Следовательно, справедливо неравенство Гёльдера

т

Z ll*tkl< IUU< /il,. '3)

ft-i

Докажем теперь неравенство Минковского

/ m \1 /р / m \1/P / m \{/р

(£ |& * + л*п < (Zu*r) +(Еи*п ■ (4)

«— i / ⁼ i / \k - \ /

Прежде всего заметим, что

m m

Z 16* + л*Г = Z I + л* I g* Ч- л* К

m m

< Z + Z 1б* + ч_кг'1л*|.

fe-i fe-i

К каждой из сумм в правой части неравенства применим не­равенство Гёльдера:

m / m \1! q / m \Цр

Z + 1Ь + Л»Г^{,, #}) (Zu*f =

Ча=i / \ft-i J

/ m \llq / m \\/p

ибо (p—\)q = p. Точно так же

m / m \l/q/m \l/p

Z 1^ + л*Г'1 л*1< ( Z I6* + tuM Zl^l^p •

k=\ \k=i / \fr-i /

Складывая два последних неравенства, получим

ш f m \l'q г / m \l/p / m

(5)

m

Будем считать, что Z I Ik + Л& l^P > 0 (если эта сумма равна

k=i

нулю, то неравенство Минковского (4) очевидно). Деля нера-

/ m \llq

венство (5) на I } 1+ т]₄ \^р J и вспоминая, что 1--------------------- = —,

4=1 J

получаем искомое неравенство (4).

2.4. Пространство Пусть ре[1, + оо). Превратим в нормированное пространство, которое мы будем обозначать /р^т)> вводя в нем норму по следующей формуле:

/ т \Чр

= I li \" J ■

Проверка аксиом 1) и 2) нормы здесь очевидна, и мы предо­ставляем ее читателю.

Аксиома треугольника представляет собою доказанное в п. 2.3 при р > 1 неравенство Минковского.

Упражнение 1. Докажите неравенство треугольника _в i\^m>. Заметим, что при р = 2 /! /" = Е^т (см. пример 1 п. 2.1), т е. представляет собою евклидово пространство.

Какова сходимость в /р^Ш)? Здесь можно провести рассужде­ние по образцу примера 2 п. 2.2.

Пусть IUIL= max ||₄| —норма кубическая. ККя

Упражнение 2. Докажите следующее неравенство: IUII_K< lbvll_p< m^{, /p}IUII_K.

Из правой части этой оценки следует, что если и

если х_пх_й, п -*■ оо, в с^т, то х_а, п-> - оо, и в ибо \\х_п —

-Xot< ^mllP\\^Xn-^Xo\l-

Обратно, если х_п—ух₀, п—> оо, в то вследствие нера­венства II х_п — х₀ ||к < || Х_п — ||р МЫ имеем х_п-> х₀, га-* сю, в с^т.

Таким образом, сходящиеся последовательности в с^т и /J, ^m> совпадают и сходимость в как и в с^т, есть сходимость

покоординатная.

2.5. Пространство ограниченных числовых последователь­ностей т. Рассмотрим множество последовательностей г =

⁼⁼(£ г)П=1 ^таких> ^чт0 sup| < + оо. Это множество принято

(-Г

обозначать буквой т. Если х = у" ₌₁еш и у = (ili)7«i ^{е т}» то по определению полагают

Ял: =,, * +! / = (&, ■ + Ль

Уп ражнение 1. Доказать, что если х, i/ е га, то Ял е т, * + у е т и, значит, т — линейное пространство.

Превратим т в нормирован!.ое пространство, полагая

II X 11 = sup | h |.

Упражнение 2. Проверьте справедливость аксиом нормы в пространстве т. Какова сходимость в ш? Пусть от,

Хо е т и Хп~+х₀. Это означает, что для любого е > 0 найдется номер N = N(s) такой, что для любых п> N выполняется

bupllni—|о/1< в-

I

Последнее неравенство эквивалентно условию, что — < е для любых номеров /.

Таким образом, сходимость в т — покоординатная, равно­мерная относительно номера координаты.

2.6. Пространство t₀, р ^ 1. Рассмотрим множество /_р всех

оо

числовых последовательностей* = (ЫТ-i таких, что ряд X 11/ f

< =1

сходится.

