Эквивалентность норм в конечномерных пространствах.

Определение. Пусть Е — линейное пространство и м Е двумя способами введены нормы: ||х||⁽¹⁾ и ||х||⁽²⁾. Норг.'ы ||хЦ^и» и 11*Н⁽²⁾ называются эквивалентными, если существуют числа < х > 0, (3 > ■ 0 такие, что для любых х е Е

а||*Г⁾< ||дсГ'< Р1|дс||< ¹».

Упражнение 1. Покажите, что отношение эквивалентно­сти норм обладает следующими свойствами:

1) 11*11 — И-лгЛ (рефлексивность).

2) Если МО ~ ||*||< »>, то ||*||< ²> ~ (симметричность).

3) Если |U||< i> ~|UII⁽²⁾, а ||*||< ²> ~IWI⁽³⁾, то ||*ir> ~IUIP (транзитивность).

Здесь значок ~ означает эквивалентность норм. Ламетим, что в упражнении 2 п. 2.4 устанавливается эквивалентность в

R^m норм

/ m у/о

II*II, < = max I li I и ||*||_p = (Zl& M ■ P> 1.

1 < i < ш V i = 1 /

Очевидно, две нормы в линейном пространстве эквивалентны тогда и только тогда, когда каждая из них подчинена другой (см. п. 2.9).

Упражнение 2. Пусть в линейном пространстве Е заданы две эквивалентные нормы, и пусть Е_х и Е< > — соответствующие нормированные пространства. Докажите, что всякая последова­тельность, сходящаяся в одном из этих пространств, сходится также и в другом, причем к тому же пределу. Воспользуйтесь схемой п. 2.4.

Теорема. Во всяком конечномерном линейном простран­стве все нормы эквивалентны.

Доказательство. Фиксируем в m-мерном линейном про-

m

странстве Е базис ^и " Усть х=Х \\fik — разложение

k=\

произвольного элемента хе£ по этому базису. Введем в Е

О

т у/2

L I l²J • С этой нормой Е можно отожде­ствить с евклидовым пространством Е^т.

Пусть |Ц-|| — еще одна произвольная норма в Е. Прежде всего, имеем оценку

II т т / т \ 1Г2. / т у/2

IUII= £ 1*е„ < Z 11*е*1К Z 1Ы² (Ilk* II²) =PIUIIc-

Следовательно, ||.v|| подчинена ||*||_с. Покажем, что ||*||_с так­же подчинена ||*||. Для этого рассмотрим функцию ||.v|| на сфере iu-iic= 1.

Из неравенства (1) п. 2.1 и полученной оценки ||.r||^ PIUIIc имеем

I II *' II - II III < II *' ~ *" IIOII*'- Не- Отсюда вытекает непрерывность функции ||*И в Е^т.

х

'с*

•Я, откуда 11*11^^11*1

Итак, ||*|| эквивалентна ||х||с. Все нормы в Е эквивалентны норме сферической, а значит, согласно упражнению 1 все они эквивалентны. Теорема доказана.

Далее, сфера ||*||_с = 1 является в Е^т замкнутым (пример п. 3.1) и ограниченным множеством. Воспользуемся теперь сле­дующей теоремой: функция, непрерывная на замкнутом огра­ниченном множестве в Е^т, ограничена на нем и достигает на нем своих точной верхней и нижней граней (см. [18]). Согласно этой теореме найдется х₀ такое, что Я = ||*о11 = inf||*||. Очевидно, что Я > О, ибо х₀ ф 0. Отсюда

3.3. Подпростанства нормированного пространства. Расстоя­ние от точки до подпространства.

Определение. Замкнутое линейное многообразие L в нормированном пространстве Е называется подпространством в Е.

Упражнение. Показать, что множество многочленов сте­пени, не превосходящей п, есть подпространство в С[а, Ь]. По­казать, что множество всех многочленов не является подпро­странством в С[а, Ь], ибо оно не замкнуто (рассмотреть после-

п

Z

X^k

в С [0, 1]).

Определим расстояние р(х, L) от точки х до подпростран­ства L следующим равенством:

р(х, L) = inf ||jf-u||. (! )

uel

Напомним читателю, что если некоторое множество ЗД веще­ственных чисел ограничено снизу, то существует число ао та­кое, что

1) осо ^ х для любых х е ЭД1 (т. е. ос₀ — нижняя грань 9И);

2) для любого а' > ао существует х' е Tt такое, что х' < С а' (т. е. а₀ — наибольшая из нижних граней 24).

При этом ао называется точной нижней гранью множества 24 и обозначается

a₀ = inflf2 или a₀= inf х.

