Теоремы о неявных операторах

36.1. Неявные операторы. Пусть X, У и Л — банаховы про­странства. Рассмотрим оператор F: ^4-Л-> У (X 4-Л — пря­мая сумма банаховых пространств X и Л, см. п. 15.1). Уравне­ние

F(x, X) = 0, (1)

где х е X, X е Л, может определять операторы

х = х{Х) (2)

— решения уравнения (1). (Оператор х(Х) с областью опреде­ления 91 с Л называется решением уравнения (1), если F(x(X), X)= 0 для всех X < = К.)

Каждое решение уравнения вида (2) называется неявным оператором (или неявной функцией), определяемым уравне­нием (1).

Уравнение вида (1) может не иметь решений ни для каких Я, может иметь единственное решение и, наконец, может иметь более одного решения. Рассмотрим несколько простейших при­меров. Ограничимся простейшим случаем X = У = Л = ЕК

Пример 1. Уравнение х² + X² = —1 не определяет ни од­ной неявной функции.

Пример 2. Уравнение х² + X² = 0 определяет единствен­ную неявную функцию х = 0, определенную только при X = 0.

Пример 3. Уравнение х — X² = 0 определяет единствен­ную неявную функцию х = X², определенную для всех X е ЕК

Пример 4. Уравнение х² + X² = 1 определяет две непре­рывные функции x=yi— X² и x = — sJ\—X², определенные на [-1, 1].

Приведенные примеры показывают, что задача о неявных функциях оказывается достаточно сложной даже в простейшем случае X = У = Л = ЕК Поэтому обычно ограничиваются со­ответствующей локальной задачей. Напомним известную в ма­тематическом анализе теорему о неявной функции (см. [18]).

Теорема. Пусть функция F(x, X) непрерывна в некоторой окрестности точки (яо, Яо) и имеет в этой окрестности частную производную F_x(x, X)\ которая непрерывна в точке (х₀, Я₀)\ Тогда, если

F (х₀, Я₀) = О, F_x (х_а, Я₀) ф О,

то найдутся числа р > О и г > О такие, что для каждого X е _Р(Я₀) существует, и притом единственное, решение х = = x(X)^Sr(xс) уравнения F(х, X) = О, причем х(Х) непрерывно на Sр(?.₀). Если, кроме того, F имеет непрерывную в точке (а'оДо) частную производную F\(x, X), то решение х(Х) диф­ференцируемо в точке Хо, причем

//, X Fx (х₃, Х₀)

^Х F_x(x_a, X_a) ■

Эта теорема решает локальную задачу о неявной функции, т.е. задачу разыскания неявной функции х(Х) вблизи точки (.to, Яо), значения которой лежат вблизи xq и которая опреде­лена вблизи Хо.

Упражнение. Пусть F (х, Я) == х¹ + Я² — 1, +

Xj Ф 0. Покажите, что г = | х₀1, р = min (| 1 -f- Х₀1, | 1 — Х₀ \).

Сформулированная нами теорема допускает перенесение в банаховы пространства. Мы докажем сначала ее варианты, при­годные для педнфференцнруемых операторов, затем как след­ствие получим стандартную теорему о неявных операторах, на­конец, при некоторых дополнительных ограничениях будут по­лучены оценки снизу чисел риг. Мы рассмотрим также позд­нее н аналитический случай. Будут приведены также примеры применения теорем о неявных операторах.

3G.2. Теорема о неявных операторах без предположения о дифференцируемое™ оператора F. Рассмотрим уравнение (1) п. 36.1 и предположим, что оператор F(x, X) определен на мно­жестве Q (х₀, Xq) = [х е X, 1еЛ: \\х — х₀|1 < R, ||Я — Я₀||< А: }. Очевидно, Q (л'о, Х₀) cz X 4- А.

