Тогда справедливы все утверждения теоремы 1.

а начальное приближение хо задано. Если х_п-»-х при л-> оо (х„ — решение (2), а х — решение (1)), то говорят, что метод простой итерации сходится.

С точки зрения принципа сжимающих отображений уравне­ние (1) следует записать в виде дг = Ф(дг), где Ф (х) = Вх + у. При этом

|| Ф ([6]') - Ф (*" ) || = || Вх' - Вх" || < || В || || - х" ||.

Если ||В||< 1, то оператор Ф является сжимающим и метод простых итераций сходится. Более общее условие его сходимо­сти дает теорема 2 п. 33.2, когда сжимающим является опера­тор Ф* при некотором натуральном k. Предлагаем читателю проверить, что в данном случае

k

ф* (_х) = в*х+Е в¹ у

/ = 0

и, следовательно,

|| Ф^к (*') - Ф^к (х" ) || < || В^к || || - х" ||.

Таким образом, если удастся показать, что при каком-либо k ||B^fe||< 1, то, согласно теореме 2 п. 33.2, метод простой ите­рации сходится. На этом пути удается получить следующее не­обходимое и достаточное условие (см. [1]).

Теорема. Для сходимости метода простой итерации при любом начальном приближении необходимо и достаточно, что­бы все собственные значения оператора В по модулю были меньше 1.

Доказательство достаточности. Пусть Яь,....., Хт — собственные значения оператора В (среди них могут быть равные). Согласно условию теоремы существует число <? е(0, 1) такое, что

|Я_г К<?, i= 1, .... т.

Фиксируем число б > 0 настолько малое, что < 7 + 6 < 1, и рассмотрим оператор 6Его собственные значения равны б^-1Я„ г = 1, т. По теореме Жордана (см. п. 23.2) суще­ствует в Н базис {e_t}™, состоящий из собственных и присоеди­ненных векторов оператора б~¹В. При этом выполняются сле­дующие соотношения:

& ~^lBei = Я₁6^-1е₁, 6^-1Ве, = Я_; б^-1е_г + г = 2, ..., т,

где либо аг-i = 0, либо — 1. После умножения на б при­ходим к равенствам

Ве_х = Х_хеь Be_i = %_ie_l-{-ba_i__le_i_u г = 2, т. (3)

Возьмем х е Н, и пусть его разложение по базису имеет

вид

т

Пользуясь формулами (3), можно показать, согласно мате­матической индукции, что

т т— 1

Bx—Y, Kli^i + 6 £ а; 1г + 1<? «,

г=i i=i

m m—1 m—2

где Cm — биномиальные коэффициенты. При этом, если m^s> то полагаем

Вспомним теперь, что | ^ < 7, и, пользуясь неравенством Коши — Буняковского, получим

I m—s II m—s

11 s < 3)

где

m Sl/2 / m ч 1/2

Slid²] У^И²; • (⁶)

Оценка (4) с использованием (5) приводит к следующему не­равенству:

|]B**ll< fo + 6)*a(*)- (7)

Заметим теперь, что функционал а(х), определяемый фор­мулой (6), удовлетворяет всем аксиомам нормы. Но Н конеч­номерно, и потому все нормы в Я эквивалентны. Поэтому най­дется постоянная О 0 такая, что для всех л: е// имеем c||jc||. Обращаясь к (7), получаем оценку

т. е. c(q + b)^k. Так как < 7 + б< 1, то при достаточно

большом k будем иметь ||£ ^ft]|< 1, и метод простой итерации сходится.

Доказательство необходимости. Пусть X соб­ственное значение В и 1. Пусть < р — собственный вектор В, отвечающий %. Выберем в (2) начальное приближение х_а = = х + ф, где х — решение уравнения (1). Тогда

где у е Н, А ^ 2(H), Н — m-мерное унитарное пространство, обычно используются различные варианты его записи в форме (1). Опишем один из них. Пусть в Н фиксирован ортонормиро- ванный базис, в котором (4) является матричной записью си­стемы линейных уравнений:

