещественно-линейные в за­висимости от того, принадлежат ли L любые линейные комби­нации ах + |5// элементов х, у < = L (с любыми комплексными
коэффициентами а и Р) " ли только линейные комбинации с вещественными коэффициентами а, р.

Теорема (Сухомлинов). Пусть X — комплексное нормиро­ванное пространство, L — комплексно-линейное многообразие в X и f— заданный на L линейный ограниченный функционал. Тогда существует всюду определенный на X линейный ограни­ченный функционал } такой, что (x, f}—(x, fy для всех igL и

11/11 = 11/11-

Доказательство. Положим

(-V, f) = (x, h) + i(x, f: ), (i)

где (x, fi> = Re< x, f>, a (x, f₂)~ Im (x, f). Введенные таким пу­тем функционалы fi и f₂ являются вещественными линейными функционалами на L, рассматриваемом как вещественное ли­нейное многообразие. Действительно, для любых х, у es L спра­ведливы, как нетрудно вывести из (1), равенства

{ах + Р//, f_l) = a(x, f_l) + ^(y, /, ),

(a.v + pу, f₂) = а(х, fi) + Р {у, h).

Далее, (ix, f) = i{x, f), а с другой стороны (см. (1)),

(ix, /) = (ix, /, } + i (ix, f₂),

i(x, f) = i{x, h) ~ (x, f₂).

Сравнивая действительные и мнимые части, получим

(ix, fi) = - (a, /₂>, (2)

< i.v, f₂) = (x, fi). (3)

Соотношения (2) и (3) эквивалентны комплексной линейности функционала. '

Упражнение. Покажите, что (2) и (3) являются след­ствиями друг друга.

Из (1), (2), (3) следует ограниченность fi и f₂ н равенство

II/. 11 = 11 /а II = -7=^ 11/11-

Будем рассматривать /ч как вещественный линейный функ­ционал па L. По теореме Хана — Банаха его можно продолжить на X с сохранением нормы. Пусть f\ — такое продолжение. Оп­ределим }₂ в с< ответствии с формулой (2):

(, v, h) = - (ix, fi), X е= X. (4)

Наконец, f определим следующим образом (см. (1)): (V, /> = (*, h) + i(x, f₂).

По

построению f вещественно линеен. Далее,

(ix, f) = (ix, /, ) + i(ix, f₂) = - (x, h) + i (x, fi) = i(x, J).

Итак, f комплексно линеен. Далее, если х < = L, то (x, f 1) = /1). Кроме того,

(х, /2) = — (ix, fi) = - < /'*, /1) = (*, f₂>

(см. формулы (4) и (2)). Значит, на L f — f. Наконец, учиты­вая, что | (х, f_k) |< -^=г||/Ц-||, k=\, 2, получим

||/!! = sup \(x, f)\= sup Vf< *. f> > l² + l< *, f₂) |²< ||f||.

ii x 11 < 1 ii x ||< i

Теорема доказана.

Замечание. Теорема неверна, если L — вещественно-ли­нейное многообразие: в любом бесконечномерном комплексном банаховом пространстве существует вещественно-линейное мно­гообразие, на котором можно определить комплексно-линейный функционал, не имеющий ограниченного продолжения на X (Боненблуст и Собчик).

16.3. Следствия из теоремы Хана—Банаха. Теорема Ха­на— Банаха — Сухомлинова представляет собою один из фун­даментальных результатов функционального анализа и имеет целый ряд глубоких следствий. Приведем некоторые из инк.

Следствие 1. Пусть X — нормированное пространство и х А', х 0. Тогда существует всюду заданный в X линейный ограниченный функционал f такой, что l! /il = 1, {х, f) — \\x! |.

Доказательство. Рассмотрим линейное многообразие L = {/а}, где t пробегает R. На L определим / так:

(ix, f) = t\Ц-! \

Имеем (х, /" > = |! а-||. Далее, для у = ix

\(у, /> мш, |а-|| = ||/*! 1 = 1ы1, т.е.!! /!! = 1.

Осталось применить теорему Хана — Банаха и продолжить с с -хранением нормы / па все А".

Следствие 2. Пусть в нормированной пространстве X за­дано линейное многообразие L и элемент xq ф L па рассюян ai d > 0 от L (d = inf || А'о — *||). Тогда существует всюду опреде-

х е L

ленный в X линейный функционал f такой, что

1) /)= 0 для любых д; eL;

2) < л₀, /> = 1;

3) li/„ = lid.

Доказательство. Возьмем L\ = L-\-{x₀}. Любой эле- гент у < = L.\ однозначно представляется в виде у = х + /х₀, где х < = L, t ев Е (см, лемму об элементарном продолжении). Опре­делим / па L\ следующей формулой;

(У, /> = /.