хеш

Из сказанного следует, что р(х, Е) существует, так как мно­жество = — «||, ие/.} ограничено снизу (числом 0).

Выражение р(*, L), таким образом, означает, что

||х — р(*, L) для любых и е L\

если г > р(х, L), то существует u_r е L такой, что ||* — — «, ||< г.

Лемма. Если jet, го р(*, Z.)=0; если же хфЬ, то р(x, L)> 0.

Доказательство. Если * е L, то, приняв и = *, видим, что И* —и||=0, т. е. inf ||* —ы|| = 0. Пусть хфЬ. Допустим

a е L

тем не менее, что р(*, L)=0. Тогда по определению inf для любого натурального п найдется < = Z. такой, что \\и_п — *|| < ■ < 1 /п. Отсюда и_п х, п-> оо. Вследствие замкнутости L также *«=el, по по условию x^L. Полученное противоречие доказы­вает, что р(х, L) > 0.

3.4. Приближение элементами подпространства. Число р(х, L) характеризует наилучшее приближение (наилучшую ап­проксимацию) элемента л: при помощи элементов подпростран­ства L. Если существует элемент и* е такой, что р(*, Z) = = 11* — u* II, то и* называется наилучшим элементом приближения

2 В. Л. Треиогин gg х элементами подпространства L. Наилучший элемент мо­жет оказаться не единственным, а может и не существовав вовсе. Оказывается, в одном из наиболее важных практически случаев, когда L конечномерно, наилучший элемент всегда су­ществует.

Действительно, пусть хфЬ, тогда р(*, L) = d> 0 по лемме

т

п. 3.3. Пусть, далее, {е_к}™ — базис на L, а и = X ^— разло­жение и е. L по базису. Введем на L вторую норму: |х|_с =

/ т \ 1/2

= lEfcPj • Вследствие конечномерности L обе нормы экви­валентны, т. е. найдутся постоянные а > 0, (3 > 0 такие, что а||«(1е< 11и|КРИ«11с. (1)

L как линейное пространство, снабженное ||и||_с, обозначим че­рез L^m (L^m — евклидово пространство).

Рассмотрим в L^m функцию \\х — ы||. Она непрерывна на L^m, ибо для любых и', и" е L^m (см. (1))

| il * - «' || - IIJC - и" IIКII и' - и" II < р II и' - и" ||_с.

Покажем, что inf \\х — и || может достигаться только в шаре

не L

II и Не < г, где г = (d 1 + II * ID-

Действительно, если ||ц||с > г, то (см. (1))

IU-«||> ||«||-||*||^a||«||_c-||jc||> ar-|U|| = d+ 1

и, значит, вне шара ||ы||_с ^ г точная нижняя грань функций ||л: — м|| достигаться не может. Поскольку шар ||«||_с ^ г являет­ся в L^m замкнутым ограниченным множеством, а функция ||х — «|| непрерывна, то найдется и* е L — наилучший элемент приближения л: элементами из L, на котором достигается наи­меньшее значение \\х — «||. Таким образом, доказана

Теорема 1. Пусть L — конечномерное подпространство нормированного пространства Е. Для любого х е Е существует (возможно, не единственный) такой элемент и* е L, что

р(х, L) =[\х — и*||.

Приведем пример, показывающий, что наилучший элемент может оказаться не единственным даже в конечномерном нор­мированном пространстве.

Пример. В пространстве двумерных строк х = (£ [, |₂) с нормой ||х|| = Hil + ||₂j возьмем точку х₀ = (1, — 1) и одно­мерное подпространство L с базисным вектором е=(\, 1), т.е. L ={ae; а е R¹}. Вычислим расстояние

р(*₀, L)= inf ||x_Q — оеII = inf ([ I -а| + | I +a|) = 2.

a s R¹ a e H.¹

Оно достигается при любых ае[-1, ^г+1]. Следовательно, имеется бесконечное множество наилучших элементов и* = ае,

_ i_i_)_i]_j приближающих хо с помощью элементов L.

^а Упражнение 1. Покажите, что в пространстве с² (см. пвимер 2 п. 2.1) множество наилучших элементов приближения элемента хо = П.О) элементами подпространства = {(0, а); а е R¹} имеет вид и* =(0, а), где ос 1, -f 1].

Возникает вопрос: когда можно гарантировать единствен­ность наилучшего элемента? Мы еще не раз вернемся к вопро­сам теории приближения. Пока же отметим следующий резуль­тат.

Определение. Нормированное пространство Е будем называть строго нормированным, если в нем равенство Цх +

i/||=[[jc(f+[|£ /|! возможно только при у = Хх, где X > 0.