*=(ЫГ> г/ = ЫГ> ^A = (^an)7.i=v

Предположим, далее, что оператор А вещественный самосо­пряженный, т. е. Oil вещественны и а_ч = а_{; 1}, и положительно определенный, т. е. (Ах, х) > 0 при х ф 0. Разложим матрицу А на сумму трех матриц:

Л = С + Л + 0, (9)

где матрица С — нижняя левая треугольная, матрица D — верхняя правая треугольная, а Л — диагональная матрица. Точнее, с_£ / = ац при i > j, сц — 0 при i ^ /; Я„ = а_и, %ц = О при i ф у, dij = Chi при i < }, а^ = 0 при i ^ /'. Запишем уравнение (8) в виде

(Л + «вС)ж = [(1 - < в) Л - < nD] л: + coy, (10)

где со > 0. Поскольку матрица Л + со С обратима, то уравнению (10) можно придать вид

JI F (/, х) || ^ с, (3)

||F(t, _Xl)-F(t, х₂)||< /я||*_а-дс, ||. (4)

Тогда на [0, 8j], где

01 = min± 0), (5)

Доказательство. Пусть x'(f)—решение задачи (1)—> (2), т. е. непрерывно дифференцируемая на некотором [0, 0i], Gi ^ 0, абстрактная функция, обращающая (1) в тождество на [0, 01 ] и удовлетворяющая начальному условию (2). Под- ставим x{t) в (1) и полученное тождество проинтегрируем на [О, /] с учетом (2). Получим, что x(t) удовлетворяет следую­щему интегральному уравнению:

t

х (0 = а + J F (s, х (s)) ds. (6)

о

Обратно, пусть x(t)—непрерывное на [0, 9i] решение ин­тегрального уравнения (6). Заметим сначала, что при se[0, 0i] абстрактная функция F(s, x(s)) непрерывна на [0, 0i]. Это вы­текает из непрерывности x(s), непрерывности F(t, x) по t и следующей оценки, использующей условие Липшица (4):

|| F (s, х (s)) - F (s₀, х (so)) IK IIF (s, x (s)) -F(s, x (s₀)) || +

+ || F (s, x (so)) - F (so, x (s₀)) IK m || * (s) - * (s₀) II +

+ || F(s, x(so))-F(so, x(s₀))f

Если s, s₀e[0, 0i] и s-> s₀, то правая часть в последнем неравенстве стремится к нулю и, значит, F(s, x(s)) непрерывна в каждой точке [О, Эi]. Отсюда вытекает, что согласно (6) лс(0)=а, а также дифференцируемость х(/) на [0, 6i] и равен ство x'(t) = F(t, x(t)) (см. свойство 8 п. 25.2). Итак, x(i) — ре­шение задачи (1) — (2). Таким образом, задача нахождения решения задачи Коши (1) — (2) эквивалентна задаче нахожде ния непрерывного решения интегрального уравнения (6). Поль­зуясь этим, введем банахово пространство Cx[0, 9i] абстракт ных, непрерывных на [0, 0i] функций x{t) со значениями в X и с нормой

\х (01 = max ||х (0II.

[о, 0, ]

Рассмотрим в Cx[0, 9i] замкнутый шар

S_r (а) = {х (0 е С_х [0, 6J; ||х (/) - a IK г). Нелинейный оператор

Ф(х) = а + \F(s, x(s))ds (7)

о

переводит S_r(a) в себя, ибо

t I t

[F(s, х (s)) ds < шах [ || F (s, x (s)) || ds< 0^ < r J 10.6, 1 J

| Ф (x) —a | = max

10, 8, ]

вследствие неравенства (3) и определения 0[ равенством (5). Кроме того, Ф(х) является на S_r{a) оператором сжатия, так

как согласно (4)

| Ф (jci) — Ф(лг₂)| = тах [о, ej

t

\[F{s, x_l (s))-F(s, x₂(s))]ds <

0 II

< max \ II F (s, x_x (s)) — F (s, x₂ (s)) || ds < [o, ад J

< 0i«|*i (s) — x₂(s)\ = q\x_x —x₂\,

где q = 0i, m < 1 (см. (5)).

Согласно принципу сжимающих отображений в шаре Sr(a)¹ существует единственное решение С*[0, 0i] уравнения

(6). Таким образом, теорема 1 доказана.

