Линейные и аффинные многообразия.

Стр 1 из 19Следующая ⇒

Определение 1. Множество Е в линейном пространстве Е называется линейным многообразием (линейным множеством), если для любых х, у ^ Е и любых скаляров X, р линейная комбинация Хх -(- е Е.

Заметим, что поскольку Е является частью линейного пространства Е, то из определения линейного многообразия Е следует, что Е также само является линейным 'пространством.

Приведем примеры линейных многообразий.

Пример 1. Пусть Е[а, Ь] — линейное пространство всех вещественных функций, определенных на [а, Ь]. Тогда С [а, Ь]— линейное многообразие в Е[а, Ь]. Это вытекает из известного в математическом анализе факта, что линейная комбинация двух непрерывных на [а, b] функций есть функция, непрерывная на этом отрезке.

Пример 2. Пространство C^k[a, b], k ^ 1, является линейным многообразием в пространстве С[а, Ь], так как всякая k раз непрерывно дифференцируемая на [a, b] функция непрерывна на [a, b\, а линейная комбинация функций из C^k[a, b\ снова является функцией из С^к\а, Ь\ (почему? ).

Упражнение 1. Покажите, что при k > I ^ 0 С^к[а, Ь\ — линейное многообразие в С'\а, Ь].

Упражнение 2. Покажите, что множество всех многочленов степени не выше т является (т + 1)-мерным линейным многообразием в С\а, Ь).

Упражнение 3. Покажите, что в С[а, Ь\ множество всех функций, удовлетворяющих граничным условиям х(а)=а, *(6)=Р, является линейным многообразием тогда и только тогда, когда а = р = 0.

Упражнение 4. Докажите, что множество решений линейной однородной системы т уравнений с п неизвестными

а_пх_{ + а, 2*2 + ••• +ai_re*„ = 0,

«21*1 + 022*2 + • • • + Я2п^хп — 0,

«ш 1*1 + «т2*2 + ■ ■ • + а_тпХ_п = О

при п> г является (п — г)-мерным линейным многообразием в R", где г— ранг матрицы системы.

Упражнение 5. Докажите, что множество решений линейного диф [)еренцилльного уравнения n-го порядка

+ a. W-S^f + ■ •• +*.(0* = ⁰

(коэффициенты о, (/), г = 1, 2............... п, непрерывны на

образует л-мерное линейное многообразие в С[а, Ь\.

С понятием линейного многообразия тесно связано понятие аффинного многообразия. Введем сначала следующее обозначение. Пусть М — некоторое множество в линейном пространстве Е. Множество векторов из Е вида х₀ -+- и, где и пробегает М, будем обозначать хо + М. Короче,

х_й + М = {х₀ + и; ue М}.

Определение 2. Пусть L — линейное многообразие в линейном пространстве Е. Фиксируем Хо ф L. Множество х₀ + L называется аффинным многообразием в Е. Если Е конечномерно, то размерность L называется размерностью аффинного многообразия хо + L. В трехмерном пространстве всякая прямая и всякая плоскость, не проходящие через начало координат, являются аффинными многообразиями.

Упражнение 6. Докажите, что множество решений совместной линейной неоднородной системы m уравнений с п неизвестными

Т> ацХ1 = у_{, i = 1, 2, ..m, l-1

является п — r-мерным аффинным многообразием в R", где т — ранг матрицы системы.

Упражнение 7. Докажите, что множество решений линейного неоднородного дифференциального уравнения п-го порядка

+ •■ ■ +а_п(()х = у(0,

где коэффициенты а, (/), г = 1, ..., п, и правая часть у({) непрерывны на [а, Ь], образует n-мерное аффинное многообразие в С[а, Ь).

1.6. Изоморфизм линейных пространств. Рассмотрим линейные пространства X и Х- пусть каждому элементу х е X поставлен в соответствие определенный элемент iei, т. е. задана функция x = J{x), определенная всюду на X, со значениями в к. Будем говорить, что пространства X и X (линейно) изоморфны, если найдется функция к = J (\), осуществляющая линейное и взаимно однозначное соответствие между X и X, т. е.

1) J (Хх + \iy) = XJ (*) + рУ (у) для любых элементов х, у е X и любых скаляров X, ц;

2) если J{xi)= J {х₂), то х, — х₂;

3) для любого х е X найдется х е X такой, что х = J (х).

Приведем примеры изоморфных линейных пространств.