Теорема 2. В строго нормированном пространстве Е для каждого х^ Е и каждого подпространства L может существо­вать не более одного наилучшего элемента приближения х эле­ментами L.

Доказательство. Допустим, что в некотором строго нормированном пространстве Е найдутся элемент х, подпро­странство L и элементы м), u₂^L такие, что

\x-u\\=\x--u'₂\^d= inf \\х — и ||.

2 1 2

«! + И2 х------- о— = d. Но тогда

Пусть d > 0 (если d — О, то и\ — и\ по 1-й аксиоме нормы). Имеем:

\х- " ^{, +} " ²

Следовательно,

fi (* - " I) + (* — ^и1)! =! * - «1 +1| * - I! > о.

По строгой нормнрованности Е существует Я > 0 такое,

что х — и'₇ — 1(х — «*). Если КФ1, то отсюда _х = (1 —?.)~'Х

X («2 Хи*) е L, что невозможно, ибо d> 0 (см. лемму п. 3.3).

Следовательно, 1=\, но тогда и₂ — и\, и теорема доказана.

Упражнение 2. Докажите, что С[а, b] не является стоого нормированным. Рассмотрите функшш x{t) — {t~a){b — (),

/Л (ь - а)². ( t — а \

3.5. Лемма Рисса. Начнем со следующего геометрического рассуждения. Пусть в трехмерном евклидовом пространстве Дана плоскость L, проходящая через начало координат О, и ^пУсть дан вектор 2 единичной длины, перпендикулярный L, с

²* ' 35
началом в О. Тогда для любого вектора и, лежащего в L, имеем | и— г|> |г|=1, ибо длина перпендикуляра г меньше длины любой наклонной и — г (рис. 2). Такая же ситуация будет иметь место в так называемых гильбертовых пространствах, где

определено понятие перпендикуляр­ности (ортогональности). В произ­вольном нормированном простран­стве понятия ортогональности пет, но здесь справедливо все же не­сколько более слабое утверждение о существовании «почти перпенди­куляра», составляющее следующую важную в приложениях лемму.

Лемма Р и с с а. Пусть L — подпространство в нормированном пространстве И, причем ЬфЕ.Для любого ее(0, 1) существует элемент г_е ф L, ||г_е||= 1 такой, что р (г_е, L) > 1 — е.

Доказательство. Пусть x^L. Такое х существует, так как L ф Е. Положим inf[|jt — u\\ = d. При этом, согласно лем-

Рис. 2.

Ust

1 -е '

1=1.

— U

ме п. 3.3, d > 0. Воспользуемся определением inf. Возьмем про­извольное е е (0, 1) и найдем м_е ^ L такой, что

d^\\u_e-x\\< Теперь рассмотрим элемент

и. — *

II ^иг — * II

Заметим, что г_е— искомый элемент. Действительно, z_e& L (иначе м_е — х е L, откуда х е L, а это не так). Далее, расстояние от г_е до L оценивается так:

II ^ие ^л I

 

= l-s.

>

I * — («е — « II «е ^— *И ) II ^ d(l-e)

d

 

ибо н_е — и||н_е — л||е L, a IU — «II^ d для и е L. Лемма дока­зана.

3.6. Линейные многообразия, плотные в нормированном про­странстве. Введем следующее понятие, играющее важную роль в теории приближений.

Определение. Линейное многообразие L, лежащее в нормированном пространстве Е (/.ей¹), называется плотным в Е, если для любого х^Е и любого е > 0 найдется элемент uei такой, что ||х — н||< е.

Пусть L плотно в Е и х^Е. Выбирая е=1, e — ~_t...

_е = —......... найдем U[< =L, «₂eL, ..., u„ G i, ... такие,

• • ' ' tl

что \\'x — u_a\\ < n— 1, 2, ... Таким образом, если L плотно в Е то для любого существует {u„}cz L такая, чго

и Ах, П-+ОС.

Вспоминая определение операции замыкания (см. п. 3.1), мы видим, что утверждение «L плотно в Е», L а Е, L ф Е, оз­начает: L = Е — замыкание линейного многообразия L совпа­дает с Е.

Известные теоремы Вейерштрасса (см. [18]) доставляют со­держательные примеры линейных многообразий, плотных и нормированных пространствах. Согласно первой теореме линей­ное многообразие всех тригонометрических многочленов -Ь

п

-f ^Г A_k cos kx-\-B_k cos kx плотно в нормированном пространстве

непрерывных на [—л, я] функций, удовлетворяющих гранич­ному условию х(—я) = л; (л), с нормой || х ||= max | х (t) |.