Определенным недостатком полученного результата является то обстоятельство, что решение x(t) задачи (1) — (2) опреде­лено не на всем [0, 0], а лишь локально на [0, 0i], где 01 удов­летворяет равенству (5). Пример задачи Коши для обыкновен­ного дифференциального уравнения dxjdt — x², х(0)=1, точ­ное решение которой имеет вид х (I) — _ -, показывает, что

в общем случае нельзя гарантировать существования решения задачи (1) — (2) «в целом»—на всем [0, 0].

При более жестких предположениях относительно опера­тора F{t, x) удается доказать теорему существования и един­ственности решения задачи Коши (1) — (2) на [0, 0].

Теорема 2. Пусть оператор F(t, x) непрерывен по t на [0, 0] при каждом фиксированном х е X и удовлетворяет усло­вию Липшица (4) при этих же значениях переменных. Тогда на [0, 0] существует единственное решение задачи Коши (1) —■ (2).

e~^mt IIФ (х.) - Ф (х₂) IK (1 - e~^mt) | х, - х₂|_т.

Наконец, перейдем к шах на [0, 0], что дает неравенство

| Ф (х, ) - Ф (х₂) < (1 - е-⁹) IX! - х₂ \_т.

Итак, Ф — сжимающий оператор. Теорема 2 доказана. Упражнение. Перефразируйте теоремы 1 и 2:

а) на случай обыкновенного дифференциального уравнения,

б) на случай системы I обыкновенных дифференциальных уравнений с I неизвестными функциями.

Рассмотрим задачу Коши для линейного дифференциаль- _t ного уравнения в банаховом пространстве:

=A(t)x + y(t), t> 0, х (0) = а. (8)

Хп = Хп-1 — [F' (*_n-i)r' F (*„_i), п= 1, 2,... (2)

В книге [11] (гл. XVIII) читатель может найти подробней­шим образом разработанную теорию метода Ньютона, различ­ные варианты теорем о сходимости итерационного процесса (2) и близких к нему процессов, а также многочисленные прило­жения. Метод Ньютона является в настоящее время одним из наиболее употребительных вычислительных методов. Главное его достоинство — это (в определенных предположениях) очень быстрая сходимость последовательных приближений (2) к ре­шению х*. Метод применим также и в случае, когда уравнение (1) имеет несколько решений.

Дадим описание метода Ньютона в простейших случаях. Пусть сначала х — вещественная переменная и значения F{x)' также вещественны. Предположим, что в окрестности решения х? (рис. 21) функция F(x) строго возрастает и выпукла вверх (аналогично рассматриваются и другие случаи строго монотон­ной и выпуклой функции). Выберем начальное приближение Хо достаточно близко к х*. Запишем уравнение касательной к кри­вой y = F(x) в точке (xq, F(xq)): у = F(х₀) + F'(х₀) {х — х₀). Точка пересечения касательной с осью абсцисс получится при у = 0. Ее абсцисса равна значению, вычисляемому по фор­муле (2) при п = 1. Далее проводим касательную к кривой у = F(x) в точке (xi, F(xi)) и получаем х₂ (см. (2) при п = 2) и т. д. В результате получается последовательность {х„}, очень быстро сходящаяся к х*, если — достаточно мало. В рас­сматриваемом случае метод Ньютона обычно называют мето­дом касательных Ньютона.

Пусть теперь х, F(x)^E^m. Если f_t(xь..., х_т), £ = 1, ......, п, — координатные функции F(x), то уравнение (1) яв­ляется краткой записью системы уравнений

* „.. fi(x ь.... Х_т) = 0, i= 1.......................... т.

Производная F' (я) = ~ это матрица Якоби, а

 

|[Р(л: )]^-1 — обратная матрица. Формулы (2) представляют со­бою, таким образом, матричную запись итерационного процес­са Ньютона в Е^т.

34.2. Теорема о сходимости итерационного процесса Ньюто­на. Приведем один из наиболее удобных в приложениях вари­антов теорем о методе Ньютона. Существование решения х* здесь не предполагается, а доказывается. Вопрос о единствен­ности решения в рассматриваемом шаре здесь не обсуждается.