Пример 1. Пространство многочленов с вещественными

коэффициентами степени не выше ш изоморфно R" " ^1-1. Действи- т

тельно, пусть ^xkt^k> рассмотрим функцию /, отобра-

к=< )

жающую каждый такой многочлен в столбец (x_k)™_=a е R" ¹*¹, т. е.

j(i хА = (_Хк); _г

\fe —о /

Упражнение. Проверьте, что I — линейная, взаимно однозначная функция.

Пример 2. Всякое m-мерное вещественное линейное пространство Е изоморфно R^m.

Фиксируем в Е базис Тогда всякий д: < = Е однозначно

представим в виде x=Y, Ik^k (^см- формулу (1) п. 1.4). Поло-

жим для всякого X е Е

/W = (6*)r_₁sR^m.

т т

Если y=Y, Ллей. то U + fiy=£ (A-gfc + M-T|fe)^т- е. спра-

к = 1 к-1 ведливо свойство линейности координат: координаты линейной комбинации векторов равны той же линейной комбинации соответствующих координат этих векторов. Следовательно,

J (кх + \iy) = (4k Нг, = к (Ы™., + ц (TU)™_, = к! (х) + ц! (у).

Взаимная однозначность / есть следствие единственности координат вектора (при фиксированном базисе). Итак, Е изоморфно R^m.

1.7. Выпуклые множества в линейных пространствах. Пусть Е — лине-йное пространство. Отрезком, соединяющим точки л 1, хч е Е, называется совокупность всех точек х вида

х = (\ —t)x_x + tx₂, /е= [0, 1].

Определение 1. Множество W в линейном пространстве Е называется выпуклым, если всякий раз из того, что vi, е е W, следует, что W принадлежит отрезок, соединяющий х_хи х₂.

Упражнение 1. Покажите, что всякое линейное многообразие в Е является выпуклым множеством.

Упражнение 2. Пусть W — выпуклое множество, а Xa < = Е. Покажите, что множество х₀ + № — выпуклое. Отсюда, в частности, вытекает выпуклость аффинных многообразий.

Введем теперь понятие выпуклого функционала, Пусть на линейном пространстве Е задана функция, ставящая каждому х е Е в соответствие число р(х) В этом случае говорят, что на Е задан функционал р(х). Если все значения р(х) вещественны, то функционал р{х) называется вещественным функционалом.

Определение 2. Вещественный функционал р{х) называется выпуклым, если для любых х\, х₂ е Е и любых t < = [0, 1]

Р(( 1 - 0 + tx₂) < (1 - t) р (*, ) + tp (х₂).

С помощью выпуклых функционалов можно строить выпуклые множества. Фиксируем элемент х₀ е Е и вещественное число с.

Рассмотрим следующее множество:

Q = {х е Е\ р(х — х₀) < с}.

Покажем, что Q выпукло. Действительно, пусть х\, х₂ е Q, т. е. р(х\ — хо)< с и р(х₂ — хо)< с\ тогда для всех * < = [0, 1]

р ((1 —t)x 1 + tx2 — Хо) = р ((1 — t) (я, —Xo) + t (х₂ — Х₀)) <

< (1 — t) р (xi — Хо) + tp (х₂ — х₀) < (1 — О с + tc = с.

Следовательно, вместе с х\ и х₂ Q содержит соединяющий их отрезок, т. е. Q выпукло.

Упражнение 3. Пусть р(х)—выпуклый функционал, х₀ — вектор, с — вещественное число. Докажите выпуклость множества

Q = {л; е X: р(х — х₀)^с).

Упражнение 4. Покажите, что пересечение произвольного числа выпуклых множеств является выпуклым множеством.

1.8. Комплексификация и декомплексификация. Пусть Е — вещественное линейное пространство. Покажем, что Е можно включить в некоторое комплексное линейное пространство Е Рассмотрим всевозможные формальные суммы z — х + iy, где х, у^Е, a i — мнимая единица. Если, кроме того, Zi = x_t + iy_x, то определим

2 4- 2, = (х + Jfi) + i (у + У l), (а + pi) z = (at- Ш 4- i (а У + foe)

(а и р — вещественные скаляры).

Множество формальных сумм г теперь, как нетрудно видеть, превратилось в комплексное линейное пространство, которое обычно называют комплексной оболочкой Е и которое мы обозначим через Е. Наше исходное пространство Е включается в Е, ибо все элементы из Е вида л: 4-'^-0 с умножением на скаляры a + f'O составляют Е. Такое включение вещественного линейного пространства Е в комплексное линейное пространство Е называется комплексификацией пространства Е.