[-я, п|

Согласно второй теореме Вейерштрасса линейное многооб-

п

разие всех полиномов X a_kt^k плотно в С[а, Ь\.

3.7. Средние и срезывающие функции и их некоторые прило­жения. На (—с», +оо) рассмотрим функцию

^Jt^ ^пр" " к¹'

1.0 при |/|> 1,

» I

: = ^ е~ ds.

где с -

-1

Упражнение I. Докажите, что < s> (t) бесконечно диффе­ренцируема на (—оо, + оо).

Кроме того, очевидно, что & > (0 четная, неотрицательная и

+ < »

J се (/) Л = 1.

— 00

Введем теперь функцию ^л (0 ⁼ ^ ® (х) ' ^К0Т0РУ^Ю далее бу­дем называть ядром усреднения (радиуса h > 0); сOh(t) также

четная, неотрицательная, бесконечно дифференцируемая на

+ ^

оо, + ^ (»/, (t) dt — I. Кроме того, ш_Л(/) = 0, если

— оо

1'I> h.

3 т

Определим для каждой непрерывной на [а, Ь] функции x(t) среднюю функцию Xh(t) следующим образом (рис. 3): ь

Xh(0=\®hV— s)x{s)ds, ОО, + оо).

а

Упражнение 2. Пользуясь свойствами ядра усреднения it> h(/) и теоремой о дифференцировании интеграла по парамет­ру (см. [18]), докажите, что средние функции xn(t) обладают следующими свойствами:

1) *„(/)= 0 вне [а — h, Ь + ft];

2) x_h(t) бесконечно дифференцируемы на (—оо, оо).

		(t-s)	X 1-
			f\		\
					i i			x-t/t)
	1 ч*	1 XJ I.			i i			^ ■ J.
0	at-А	t t+A b s	0	a	a+d	t-r	b 1

Рис. 3. Рис. 4.

 

Введем теперь срезывающую функцию t, e, (t) (рис. 4):

£ e(0= \ < *_L(j(t-s)ds.

Я ^

а+4б

Упражнение 3. Срезывающая функция t, ₆'(t) обладает следующими свойствами:

1) £ ₆(f) = 0 вне [а, 6]_в/2;

2) Б_в(/> — 1 на [а, Ь]_л;

3) < 1;

4) (t) бесконечно дифференцируема на (—оо, + оо).

(Мы воспользовались обозначением [а + б, 6 — 6] = [а, Ь]_й.)

Определение. Функция x(t), определенная на [a, fc], на­зывается финитной, если найдется [a', b'], а < a', b'<.b, вне которого x(t)= 0. (Функция финитна на (—оо, + оо), если она равна нулю вне некоторого отрезка).

Срезывающая функция £ _б(/)> где 6 < ^Ь ₂ ^а, дает возмож­ность срезать любую функцию x(t), заданную на \а, Ь~\\ функ­ция x(t)l_& (t) является финитной.

Аппарат средних и срезывающих функции находит многие применения в функциональном анализе и в теории дифферен» диальных уравнений с частными производными (см. [32] и [23])- Приведем здесь два предложения о плотных линейных многообразиях.

Теорема 1. Линейное многообразие непрерывных и фи­нитных на [а, Ь\ функций плотно в 3? _Р[а, Ь].

Доказательство. Пусть 6< —. Имеем для любой непрерывной на [а, Ь] функции х(< )

U(0-Ce(')*(0l = 0-C4(0)i*(') I-

Но (0=0 на [а+ 6, 6 — б] и 1—! _б(0< 1 вне этого

отрезка, поэтому

(, а+а ь

$|*(0-£ в(')*(')1^рЛ< 5 \x{t)\> dt+ 5 I х (t) |^р dt < 26М^Р,

а а b-й

тле М = }\х\\_{С[а Ь]}. Следовательно, || х — х • Ыу_р1а. _Ь\ < ^М ■

Если теперь возьмем произвольное е > 0, то при б <

-финитная функция будет отличаться от х по норме меньше чем на е. Теорема доказана.

Теорема 2. В нормированном пространстве финитных и непрерывных на [a, b] функций с нормой IWIcu, ь} плотно ли­нейное многообразие финитных, бесконечно дифференцируемых на [а, Ь] функций.