Теорема. Пусть в шаре Sr(x₀) оператор F(x) дифферен­цируем и его производная удовлетворяет в этом шаре условию Липшица с постоянной I. Пусть, далее, в S < -( jco ) оператор F'(х) непрерывно обратим и существует постоянная тп ~> 0 такая, что в S_r(xо)

|[F'Wr1< m. (1)

Пусть, далее, || F (*o) |К ч. Тогда, если q = -^m²lr\< 1 и

r' = m₄⁺fq^2k-\< r, (2)

А-О

то уравнение F(x) = 0 имеет решение х* е S_r' (*о)> к которому сходится итерационный процесс Ньютона, начатый с х₀. Ско­рость сходимости х_п к х* дается неравенством

2^П-1

II х_я — х* ||< mil —-у-.

1 — Q

Доказательство. Введем для краткости следующие обозначения: '

r(x) = [F'(x)r\ Г„ = Г(4 F_n = F(x_n), Fi = F'(x_n).

Итерационный процесс Ньютона в этих обозначениях записы­вается так:

x_n+i = x„ — Y_nF_n, п = 0, 1, 2, ... (3)

Покажем сначала, что {х„} с: S_r> {ха), xi — xq = TqFq и, сле- довательно, || х_х — х₀ IK тц. Из (2) следует, что xi< =S_r'(x₀). Далее, F₀ F" ₀ (х_{ — х₀) — 0, поэтому

F^Fi — Fo — F'₀ (jc, -x₀) = F (ж, ) - F (лг₀) - F' (x_Q) (x_t - x₀). Пользуясь неравенством (3) п. 32.2, получаем

11^1 IK у/II xi — xo IP.

Дальнейшие рассуждения проведем методом полной математи- ческой индукции. Пусть уже доказано, что х_п s S_r' (хо) и что справедливы оценки

\\Xn-Xn-iW< mi\q^-¹-¹, (4)

II fJK^ 1\\Хп-Х_я-_Х II². (5)

Покажем, что тогда

lUn+i — *_n IK ттде²" ^-1, (о) откуда х_п е S_r' (*о), и что

||/-„₊₁1К|Л1*„₊₁-лг_п||². (7)

Действительно, из (3), (1) и (4) имеем

II *„+! - *!. II = II № IK Ш || F „ IK у ml || *„ - ||² <

< {ml (т'п)² з²" ^-2 == mr\ (у тЧг\^ q²" -² = тщ^2П~\

Формула (6) доказана. Далее, из (3) имеем

Fn + F'n {Хп+1~Х_п) = 0.

Это позволяет оценить F_n+i: F_n+i^: Fn+i — F_n — F'_n (x_n+i — x_n) =

= F (*«+i) - F (x„) - F' (x_n) (x_n+i - x_n). Следовательно, по неравенству (3) п. 32.2

II II II *„ +! -*„ IP,

и неравенство (7) тоже доказано.

Теперь установим фундаментальность { х_п }. Из неравенства треугольника и оценок (6) имеем

II Х_п + р Х_п II ^ II х_п+р Я/г + р-1 II 4" II — Х_п+р_2 II +...

п+р—1

... +||*„₊1 — *„||< тт| £ q² -К (8)

k=n

Отсюда ||х„_+р — лг„ || —> 0 при п-* оо равномерно по р, так как

оо

ряд 2 Я²*'¹ сходится. Итак, {*„} — фундаментальная, а в силу

полноты X — сходящаяся. Обозначим через х* ее предел. Вслед­ствие замкнутости S_r^r (х₀), так как {х„} cz S_r' ( х₀ ), тои/е S_r' (*о).

Докажем, что х*— решение уравнения F(x) = 0. Для этого достаточно перейти к пределу при гс-> оо в равенстве (3). По­лучаем х* — х* — Г(х*) F(x*), откуда F(x*)= 0, так как Г(х*) обратим. Переходя в оценке (8) к пределу при р -*■ оо, полу­чим следующую оценку скорости сходимости {х_л} к х*\

||х^%-х„||< тл Е q^2k~^l. (9)

Воспользуемся теперь элементарным неравенством 2^I+S > > 1 + s, справедливым для s = 0, 1, ... Полагая в (9) k = п + + s, учитывая, что <? е(0, 1), и используя формулу суммы гео­метрической прогрессии, имеем

II х- - х„ || < тц £ Я²" *'-¹ < mm²*-¹ ][У= •

s=0 s-0 ^{1 —} 1

Теорема полностью доказана.

