Определение банахова пространства.

Определение. Нормированное пространство называется полным, если в нем всякая фундаментальная последователь­ность сходится. Полное нормированное пространство называет­ся банаховым пространством.

Приведем некоторые примеры банаховых пространств.

1°. Пространство Е банахово. Действительно, па веществен­ной числовой оси имеет место критерий Кошм: для того чтобы последовательность {x_n}czE была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной (см. [18]). Спра­ведливость критерия Коши в Е означает, что вся веществен­ная ось Е заполнена точками — вещественными числами, на ней нет «дыр», т. е. что она полна.

Если бы мы ограничились только рациональными числами, это было бы не так^Например, последовательность десятичных приближений к V² с недостатком: х\ = 1, х₂ = 1, 4; х₃ = = 1, 41, ... — фундаментальная, однако в множестве рацио­нальных чисел она не является сходящейся (предел у нее есть и равен V²" но это число иррациональное).

2°. Пространство E^m (m > 1) также банахово, так как в Е" ¹ тоже справедлив критерий Коши.

3°. Пространство С[а, ft] является банаховым простран­ством. Пусть {*„(? )} с: С [a, ft], Справедлив следующий крите­рий Коши равномерной сходимости последовательности функ­ций: для того чтобы {x_n{t)} сходилась в С[а, Ь], т, е. равно­мерно на [а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна в С[а, Ь\, т. е. чтобы для любого е > 0 суще­ствовал номер N — N (г) такой, что при всех номерах п > /V и любых натуральных р имело место неравенство \\х„+р — — XnWcia, b]< е, или, иначе, \x_n+p(t) — x_n{t) I < е для всех < е= е[а, Ь] (см. [18]).

Полнота С[а, Ь] отчетливо проступает также в следующей теореме: если последовательность непрерывных на [q, ft] функ­ций {х„(0} сходится равномерно на [о, ft] к некоторой функ­ции x(t), то x(t) непрерывна на [a, ft] (см. [18]).

5.3. Пример неполного нормированного пространства. Пока­жем^ что пространство 1, +1] не является полным.

Рассмотрим последовательность непрерывных на [—1, +1] функций {x_n{t)}, которая задается следующим образом:

 

Из графика видно, что |.к,, (*)]<; 1 для любых п, но тогда

I л,, + п(/) — х„(1) | «С 2 и, следовательно,

I

II р ~ ^хп IP = \ Un + P (0 — Хп W Р di =

1/n I In

 

p dt < 4

-1 In -Un

Итак, {x_n{i)} фундаментальна в смысле среднем.

Заметим теперь, что в каждой точке t последовательность х_п(() имеет предел:

{ —1 при О при +1 при

При этом и \x_n(t)— x(i) |

выше,

О при я —> оо. сходимости

[—1, +1] при П-УОО 0), t — 0, + 1]. ^ 2. Но тогда, как и

i

II *„(*)-* (О II²

 

Итак, при rt-> оо Xn(t)--*-x(t) в среднем на [—1, +1], при­чем x(t) разрывная на [—1, +1] функция, т. е. — 1,

-{

+1 t

-/

Рис. 5.

+ 1], так как это нормированное про­странство состоит из функций, непре­рывных на [—1, 1]. Может ли все же {■ ^(г¹)} сходиться в среднем к некото­рой непрерывной функции? Ответ здесь отрицательный. Действительно, наши рассуждения с {х_п(/)} мы могли проводить в пространстве Ql— 1, + 1] (см. и. 4.5). Очевидно, этому пространству принадлежат и все x_n(t) и x(t). В силу единственности предела {jc„(0} сходится в Q[—1. I] только к классу, содержащему x(t). Изменение x(t) в конечном числе то­чек не может привести к непрерывной на [—], -f 1] функции, и, таким обра­зом, ^не может сходиться п в —1, 1], как части Q[—1, +1}, к непрерывной функции. Таким образом, {v₍₁(/)} не сходится в S? 2[—1, +1], и потому это пространство не яв­ляется полным. Разумеется, небольшое изменение нашего при­мера позволит доказать, что все пространства 2? _p[a, b], р ^ 1, не являются банаховыми.

Задача. Покажите, что 2? _в[ a, b], р ^ 1, не является пол­ным.

5.4. Банахово пространство C(G) и нормированное простран­ство Lp(G). Пусть G — ограниченная область в Е^т, т. е. ограни­ченное, открытое, связное множество. Напомним, что множе­ство G а Е^т называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой I cz G, т. е. если для любых точек л'о, Л'1 е G найдется непрерывная на [0, 1] функ­ция x(t) со значениями в G такая, что *(0) = х₀, л'(1) = x_t (см. [18]).

Рассмотрим замкнутую ооласть G — замыкание области и. Ниже будут введены два пространства функций т переменных, непрерывных на G.

Пусть C(G) — линейное пространство всех непрерывных на й функций и(х), хеС, с числовыми значениями и с нормой

|| и ||_с = max I и (х) |.

х е G

C(G) является нормированным пространством, естественным обобщением пространства C[a, b\. Пространство непрерывных функций C(G) является банаховым пространством вследствие справедливости на G критерия Кошн равномерной сходимости.