Декомплексификация есть процедура, обратная (в определенном смысле) комплексифнкации. Пусть Е— комплексное линейное пространство. Каждый его вектор z запишем в виде 2 — х + iy, где х и у —- вещественные элементы Е. Рассмотрим вещественное линейное пространство Е пар (х, у), в котором по определению (X— вещественный скаляр)

(хь У\) + (х-2, у₂) = (х, + х₂, у, + у₂),

к(х, у) = (Хх, Ку). ⁽¹⁾

Упражнение 1. Проверьте для Е аксиомы линейного пространства.

Упражнение 2. Пусть Е — т-мерное комплексное линейное пространство. Тогда Е — 2т-мерное вещественное линейное пространство.

Переход от £ к £ и называется декомплексификацией комплексного линейного пространства Е.

Комплексификация и декомплексификация применяются тогда, когда хотят воспользоваться результатами, полученными для одного из случаев — комплексного или вещественного, — в другом случае.

Задачи.

1. Пусть М.„„ — линейное пространство прямоугольных матриц порядка mX« (см. пример 6 п. 1.2). Докажите, что пространство М_тп тл-мерпо. Найдите базис в М_т„. В вещественном случае установите изоморфизм между Мтп И R^m".

2. Покажите, что множество всевозможных дифференциальны* операторов порядка не выше п

^р < ^D> = £ Pk о < з = Z ik о ^D" ' ■ ■ ■

k=0 k=0

(здесь Ь], коэффициенты р* (О, (О непрерывны на [а, Ь], D* — d^kldt^k_r

D° = 1) с операциями

XP(D)*= £ [Xp_k(t)}D\ k-o

P(D) + Q (D) = £ [p_k (< ) + q_k (0] D^k

k-Q

образует линейное пространство.

3. Во множестве R⁺ = (0, положительных чисел (элементов) введем операции. Под «суммой» элементов х, у е R + будем понимать нх произведение, а под «произведением» элемента х на вещественное число X будем понимать элемент х^к. Покажите, что при таком определении операций R ⁺превратилось в линейное пространство. Как выглядят в R+ «нуль» и «противоположный элемент»?

4. Докажите, что формула J(x) = In дс, осуществляет изоморфизм R+ на R¹.

5. Обозначим через fi(£ ) множество всех подмножеств линейного пространства £. Если М, Л/еР(£ ), то определим:

М + N = {* + у, х е М, у е N), ХМ = {Хх\ х е= М},

j —М = (-1)'М = {—х; *< =М}, М — /V = М + (—I) ■ W.

Какие из аксиом линейного пространства выполнены в (? (£ )?

6. Рассмотрим в R^m k столбцов = (1, -у)™_|> ¹ = ². ^ образуем

из этих столбцов матрицу (gi, ), / = 1............ k, / = 1.......... ш; пусть г —ее

ранг. Покажите, что если г = А и 4 < га, то............. линейно независимы.

Если же £ > т или г < L k, то *i, ..., линейно зависимы.

7. Докажите, что два конечномерных линейных пространства (оба вещественные или оба комплексные) изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности совпадают.

8. Пусть Е и Е — изоморфные конечномерные линейные пространства и формула х = J(x) осуществляет их изоморфизм. Докажите, что {/ —

базис в Е, если [е^™ — базис в Е.

9. Пусть Е| и Ё₂ — два линейных многообразия в линейном пространстве Е. Докажите формулу Грассмана dim (£, П Е₂) + dim (£ i -J- £ ₂) = dim E[ + + dim E₂. Здесь dim £ — размерность E, a £, + £ 2 — наименьшее линейное многообразие, содержащее £ i и £ ₂.

10. Пусть Xi....... х_п — точки выпуклого множества W в линейном про-

странстве К, а..., Х„ — неотрицательные скаляры такие, что ^

i-l

Тогда ^ Х₍х₍ е W. Докажите.

< = I

11. Пусть М и N выпуклы. Тогда множества ХМ и М ± N (определение см. в задаче 5) также выпуклы. Докажите.

12. Пусть £ — я-мерное вещественное пространство, а Е—комплексное пространство, полученное из Е после комплексификации. Какова размерность Е, если рассматривать его как вещественное пространство?