34.3. Модифицированный метод Ньютона. Рассмотрим видо­изменение, или, как говорят, модификацию, итерационного ме­тода Ньютона:

= x_n-[F'(x₀)r^lF(x_n), « = 0, 1, 2,... (I)

Преимущество формул (1) заключается в том, что упрощаются вычисления (обратный оператор вычисляется только один раз). Недостаток формул (1), как мы увидим ниже, состоит в том, что ухудшается по сравнению с итерационным методом Ньюто­на скорость сходимости.

Теорема. Пусть в шаре Sr(xо) оператор F(x) дифферен­цируем и его производная удовлетворяет в Sr(xo) условию Лип­шица с постоянной I. Пусть F'(xо) непрерывно обратим и II [f (*о)]~М1 ^ т. Пусть, кроме того, ll/^xo) IK л- Тогда, если 2 т²1ц < 1 и

₍₂₎

то уравнение F(x) = 0 имеет единственное решение х* е S_r> (xq), к которому сходится модифицированный итерационный процесс Ньютона (1), начатый с Хо. Скорость сходимости х_п к х* дается неравенством

и. ____ < 1 — Vl — 2 т^г1г\)^п

Доказательство. Покажем сначала, что оператор Ф(х) = х— [/*" ' (лг₀) ]^—'Z⁷ (jc) отображает шар S_r^r (хо) в себя. Дей­ствительно, используя оценку для [F' (х₀) ]неравенство (3) п. 32.2, неравенство треугольника и оценку для F(xo), получаем

II Ф (х) - хо II = | [F' (х₀)Г' [F (х) - F' (хо) (х - х₀)] II <

< т || F (х) - F (хо) - F' (х₀) (* - х₀) + F (х₀) II <

< т || F (х) - F (х₀) - F' (х₀) (х - х₀) II + т || F (х₀) ||<

< -j ml || * — х₀1|² + тц < -i- mlr'² + mr) = г',

ибо г' — наименьший корень квадратного уравнения (см. фор­мулу (2))

-J- mlr'² - г' ■ + тц = 0.

Покажем теперь, что в S_r'{x₀) оператор является сжатием. Имеем следующую оценку:

IIФ' (*) II ■ = II / - \F' (хо)Г¹ F' (х)|| = J [F' (хо)]" ¹ [F' (xq) -F' (x)]fl<

< /и/1| х — Хо IK ftilr' = 1 - V1 - 2m²lx] < 1.

Итак, в Sr' (хо) выполнены условия принципа сжимающих ото­бражений, откуда и вытекают.утверждения теоремы о существо­вании и единственности решения х* в S_r (х₀) и о сходимости к нему {х_л}. Далее, < 7 = 1 — У1 — 2тЧг\, 1 — q — У1 — 2тЧх[, а IIФ (хо) - хо 11 = I [F' (хо)]" ¹ F (х₀)1 < тц.

Согласно оценке (2) п. 33.2 скорости сходимости метода последовательных приближений имеем

IU, Хо и < ^Г тп,

1 — < 7 V¹ —

и, таким образом, теорема доказана.

34.4. Пример к методу Ньютона. Рассмотрим следующую краевую задачу

— х" + f (t, х) = 0, 0 < / < 1, (1)

*(0) = ао, д: (1) = а₁. (2)

Предположим для простоты, что функция f{t, x) непрерывна вместе со своей частной производной fx(t, x) в полосе 1],

л: е(—со, +оо). Задачу (1) — (2) представим в операторном виде. Для этого введем сначала банаховы пространства X = = С²[а, Ь] и У = С[а, Ь] 4- Е². Норму в X и в У зададим фор­мулами

|] х ILr = max | л: (о I + max | х" (/) |, 10. 11 10, 1]

|| у Ну = max \h (t) | + [0, 11 ^v

где у = {h(t); ао, a, }< = У.