Теперь введем нормированное пространство 3? _P{G), p^l. Предположим дополнительно, что область О кубирусма, т. е. определен m-кратный интеграл Римана по G. В линейном про­странстве функций, непрерывных на G, введем норму так:

Ци||„ = ($|и(*) \^pdxJ^P.

Упражнение. Проверьте аксиомы нормы. Воспользуй­тесь обобщением неравенства Минковского для кратных интег­ралов.

Полученное нормированное пространство обозначается 2? _P(G). Оно не является полным (см._п. 5.3).

5.5. Банаховы пространства С (G), /г 1. Мы рассмотрим теперь пространства дифференцируемых функций. Пусть х = = (x\, xi, ..., дс_от)е£ ^т. Воспользуемся для краткости следую­щими обозначениями. Набор индексов cc_s > 0, s = 1, 2, ..., т,

a — (ai, a, 2........ a_m) называется мультниндексом. Число |< х| =

== ai + ot2 +... + a_m называется длиной мультннндекса. Для обозначения частных производных примем

дх, ¹ _дх*1 ^{1 2}

Пусть G — ограниченная область в Е^т, а G — замкнутая об­ласть, полученная замыканием G. Будем говорить, что функция и(х), определенная и непрерывная на G, k раз непрерывно диф­ференцируема в G, если для всех а таких, что А:

1) D^au существует и непрерывна во всех точках G;

2) D^au имеет предельные значения при стремлении х к гра­нице dG области G (по точкам G);

3) доопределим D^au на dG, приняв в качестве значений D^au на dG ее предельные значения; мы получим функцию D^au, не­прерывную на G.

Рассмотрим теперь C^k(G)—нормированное пространство функций, имеющих на G все непрерывные частные производные до порядка k включительно (k 1). Норму в C^k(G) вводим по формуле

11" Ис*(5-, =? 10Н, о,.

| а | ^ А

или, подробнее,

Ч" Не* (О)⁼ Е ^m I^{£ > а}" м I-

0< | и | < « о

Пример. Пусть Sr a Е²— круг х² -+- у² ^ R². Простран­ство C'(Sr) состоит из непрерывно дифференцируемых в функций и(х, у) с нормой

II и ||= шах |и< *, 0)|+ max + _тах.

x, y< sS% x.yeBSftl ^ax x.yezSR' °У

Можно показать, что все пространства C^k(G) являются пол­ными и, значит, банаховыми.

5.6. Ряды в нормированных и банаховых пространствах. Пусть X — нормированное пространство и А=1, 2, ...

оо

Формальная сумма £ ^xk называется рядом в X. Введем эле-

А— 1

п оо

менты s_n = Х х_к — частичные суммы ряда £ х_к.

к~\ fr=l оо

Определение 1. Ряд X х_к называется сходящимся, если

к-1

в X сходится последовательноеть его частичных сумм {s,, }. Если

оо

ряд I х_к сходится, то s_n-*-3^X при п -> оо. Элемент 5 назы-

4-1

ОО ОО

вается суммой ряда X х_к. Запись Zx_k = s означает, что ряд

4-1 А-1

сходится и сумма его равна s.

ОО оо

Упражнение 1. Покажите, что если Y, x_k = s, a YjX_k =

А-1 А-1

оо

= S, TO Z (Хк + Хк) = s + S.

* = I

Приведем критерий Коши сходимости ряда.

Теорема 1. Пусть X — нормированное пространство. Для

со

того чтобы ряд £ ^xk сходился, необходимо, а если X банахово, k ■ = 1

то и достаточно, чтобы для любого е > О нашелся номер N та­кой, что при всех п> N и при всех натуральных р выполня­лось неравенство

II п+р

Z X_k < е.

II 1г = п+\

Доказательство следует из определения сходимости ряда и связи между понятиями сходящейся и фундаментальной последовательностей в применении к последовательности час­тичных сумм.

оо

У пра жнение 2. Докажите, что если ряд £ x_k сходится,

k= i

ТО Xfr -> 0 при k-> оо.

Определение 2. Если сходится числовой ряд Zll-V/J,

^ 4 = 1

оо

то говорят, что ряд X ^xk сходится абсолютно.

оо

Упражнение 3. Покажите, что ряд £ i^^xk + Mk) ^схо"

оо

дится абсолютно, если сходятся абсолютно в X ряды £ ^xk

k=\

оо

и £ Ук-

If 1

п+р ^ 2 \\xk II- Отсюда сле- k = n+\

Доказательство.

Теорема 2. Пусть X — банахово пространство. Тогда вся­кий абсолютно сходящийся в X ряд сходится.

п+р

X Xk = 1

дует по теореме 1 сходимость ряда. В дальнейшем теорему 2 будем называть теоремой Вейерштрасса. Оказывается, верно и обратное утверждение.

Теорема 3. Если в нормированном пространстве каждый абсолютно сходящийся ряд сходится, то X банахово.