Доказательство. Пусть x(t) непрерывна на [а, Ь\ и ■ финитна, т. е. х(/) = 0 вне некоторого [а', Ь'}, где а < а' < -< b' < Ь. Пусть h > 0 и h. < min(a' — a, b — b'). Рассмотрим ■ среднюю функцию Xh{t) для x(t). Согласно упражнению 2 функ­ция Xn(t) бесконечно дифференцируема и вне [а, 6] jc„(^)=0. Далее, поскольку coh(|i — s|)=0 при |1 — а

ь

^ ш_л( — s |) ds = 1, то имеем следующую оценку

■ а

\x{t)-x_k{t)\ =

= 1 J a> _t(l/ — sl)x(s)ds— J v> _k(\t — s\)ds-x{t) <

11 t—s 1 < ft li-sl< fl

•< шах lx(s) — x(0h [ co_A(U—s \)ds= шах | x(t) |.

1 t-s | < Л _uJ_{[< h M}__sl< ft

Вследствие равномерной непрерывности функции x{t) на [a, b\ (см. [18]) ||х(0— Xh(t)\\c[a, я-^О при Л-*- 0. Таким образом, теорема 2 доказана.

3.8. Изометричные нормированные пространства. Определение. Два нормированных пространства Е и Е называются линейно изометричными, если существует функция ^х = Цх), осуществляющая изоморфизм Е и Е как линейных

пространств и такая, что

I Щ*) 11 = 11*11-

С точки зрения своих алгебраических и метрических свойств изометричные пространства Е и Е ничем не отличаются и по­этому обычно отождествляются. Приведем пример. Пусть Е — m-мерное нормированное пространство. Фиксируем в Е базис

т

Еь

{e_k}™, и пусть *= X 1_ке_к—разложение * по базису. Рассмотрим Е—нормированное пространство столбцов * = (Ы" ' с нормой

. Нетрудно показать, что соответствие./(*) =

= * есть изометрия Е на Е. Задачи.

1. Замыкание выпуклого множества есть выпуклое множество. Докажите.

2. Замыкание /И множества Л( является пересечением всех замкнутых множеств, содержащих М. Докажите.

3. Покажите, что в линейном пространстве функций, непрерывно диффе» ренцируемых на [а, Ь], нормы

ь

»*Исч«.»1- I *(«)! +IIAlicia, 61 " \ \xH)\di+\\x'\\_{claj! ]}

а

эквивалентны.

4. Покажите, что в линейном пространстве функций, дважды непрерывно дифференцируемых на [а, Ь], нормы ll*ll_Ci_{[a 4}j, I х (a) j -f | х' (а) | + \\х" ||_{с (а 4j}

, Ъ '.у,

*(а)| + II *'11_с|а, Ы + 11^" |1с_[а, 6] и (\|*(01'< «| +11*" 11с [в

, ы

лентны.

5. Покажите, что в линейном пространстве непрерывных на [а, Ь] ф\нк-

v (t) x'(t)dt^

Ь '

ции норма || ^ эквивалентна норме ||л||=| \ v (f) х' (t) at |, где

v(t) ^ а > 0 на [а, Ь] и функция v (t) непрерывна на [а, Ь].

6. Докажите замкнутость произвольного конечномерного линейного много­образия нормированною пространства (иначе, всякое конечномерное лпнеййое многообразие является подпространством).

7. Будет ли в С [а, Ь] подпространством линейное многообразие непрерыв­но дифференцируемых на [а, Ь] функции?

8. Покажите, что пространства /р^Ш|, 1_р и 3? _р[а, b] при р > 1 строго нормированы (см. задачи 7 и 8 к § 2).

9. Покажите, что пространства и 3S _х [а, Ь] не являются строго нормированными.

I d^ka (t) _

10. Для ядра усреднения со_А(() справедливы оценки |------ —— ^

где С_к — некоторые постоянные, не зависящие от fc = 0. 1, 2, ... Дока­жите.

П. Если x(t) е С* [а, Ь], то средние функции x_h(t)-+x(t) при Л-> 0 в С^к [а', Ь'], где (а', Ь') с. (а, b), a k = 0, 1, 2, ... Докажите.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I. Нормативные правовые акты
2. Smart замена ECU: нормальный тип
3. А2. Что такое уголовно-правовая норма?
4. Административно-правовые нормы и отношения
5. Административно-правовые нормы, структура и виды норм.
6. Административно-процессуальные нормы: понятие и виды
7. Акт применения правовых норм: понятие, особенности, виды
8. Алгоритм минимизации функций в классе нормальных форм
9. Амортизация основного капитала. Норма амортизации.
10. Анализ использования рабочего времени и нормирования труда.
11. Бактериологическое нормирование.
12. Бальзам-молочко для жирных и склонных к жирности волос с ультралегкими кондиционерами и аминокислотным себонормализующим комплексом 300 мл. 200 руб. Витэкс