Пусть далее F(x) —нелинейный оператор, действующий из X в У по формуле

F (*) = {- (t) + f(t, x (0); * (0) - Оо, X (1) - a , }. (3)

Теперь задача (1) — (2) записывается в виде операторного урав­нения F{x) = 0. Далее нетрудно убедиться, что уравнение F'(x) -z = у, где F'(x) — производная Фреше оператора F в точ­ке х, представляет собой следующую линейную краевую за­дачу:

~z" + f_x{t, x{t))z = h(t), z (0) = cto, z(\) = a,. ⁽⁴⁾

Следовательно, выражение F'(x)z задается формулой

F' (х) z = {- z" (t) + f_x {t, x (/)) z (/); z (0), z (1)} (5)

Но тогда

. F' (u) z-F'(v)z = {[f_x (i >, и (/)) - f_x (t, v (/))] z (0; 0, 0} и, следовательно,

|| F' (u) - F' (v) ||= тах|*/_Л (t, и (/)) - f_x (t, v < /)) |. (6)

io, H

Перейдем к рассмотрению итерационного процесса Ньютона. Пусть мы имеем достаточно хорошее начальное приближение

*oW решения задачи (1) —(2), т. е. ||F(x₀)IK т], где т|-=достав точно мало. Согласно формуле (3) это означает, что

шах | (() + / (I, хо (/)) I + У(*о(0)-яо)² + (*о(1)-а1)²< л (7) [0. 1]

Рассмотрим в пространстве X шар S/(jt₀)', т. е. множество всех тех x(t)^X_r для которых выполняется неравенство

max | лг (0 - х₀ (t) | + max | х" (0 — 4 (t) \ < г, [о. и [о, п

и предположим, что для всех и и а из этого шара, выполняется неравенство

|hit, U(t))-f_x(t, v(t))\^l\u(t)-v(t)\. (8)

Согласно равенству (5) тем более в S_r(xo) будет выполняться условие Липшица: l|.F'(u)—Р(и)||^/||и — и||. Потребуем, на­конец, чтобы при всех j: eS_r(^o} для решений z задачи (4) вы­полнялась априорная оценка

+ (9)

Тем самым, в Sr(xo) гарантирована оценка || [^'(х)]^-1!! ^ т и выяснен смысл постоянных /, г| и т, входящих в формулировки теорем п. п. 34.2 и 34.3 о методе Ньютона.

Выпишем теперь формулы последовательных приближений. Здесь удобнее записать формулы итерационного процесса Нью­тона в виде

F' (х„) x_n+i = F' (х_п) х_п — F (х_п.), п = 1, 2, ...

Используя формулы (3) и (5), получаем последовательность линейных краевых задач

— -Си + fx (*> x_n(t))x_n+l = f_s(t, x_n(i))x_n{t)-f(t, x_n(t))

X_n+i(0) = Oo. *n+i(l) = ®i. « = 0, 1, 2,...

Заметим, что полугенная линеаризация задачи (вместо не­линейной задачи решается последовательность линейных задач) еще не решает эту задачу практически. Для' решения получив­шихся линейных задач обычно приходится прибегать к разно­стным методам или к методу Галёркина.

В заключение выпишем формулы модифицированного про­цесса Ньютона:

-< ₊1 + /„('. X₀(t))x_n+1=f_x(t, X₀(t))x_n (t) — f(t, *„(/))

^/i+i(0) = a₀, x_n+i (1) = a_b « = 0, 1, 2,...

Упражнение. Для краевой задачи примем xo'(t) = 0. Найдите модифицированным итерационным процессом Ньютона xi(t) и x₂(t).

Пусть в этой же задаче xq {t) = t. Найдите x{(t)^y.

Принцип Шаудера

В этом параграфе мы остановимся еще на одном принципе неподвижной точки, принадлежащем Ю. Шаудеру. Наряду с принципом сжимающих отображений и с итерационным мето- дом Ньютона принцип Шаудера является одним из основных методов доказательства теорем существования решений нели­нейных уравнений.