Упражнение 1. Покажите, что если х е 1_Р, то и Хх = Норму в /_Р введем по формуле

 

Упражнение 2. Проверьте аксиомы 1) и 2) нормы. Докажем в 1„ неравенство треугольника. В неравенстве Мин- ковского для конечных сумм (4) п. 2.3 увеличим правую часть, заменив m на любое п > пг, и в полученном неравенстве

C

m \1/р / п \1 /р / п \1 /Р

Si б*+ ч*1" J +(Zi%I^pJ

перейдем к пределу при п—> -оо. Получим неравенство (для лю­бых т)

C

m \ 1/р

С 16*+ 4*1" J < 11* Ир + 11У Ир-

оо

Отсюда следует, что ряд 2 I + Ла сходится, как ряд с

fe=i

неотрицательными членами, частичные суммы которого огра­ничены (см. [18]). Следовательно, х + у е /_Р, и справедливо неравенство

/ °° \i/p

i + ч* i" J < н * и, + и*/lip.

Это и есть неравенство треугольника. Итак, 1_Р — нормиро­ванное пространство.

2.7. Пространство непрерывных функций С[а, Ь]. Рассмот­рим линейное пространство всех непрерывных на [а, 6] функ­ций. Норму введем так:

|| * || = max I* (/)|.

la. Ь\

Аксиомы 1) и 2) нормы проверяются тривиально. Проверим аксиому 3). По свойству модуля для любого / g [а, ()] имеем

\х (/) + у (() | < i * (/)| + | у (0 I < max U (0 I + max | у (t) |.

[а, Ь\ [а. Ь]

Следовательно, |x(t) + y{t) | г£ Пк! 1 + 1М1. Неравенство сохра­нится, если взять max в левой его части. В результате получаем ia.ftl

неравенство треугольника для нормы в С[а, Ь]\ для получен- 26
лого нормированного пространства мы сохраним прежнее обо-

значение.

Покажем теперь, что сходимость по норме в L\a, b\ есть равномерная сходимость. Пусть дана последовательность 7_Ля(/)}с: С[а, Ь\, и пусть она сходится к *₀(0< = С[а, Ь\, т. с.

_ -foil—0. п-^оо. Это означает следующее: для любого

е > 0 существует номер N такой, что при любых п> N спра­ведливо неравенство

max | х_п (t) — х(1) | < е ю, ь1

и тем более |x»(t)— x₀(t) | < е для всех t е [а, b]. Итак, сходи­мость по норме в С[а, Ь]— равномерная.

Посмотрим, как выглядит в С[а, Ь\ (в вещественном случае) окрестность S_e (а₀) = {х е С[а, b]: строим графики функций х = = x₀(t)+e, x = x₀(t)—e. Эти два графика и отрезки прямых i = а и t = b ограничивают е-по- лоску (полоску ширины 2е вокруг графика х ~ х₀(/)), которая и служит е-окрестностью точки х₀ (рис. 1).

В S₆(*o) лежат те элементы х^С[а.Ь], графики которых лежат строго между графиками элементов л о — в и *о + е.

2.8. Пространство С^к[а, Ь]. В линейном пространстве k раз непрерывно дифференцируемых на [a, b] функций введем норму

k

И*Ис*|а м= S max | *⁽ⁱ> (/) I,

¹ ' ¹ 1 = 0 [а, 6]

где x^(l)(t)— производная функции x(t).

Упражнение. Проверьте аксиомы нормы в C^ft[a, & ], По­кажите, что сходимость в С^к\а, Ь\— это равномерная сходи­мость на [а, Ь] последовательностей {х^(, 'Ч0}> / == 0, 1, ..., k.

2.9. Пространство i? _P[a, ft]. Вернемся к линейному простран­ству непрерывных на [а, Ь] функций. Однако теперь мы вве­дем норму иначе:

С

ь у /р

\\x{t)\" dt\, 1 < р < + оо

и '

(интегрирование понимается в смысле Рлмана).

||* — jtollCe}. Для этого по- X,         \ X =хп с ______   1 1 1 1, О a ь г   Рис. 1.

Упражнение 1. Проверьте аксиомы 1) и 2) нормы. Ак­сиома треугольника представляет собою неравенство Минков-
ского для интегралов:

/Ь \1 /р /Ь \\{ft

{xW+yiDfdt) < (Ju(/) fdfj + ^ly(/)l" d/J (I)

Доказательство неравенства Минковского при р > 1 основы­вается на неравенстве Гёльдера

ь

^ I * (0 у (О I d/ < IU Ир • II у II,, (2)

а

где 1/р+1/< 7 = 1. Заметим сначала, что если *(0 = 0 на [а, Ь] или y(t)= 0 на [а, Ь], то неравенство (2) справедливо. Пусть IUIIр > 0, \\y\\q > 0. Подставим в неравенство (см. (2) п. 2.3) \uv\ ^ иР/р -f- v^q/q следующие выражения « — = \x(t) |/|Ullp, v = \y(t)\/\\y\\_q и, проинтегрировав получив­шееся неравенство, получим

ь ь ь

J | * (0 iKO I < « J I »«)! «<

'dt

и ^^ CL ■ а |

IUIIp-Ш, ^ Р ll*l£ QIIУII, ~

Это и есть неравенство (2).