Если у s L, то t = 0 и (у, {)= 0, т. е. выполняется условие 1)". Далее, если у — л₀, то t— 1 и, значит, (x₀, f)—l, т. е. выпол­няется условие 2). Наконец,

К,, , _{> | = |}/! = Ш^< М

jl _х j] jj / _х \ II _ _v

так как у + х_с |j = jl лг_а — [—-jji^rf, ибо —f~ е L. Отсюда

следует, что || / || < 1/Vi.

Для доказательстЕа неравенства 1 Id воспользуемся

определением ini и найдем {.t„}e L такую, чтос/ = iiiii || х_а — х, _г

СО

Имеем

1 = {х_й — х_п, /Х1|х₀ — x_n||i! /||.

Переходя к пределу при п-*-< х>, получим 1 s^ d||/||. Итак, li/ii — = l/d. Осталось продолжить / с Z.] па все X.

Следствие 3. Линейное многообразие L не является плот­ным в Сииаховом пространстве X тогда и только тогда, когда найдется f е А^/,: , / =й= 0, такой, что < х, /> = 0 для любых x^L, Доказательство необходимости. Пусть L ф X. Тогда найдется х₀ < = А' такой, что р(хц, L) — d > 0. По след­ствию 2 найдется f такой, что < х₀, f) = 1 (т. е. j ф 0) и (х, f) — 0 для всех jceL

Доказательство достаточности. Пуст ь L = X. Тогда для любого х е X, вследствие плотности L в X, найдется {а,, } е L, х_п—*х, п—* оо. Но условию существует f ф 0 и обра­щающийся в 0 на L. Но тогда < х, ='liin < х„, /> = 0. Вслсд-

ствие произвольности х отсюда / = 0. Ho f Ф 0 по \словпю. По­лученное противоречие показыьает, что L ф X.

Следствие 4. Пусть {< ■ /, }" —линейно независимая систе­ма элементов в нормированном пространстве X. Тогда пайдетсч система линейных, ыю-jy на X определенных, ограниченных

функционалов {}i}'[ такая, что (x_k, fi) = b_kl, k, 1= 1............. и.

Доказательство. Возьмем a'i и через L\ обозначим ли­нейную оболочку векторов х%, х₃, ..., х_п. p(a'i, Li)> 0 вслед­ствие линейной независимости векторов системы По след­ствию 2 найдем всюду на X заданный линейный ограниченный функционал /1 такой, что (x_ufi) = 1, (x, [i)= 0 на L\ и, в чаа- ности, (х_к, /])= 0, k = 2, ..., п. Точно так возьмем а: ₂ и нап- дем /₂: < а-₂, /₂> = 1, < Xk, Ь> = 0 и т. д.

Определение. Система элементов {x_li}_i и система функ- Циоьалсв {//}', ' называются биортогональными, если

< л'й, L) = bkh k, 1=1, . п.

Докажем в заключении данного пункта лемму, примыкающую к следствию 4.

Лемма. Пусть дана линейно независимая система линей­ных всюду на нормированном пространстве X определенных и ограниченных функционалов {/Л". Тогда в X найдется система элементов {x_k}^_=l, биортогональная с системой {//}*.

Доказательство. При п = 1 утверждение леммы спра­ведливо. Если fi ф 0, то найдется и у\ < = X такой, что {у_и }\)ф0.

Тогда, очевидно, X[—- '^h. Согласно методу математической

индукции, пусть утверждение леммы имеет место для всякой системы из п — 1 линейно независимых функционалов. Возьмем линейно независимую систему {/_г}" и пусть системы ¹ и

{x_k}" ~^[ биоргогоналыш. Для произвольного х^Х рассмотрим

я-1

элемент у = х~^(х, fi)x_t. Заметим, что всегда (у, /, -) = 0, 1

г = 1, ..., п—1. С другой стороны равенство {у, f_n) = 0 не может выполняться для всех ie.Sf, иначе оказалось бы, что

/2~1 П~ 1

{х, fn)= Е (X, fi){x_h fn), т. е. f_n= Yj (x_t, fn)fi, что противоре- чит линейной независимости системы Следовательно, най­

дется у_п такой, что {у_п, f_n) ф 0. Тогда х_п =, ^tJn_f, ■ и системы

Vjti, In)

ч {fi}'I биортогональны. Лемма доказана, § 17. Сопряженные пространства

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. IX. Проблема типов в биографике.
2. XI.6. Особенности графики аниме
3. Взаимодействие графики и звучания. Пунктуация
4. Выбор схемы присоединения абонентский установок тепловых сетей по пьезометрическому графику.
5. Гидравлический режим и надежность работы тепловых сетей. Теоретическое обоснование и методика построения пьезометрического графика, расчет требуемых напоров сетевых и подпиточных насосов.
6. Глава 3. Расчет параметров сетевых графиков
7. Градационные графики негативного и позитивного процессов.
8. График выполнения и сдачи заданий СРС
9. График выпуска подвижного состава на линию
10. График зависимости суммарной тепловой нагрузки от температуры наружного воздуха и продолжительности
11. График ожидаемых поступлений денежной наличности от продаж