Доказательство. Пусть {х_п}< ^Х фундаментальна. По­кажем, что она сходится к некоторому iel Так как {дгг, } фун­даментальна, то из нее можно выбрать подпоследовательность {x„_ft} так, чтобы | х_п^ I < 1/2 и для всех k > 2 j.v^ — | < 1/2*.

Составим ряд

Этот ряд сходится абсолютно, ибо мажорируется сходящимся

оо

рядом V-y. Но тогда существует элемент ле1, к кою- ft-i ²

рому сходится последовательность его частичных сумм {sk}. Легко проверить, что s_k = x_n. Значит, х_п^-*х, k-*-oo. Получи­лось, что подпоследовательность фундаментальной последова­тельности сходится к х. Но тогда, по упражнению 4, п. 5.1, и сама {х„} сходится к х. Теорема доказана.

5.7. Банаховы пространства со счетным базисом и сепара- бельные пространства. Пусть X — бесконечномерное банахово пространство. Последовательность {е_к}7 с: X называется бази­сом в X, если любой элемент хеХ может быть однозначно представлен в виде сходящегося ряда

оо

(О

ft=l

При этом скаляры |ь... называются координатами эле­мента х в базисе {е_/г}. Из однозначности представления (разло­жения) х по базису вытекает линейная независимость всякого конечного набора векторов базиса. Таким образом, понятие ба­зиса в бесконечномерном пространстве является естествен­ным обобщением этого же понятия в конечномерном случае.

Банаховыми пространствами со счетным базисом являются многие пространства. Например (см. [21]), таковым является пространство С[а, Ь]. Ограничимся здесь одним примером.

В пространстве l_p, 1, рассмотрим элементы — где b_kl — символ Кронекера (6_kt = 1 при / = k, 6_kl — О при 1ф1г). Покажем, что {е_й} — базис в 1_Р. Всякий элемент

х = е 1_Р | |_г = II * II" < +

можно представить в виде (1). Это следует из того, что ряд (1)"

II ^п ii'' ⁺⁰° сходится к х, ибо х — Yj he A — Z 11/ —0 при n-> оо, как

II i=I || l=n+1

остаток сходящегося ряда ||х||^р.

Единственность представления вытекает из равенства

оо оо

Переходим к рассмотрению сепарабельных пространств. Определение. Нормированное пространство X называет­ся сепарабельным, если в нем существует счетное, плотное в X множество.

Приведем примеры сепарабельных пространств.

1°. Е сепарабельно, так как совокупность рациональных чи­сел образует счетное (рациональные числа можно занумеровать в последовательность), плотное в Е множество (в любой окре­стности вещественного числа найдется рациональное число).

2°. Любое конечномерное пространство сепарабельно. Доста­точно фиксировать в нем базис и рассмотреть множество эле­ментов с рациональными координатами.

3°. С[а, Ь] сепарабельно, так в нем плотно множество мно­гочленов с рациональными коэффициентами.

Можно показать также, что пространства C^k(G) и S_P{G) сепарабельны, а пространство т ограниченных последователь­ностей несепарабельно (см. [21]).

Предложение 1. Банахово пространство со счетным ба­зисом сепарабельно.

Для доказательства достаточно заметить, что множество все-

п

возможных линейных комбинаций *Zj^ri^ei> ^гДе Л — рациональ-

i~\

ное, п — любое натуральное число, a {ei}—базис в X, образует счетное, плотное в X множество.

Предложение 2. Всякое бесконечное множество М в се- парабельном пространстве сепарабельно.

Сепарабельность множества М понимается так: в М суще­ствует не более чем счетное множество, замыкание которого в пространстве X содержит М.

Задача. Докажите предложение 2.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. II – Предопределение, избрание и свобода воли
2. IХ.Определение рыночной стоимости затратным подходом
3. А.1 Определение условий выполнения проекта
4. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРОРАЩИВАНИЯ СЕМЯН. Заполнение документов на анализ семян. определение жизнеспособности семян хвойных пород методом йодистого окрашивания
5. Анализ электрокардиограммы: определение интервалов, зубцов, положения электрической оси сердца в грудной клетке.
6. Атрофия: 1) определение и классификация 2) причины физиологической и патологической атрофии 3) морфология общей атрофии 4) виды и морфология местной атрофии 5) значение и исходы атрофии.
7. Библейское определение покаяния
8. Билет 10. Дать определение минерала. Расскажите о происхождении минералов.
9. БУФЕРНЫЕ СИСТЕМЫ. ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ БУФЕРНЫХ И НЕБУФЕРНЫХ СИСТЕМ.ОПРЕДЕЛЕНИЕ БУФЕРНОЙ ЕМКОСТИ РАСТВОРА.ОПРЕДЕЛЕНИЕ рН ПОТЕНЦИОМЕТРИЧЕСКИМ МЕТОДОМ В БИОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТАХ.
10. В заключении к работе, для которой определение технико-экономического эффекта невозможно, необходимо указывать народнохозяйственную, научную, социальную ценность результатов работы.
11. Визуальное восприятие городского пространства.
12. Визуальное определение оптимальных режимов тиснения для всех испытываемых покровных материалов.