Нормированные пространства

В предыдущем параграфе мы рассмотрели линейные пространства. Следующим нашим шагом будет введение нормированных пространств. Понятие модуля вещественного числа, комплексного числа или вектора позволяет ввести расстояние, или, как принято говорить, метрику, на числовой оси, в комплексной плоскости или в пространстве векторов соответственно. Наличие метрики, в свою очередь, позволяет рассмотреть важнейшие вопросы о сходимости последовательностей и рядов, о предельном переходе, о непрерывности и дифференцируемосги функций и т. п.

2.1. Определение нормированного пространства. Определение 1. Линейное пространство Е называется нормированным пространством, если каждому х^Е поставлено в соответствие неотрицательное число Ы (норма х) так, что выполнены следующие три аксиомы:

1) Ы\> 0; ||*|| = 0 в том и только в том случае, когда х = 0;

2) HMIHaMUII;

3) IU + yll< IUII+llt/ll.

Таким образом, норма — это определенная всюду на Е функция с неотрицательными значениями и со свойствами 1)—3). Заметим, что аксиома 1) называется условием невырожденности нормы, аксиома 2) — условием однородности нормы, а аксиома 3)—неравенством треугольника. В случае векторов аксиома 3) означает, что длина стороны в треугольнике не превышает суммы длин двух других его сторон. Как следствие отсюда имеем: длина любой стороны треугольника больше или равна разности длин двух других его сторон. Соответствующее неравенство для нормы имеет вид

II* —#11 > 111*II —II г/III- (О

Докажем это неравенство. По неравенству треугольника имеем

\\х\\ = \\{х-у) + у\\^\\х-у\\ + \\у\\,

откуда ||а" — у\\^\\х\\— |[г/||; меняя ролями * и у, получим

\\х-у\\> \\у\\-\\х\\.

Оба последних неравенства в совокупности дают неравенство (1).

В нормированном пространстве можно ввести расстояние между любыми двумя его элементами по формуле

р (*, у) = \\х — у ||.

Упражнение ]. Показать, что расстояние р(х, у) удовлетворяет следующим трем свойствам: о)р(х, г/)> 0; р (лг, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у\

Р) р (*, у) = р (у, *);

V) Р (*> у)< Р (*, г) + р (z, у).

Определение 2. Множество X называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов * и у поставлено в соответствие вещественное число р(х, у), удовлетворяющее аксиомам а), Р), у). Таким образом, метрические пространства можно считать обобщениями нормированных пространств.

Рассмотрим в нормированном пространстве Е множество 5_г(*о) = {* < = Е: ||л' — *₀|| < ^г}, где Хо е Е — фиксированная точка, а г > 0. Множество S_r(*o) называется открытым шаром с центром в х₀, радиуса г. Аналогично, множество

S, (хо) = {х < = Е: || * — *₀ IK г}

называется замкнутым шаром (с центром в *₀, радиуса г). Множество

< Уг (х₀) = {* ^ Е: || * — х₀ II = г) называется сферой. Очевидно, 5г(л'о) = 5_r(*o)U о_г(*о). 20

Упражнение 2. Покажите, что IUII является выпуклым функционалом в £ и, следовательно, согласно п. 1.7, шары 5_Л(*о) ^и ^ (^з) выпуклы. Будет ли ст, (jt₀) выпуклым множеством в £?

Далее будет приведено много примеров нормированных пространств. Пока же мы ограничимся простейшими примерами.

Пример 1. В вещественном линейном пространстве т-мер- ных столбцов R^m введем норму

/ т \ 1/2

Аксиомы нормы 1) и 2) выполняются тривиально. Неравенство треугольника (аксиома 3)), известное из курса линейной алгебры, будет доказано позже в более общем случае.

Полученное нормированное пространство в линейной алгебре известно как евклидово пространство и обозначается Е^т.

Упражнение 3. Как выглядят S, (х₀), S, (.v₀), o_r (л-₀) в Е^тпри т = 1, 2, 3?

Пример 2. Пространство с" ¹. Введем в R" ' норму

II х ||к = max I1.-I-

1< i < т

Проверим аксиомы нормы.

1) И*1Ц^0—это очевидно. Пусть ||je||=0, т. е. max | ^ j = 0;

но тогда все g, = 0 и * = {0}™₌₁ = 0.

2) I ^h 1 = I А | • 11; I, откуда вытекает однородность нормы.

3) Ui + riiKII/l + lriiKmaxl^l + maxIri.l.T. е. +

I i

^ IUIIк + ||г/11к. Переходя в этом неравенстве слева к max по i, получим неравенство треугольника.

Упражнение 4. Как выглядят в с'" S, (x₀), 5_г(х₀), о, (хо) при т = 1, 2, 3?