35.1. Теорема Броуэра о неподвижной точке. Начнем со сле­дующего элементарного примера. Пусть f(x)—непрерывная на [0, 1] функция, отображающая [0, 1] в себя, т. е. для всех х е е[0, 1] 1. Покажем, что в этом случае существует

на [0, 1] неподвижная точка х₀ отображения т. е. f(xо) = Хо. Действительно, рассмотрим на [0, 1] функцию < р(х) = х — f(x). Имеем < р(0) = — /(0)^0, ф (1) = 1 — f (1) 2> 0. Если f(0) — 0 или /(1)= 1, то неподвижной точкой f будет соответственно точка л^- = 0 или jc = 1. Если же /(0)> 0и /(1)< 1, то ф(0)< 0, ф(1)> 0, и мы можем воспользоваться теоремой о промежу­точных значениях (см. [18]), согласно которой найдется точка £ е(0, 1), в которой ф(Е) = 0, т. е. /(£ )=£. Итак, существо­вание неподвижной точки отображения f в рассмотренном слу­чае доказано.

Упражнение 1. Покажите, что функция Дх) = 2jc(I—х) отображает [0, 1] в себя. Найдите ее неподвижные точки на [0, 1].

Оказывается, рассмотренный пример можно обобщить на л-мерный случай.

JI. Броуэр доказал следующую теорему о неподвижной точке.

Теорема 1 (Броуэр). Пусть оператор А отображает еди­ничный шар S={x^Eⁿ: 1} n-мерного евклидова про­странства Е^п в себя. Тогда в S найдется неподвижная точка оператора А.

Доказательство этой теоремы Броуэра обычно использует тонкие топологические соображения (см. [21], [12]), однако в [8] (см. стр. 505—508) приведено ее доказательство, осно­ванное на методах математического анализа в Е^п. Все извест­ные нам доказательства теоремы Броуэра довольно сложны, и останавливаться здесь на них мы не будем. Нам понадобится небольшое усиление теоремы Броуэра. Введем сначала несколь­ко понятий выпуклого анализа (см. п. 1.7).

Определение 1. Пусть в банаховом пространстве X за­дано множество М из конечного числа элементов

М = {х₍< =Х: г = 1, я}. (1)

п

Множество всевозможных линейных комбинаций £ А< л: _г, где

i-l

л

Бее и = называется выпуклой оболочкой мно-

i~l

жества М и обозначается Со (М).

Упражнение 2. Докажите, что множество Со(М), где А1 задается формулой (1), выпукло и замкнуто.

Упражнение 3. Докажите, что если в (1) е D, i = = 1, ..., л, где множество D выпуклое, то Со(М)а D.

Определение 2. Выпуклым телом в банаховом простран­стве X называется выпуклое замкнутое множество, имеющее хоть одну внутреннюю точку.

Упражнение 4. Покажите, что для множества М = = {0, х_ь х„}, где элементы xi, х„ образуют базис ба­нахова пространства X, множество Со(тИ) является выпуклым телом в X.

п

Указание. Проверьте, что точка х = -^ является

внутренней точкой множества Со(М).

В заключение приведем усиленный вариант теоремы Броуэ- ра (доказательство см. [11], стр. 573).

Теорема 2 (Броуэр). Пусть Q — выпуклое ограниченное тело n-мерного банахова пространства X. Тогда всякий непре­рывный оператор А, отображающий множество Q в себя, имеет в Q неподвижную точку.

35.2. Нелинейные вполне непрерывные операторы и их ап­проксимации. В § 20 мы изучали линейные вполне непрерыв­ные операторы. В этом пункте будут приведены необходимые сведения о нелинейных вполне непрерывных операторах.

Определение. Нелинейный оператор А с областью опре­деления D(A)czX и с областью значений в У (X и Y — бана­ховы пространства) называется вполне непрерывным (на D(A)), если он непрерывен на D(A) и переводит каждое огра­ниченное множество, лежащее в Ь(Л), в компактное в У мно­жество.

Упражнение I. Покажите, что любой непрерывный опе­ратор Л: X —> У, где X и У — конечномерные банаховы про­странства, является вполне непрерывным.

Упражнение 2. Пусть X, У, Z — банаховы пространства. Пусть оператор F: Х-*- У ограниченный и непрерывный, а Л: У -> Z— линейный вполне непрерывный оператор (Л е Gfl(y, Z)). Докажите, что оператор AF — вполне непрерывный.