Далее, имеем, как и в случае сумм (см. п. 2.3), ь ь

\\x + ytf_P=\\x(t)+y (0 г dt < J I * (/) + у (/) Г¹1JC (О I di +

а а

Ь

+ [\х(0 + у (О Г''1 у (О I dt < II JC + у f (II * Hp 4- II у Hp).

а

После сокращения на ||л' + y\\^{o! q} получаем неравенство Минков­ского (1).

Определение 1. Пусть в линейном пространстве Е вве­дены две нормы: П -1! i и ||-||₂. Если существует постоянная |3 > --1 такая, что для любых х е Е выполнено неравенство

IUIIi< PI|jflb,

то будем говорить, что норма ||-|li подчинена норме || - И2-

Упражнение 2. Покажите, что если в линейном про­странстве заданы ||-|li и ||-||₂, причем ||-|li подчинена ||-||₂, то из сходимости последовательности {л_п} а Е в смысле ||-||₂ вы­текает ее сходимость в смысле Ц -1| i. причем к тому же элементу.

Определение 2. Сходимость в Spla.b] называется схо­димостью в среднем.

Упражнение 3. Покажите, что IMU подчинена норме IHIfKM и что, таким образом, из равномерной сходимости по­следовательности непрерывных на [а, Ь] функций следует сходи- ■ мость ее в среднем на [а, Ь]. Возникает вопрос — верно ли об­ратное: будут ли оба введенных вида сходимости эквива­лентны?

Задачи.

1. Рассмотрим множество С_а [а, 6], а е (О, I], всех непрерывных на [а, Ь] ■ функций, для которых выполняется условие Гёльдера

к_а(*)= sup! *('■ )-*('»)! _{< + 00-}

t, U*=\ab\ \t, -U\^a

Покажите, что С_а[а, Ь] будет нормированным пространством, если в нем норму задать так:

2. Введем в R^m «норму» для 0 < р < 1:

иг ' ^

[

Т -11/р

Будет ли шар 5_г(*о) выпуклым множеством? Какие аксиомы нормы вы­полняются?

3. Сходятся ли в С [0, 1] последовательности {t_n—t^n+l], [tⁿ — t²" }?

4. Сходится ли последовательность

С _fn+1 _fn+'2 •)

{тг+т-тн^} ^{B cl0}-^{1]; в}

5. Можно ли в линейном пространстве непрерывно дифференцируемых на Ja, 6] функций принять за норму функционалы

I * (Ь) — х (а) | + max \x'(t)\, [а, 6]

ь

U (а) I + max | х' (t) |, | х (t) | dt + max | х' (< ) |?

|а. 61 J 1а, 61

а

6. Можно ли в линейном пространстве дважды непрерывно дифференци­руемых на [а, 6] функций в качестве нормы использовать функционалы

6 \ 1/2

|*(а)| + [ х'ia)\ + \\x" \\_C[abV ^ I х (0 |² dt^j + [U1_C, _a. _b], U(a)| + U(6)| + |U" IL, ... \x(a)\ + \\x'\\.. + ilII_s.?

С! a. 61 С la. 61 |a. 6]

7. Найдите необходимые и достаточные условия, при которых достигается знак равенства в неравенствах Гёльдера (р > 1): а) для конечных сумм, < 5) для рядов, в) для ннтегралов.

8. Найдите необходимые и достаточные условия, при которых достигает­ся знак равенства в неравенствах Минковского (р > 1).

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Активность избирателей; неравенство доходов; показатель качества демократии по Р. Далю
2. Глава 10. Несправедливость, шок и пространство-время
3. Глава 2. О происхождении справедливости и собственности
4. Глава 6. Несколько дальнейших размышлений относительно справедливости и несправедливости
5. МЕСТЬ, СПРАВЕДЛИВОСТЬ, ПРОЩЕНИЕ
6. НЕРАВЕНСТВО ДОХОДОВ В РЫНОЧНОЙ ЭКОНОМИКЕ. КРИВАЯ ЛОРЕНЦА. КОЭФФИЦИЕНТ ДЖИННИ
7. Неравенство Клаузиуса. Общая формулировка второго закона термодинамики
8. О справедливости как выгоде сильнейшего
9. Общественная нравственность — это господствующая в обществе выработанная населением система правил поведения (норм), идей, традиций, взглядов о справедливости, долге, чести, достоинстве.
10. Построение социально справедливого общества и государства без олигархов. Сделать жизни людей счастливой и богатой
11. Примененное наказание как справедливое и несправедливое
12. Применимость теории справедливости в практике управления