Замечание. Множество IU — a'oIIk < г в R^m называют обычно m-мерным кубом. Это оправдывает наше обозначение IUII* — «норма кубическая». Множество IU— л'о11с < г в R" ^! называют m-мерным шаром (IUIU— «норма сферическая»),

2.2. Предел последовательности. Рассмотрим в нормированном пространстве Е последовательность элементов {х„}.

Определение 1. Элемент х₀ е Е называется пределом последовательности {х

п}, если |Un — л-'оИ^-*" 0 при п —у ос. Если лгр есть предел {х_п}, то будем писать л: ₀ = Пт л-_а или х_п -*■ .v₀ при

П оо

п-*- оо и говорить, что последовательность {л,, } сходится к а-_сили просто сходится. Назовем окрестностью точки лг₀ любой открытый шар S, (х₀).

Упражнение 1. Покажите, что если Пт лг„, то

П-» оо

1) в любой окрестности точки Хо находятся все члены последовательности {*„}, за исключением, быть может, их конечного числа;

2) предел хо единствен;

3) любая подпоследовательность последовательности сходится к х₀',

4) если к_п-*-ка при п-*~ оо, то k_nx_n-+k₀x₀ при п-*~ оо;

5) если, кроме того, у_п-*-уо, п-*- оо(у_п^Е, у₀^Е), то

Хп + Уп Хо + Уо, п -*■ ОО.

6) Пользуясь неравенством (1) п. 2.1, доказать, что если Хп -*- х, п оо, то IUJ-HUII, п -> ОО.

Определение 2. Множество назовем ограничен

ным, если его можно заключить в некоторый шар. Точнее, М ограничено, если существует такое число С > 0, что для всех jteM выполняется неравенство ||*||^ С.

Упражнение 2. Докажите, что всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Пример 1. Рассмотрим пространство с^т (см. пример 2 п. 2.1). Какова будет сходимость в с^т?

Пусть *„ = (£ „«)*., и *„-»-*о = (£ < и)Г_1 ^ПР^И л-*+оо. Тогда

lUr. — ll_K = max | g_rt( — £ о< |-*-0, «-> +

значит, £ oi, n-*- oo, t= I, ..., т. Это означает, что каж

дая координата вектора х_п сходится к соответствующей координате вектора Хо. Можно поэтому сказать, что сходимость в с^т — покоординатная.

Пример 2. Рассмотрим пространство Е^т (см. пример 1 п. 2.1). Пусть ==(£ „, )",, -> *о = (£ < к)Г-1 при п-+оо. Это означает, что при п—> ■ ОО

Г т -11/2

11*«-*о11с = [Е(6»|-Ьк)²] -0. (1)

Поскольку для любого j; = y" eR^m

т -ч 1/2

El^J =11* Не

то из (1) следует, что

II Хп — х₀ [|_к < II Х_п — Хо ||_с-»■ О, П-+00.

Согласно предыдущему примеру это означает, что сходимость в Е^т — также покоординатная.

2.3. Неравенства Гёльдера и Минковского для сумм. В этом пункте мы доказываем два важных вспомогательных неравенства.

Пусть числа р~> 1 и < 7 > 1 связаны соотношением 1 /р+

\ jq = 1. Рассмотрим на полуоси [0, + оо) функцию

Упражнение. Докажите с помощью дифференциального исчисления, что t— 1 — единственная точка минимума функции < р(/) на [0, +оо) и что, таким образом, справедливо неравенство

+ < 1> Р я

_ 1_

Положим в (1) t = uv^p~^>, u^O, и получим следую

щее неравенство:

^ и.». V*

uv ------------------. (2)

Р я

Исходя из неравенства (2), мы докажем неравенство Гёль- дера для сумм. Для любых комплексных чисел..., 4i, •.., Цт справедливо следующее неравенство Гёльдера:

m / m \1/р / m \\/q

(m \l/p / m

IlbtuK IlbH (I In*! " ) • (3)

Для доказательства введем обозначения

, чр

_ 16* I"

Допустим, что оба эти выражения отличны от нуля (если это

не так, то (3) очевидно).

if /пч l^tl I I

Полагая в (2) и—.., f = —гт—. получим

II X Hp II у llg

_ IVU < Lki!., И*I*

^ „,.п I

lUllp-llyll, IUII? II »/И! Суммируя по А от 1 до т, имеем

т т т

11м* | Z 11* I" I и,

k=i <; I fc-i________ j

Н* ll_p-II у II, \\xf_p \\yf_q

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