Введем операторы Шаудера (нелинейные проекторы), ап­проксимирующие нелинейный вполне непрерывный оператор Л. Пусть оператор Л непрерывен на ограниченном множестве

D а X и множество A(D)aY компактно. По критерию Хаус- дорфа (см. п. 19.3) для каждого е> 0 существует множество

M_z = {y_t е A (D), i= 1, .... п),

являющееся конечной е-сетью множества A(D) — замыкания множества A(D). Рассмотрим оператор А_г, отображающий D в У и определяемый следующим правилом: для х е D

п

2 f¹! (*) У,

А_е(х) = —«-----------. (О

Z ^ < *)

г=1

где p_t(x) = 0, если \\Ах — у, \\ > е, и р, (х) = в — \\Ах — у, \\, если ЦАх — уЛ^е. Оператор А_г часто называют е-проектором Шау­дера.

Упражнение 3. Докажите, что оператор А_г непрерывен на D. Воспользуйтесь непрерывностью нормы.

Отметим теперь некоторые свойства оператора А_е. Свойство 1. || А (х) — А_е (х) е для всех х е D, т. е. опе­ратор А_е аппроксимирует оператор Л на Л с точностью е. Действительно,

п п п

2 ц, (х) А (х) £ Ц_г (х) y_t Yj ^г М 1^А (*) - У А А[х)-АЛх) = ^-_п = •

£ (*) £ 1Ч (^х) Z ^г М

i =1 i-l

Отсюда вытекает, что

|| Л (а) - А, (*) к ------------,

i=-i

где суммирование в числителе и знаменателе ведется только по тем индексам i, для которых ||Лх — уМ<. е, ибо если НДх — — уЛ ^ е, то fit(x) = 0. Следовательно,

п

Е (*) е

||Л(х)-Л_е(*)||< -Ц; --------------- = 8.

ЁМ*>

г = 1

Тем самым свойство 1 доказано.

Замечание. При построении s-проектора Л_е можно вме­сто конечной е-сети множества A(D) взять конечную e-сеть лю­бого компактного множества, содержащего A{D).

Упражнение 4. Покажите, что вполне непрерывный опе­ратор A: Dc.X-+Y (X и Y—банаховы пространства) можно аппроксимировать е-проекторами на любом ограниченном мно­жестве D\ cz D.

В заключение пункта сформулируем еще одно свойство е- проектора Шаудера А_е, доказать которое мы предлагаем чита­телю.

Свойство 2. Область значений оператора А_г содержится в Co(Mg), где М_е — конечная е-сеть множества A{D).

35.3. Принцип неподвижной точки Шаудера. С помощью теоремы Броуэра можно доказывать различные теоремы о не­подвижных точках нелинейных операторов в бесконечномерных банаховых пространствах. В этом пункте будет доказан прин­цип неподвижной точки Шаудера.

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I. Когда все это закончится?
2. I. Руководство к совершению Всенощного бдения.
3. Iron-CLUB.ru – Всё о бодибилдинге
4. MS Word. К объединениям ячеек в таблице относится все ниже перечисленное,
5. NFMC-30 -инновационный коктейль оказывает комплексное интенсивное воздействие на все аспекты старения, запускает ряд биохимических реакций, восстанавливающих кожу.
6. VI. ВСЕРОССИЙСКИЙ ПАТРИАРХ ТИХОН И ЕГО ВРЕМЯ
7. Абсолютно неверно; 2 – едва ли это верно; 3 – скорее всего верно; 4 – совершенно верно»
8. Авраам встал рано утром, оседлал осла своего, взял с собою двоих из отроков своих и Исаака, сына своего; наколол дров для всесожжения, и встав пошел на место, о котором сказал ему Бог. (Быт. 22:3).
9. Американский пирог: Все в сборе
10. Базовые утверждения теории транзактного анализа
11. Без этого справочника обойтись невозможно: все позиции, включаемые в товарно-сопроводительные документы, акты о выполнении работ и т.п. в обязательном порядке должны быть в него внесены.
12. Бесполезность всех остальных способов приближения к Аллаху