Теорема. Пусть существует непрерывно обратимый опе­ратор А^2(Х, У) такой, что для любых x< ^Sr(x₀), Яе е 6" р(Я₀), где г < С R, р < k, выполняется неравенство

\\F(x, X) — F (у, X)-A(x-y)\\^c(r, р)\\х-у\\, (1)

при чем

lim с (г, р) < J А~^х Г'. (2)

Г, р-»0

Пусть, далее, F(x₀, Xo) = 0 и F(xо, Я) непрерывен в точке Яо. 7 огда существуют числа г' е(0, г), р' е (0, р) такие, что для каждого J, е S_p- (А₀) уравнение F(я, Я) = 0 имеет в шаре S_r'(jc₀) единственное решение х(Я), причем х(Я₀)=*0 « непре­

рывно в точке Хо.

Доказательство. Уравнение F(x, Я)=0 заменим урав­нением

* = Ф(дс, Я), (3)

где Ф(х, А) = л: — A~^xF(x, k), и покажем, что при достаточно малых г' и р' к нему можно применить принцип сжимающихся отображений. Имеем оценку (см. (1))

|| Ф(*. А)-Ф {у, А) || = || x-y-A~^l[F(x, к) — F (у, А)]||<

< M-4l|f (х, к) — F (у, А)-Л(х-у)||< ||Л-Чк(г, p)\\x-yl

Воспользуемся условием (2) и найдем числа pe(0, fe) и г е (О, R) такие, что для любых р е (0, р] и любых г е (0, г]

Цл-'Мг, р)< ^< 1

(< 7 не зависит от г и р, но зависит, конечно, от г и р). Тогда ||Ф(л;, А) — Ф{у, к) ||^ q\\x — у\\ для любых х, < /е S_? (*₀), А < = е Sp (Ао).

Итак, в шаре, Sf{x_Q) оператор Ф является сжатием при вся­ком J, eSp(l₀). Покажем теперь, что за счет уменьшения р можно добиться, чтобы Ф отображал шар Sf(x₀) в себя. Дей­ствительно,

||Ф(*о, к)-х₀\\ = 1 A~^[F(x₀, к)I^M-'IllFfa,, А)II-

Поскольку F (хо, к) непрерывен при к = А₀ и, значит, F (Хо, А) —> -*F( Xq , А₀) = 0, когда А-^А^, то найдется число р' е (0, р] такое, что для любых А е S_P< JA₀) || А" ¹1 F {х₀. А) ||< (1 — q) г. Следовательно, Ф переводит Sf(xо) в себя и является в нем сжатием при каждом А е S_P' (к₀). Осталось взять г' = г. Далее, очевидно, что если А = А₀, то решением будет Хо и только оно. Наконец, имеем оценку

|| х (к) — Jfo II = IIФ (х W, А)-*о1К

< ||Ф(*(А), А) — Ф {хо, к) || + || Ф {хо, А)-дс₀1К

< 7II * (А) — Хо || + 1 Л^-111| F (*о. Я, ) || для всех A < = (Ао). Следовательно,

\\_x(k)-Xo\\< ^^A~^lUF{Xa'-^m

1 -q

откуда х(А)-> *о при А-> А₀. Теорема доказана.

Следствие. Если в условиях теоремы F(x, k) непрерывен по к при каждом фиксированном х при (х, А)е й(*о> Ао) или F (x, k) непрерывен в £ 2(х₀, Ао) как функция двух переменных, то неявный оператор х(к) непрерывен на S_p- (Ао). Доказательство вытекает из следующей оценки:

II х (к, ) - х (к₂) || = || Ф (* (А, ), А, ) - Ф (х (А₂), А₂) || < < IIФ (*(*, ), АО — Ф (дс (А₂), Aj) || + || Ф ( х (А₂), Ai) — Ф(х (А₂), А₂)||<

< q II * - л: (А₂) || +1 Л" ¹1IIF (х (Aj), АО — F (х (к₂), к₂) ||.

Отсюда, если %2 е 5_Р- (Хо) фиксировано, а Я] -> Х₂, то х^)—> —> х(Я₂), т. е. функция х(Я) непрерывна.

36.3. Стандартная теорема о неявных операторах. Из теоре­мы п. 36.2 как следствие мы можем получить обычную теорему о неявных операторах — прямое обобщение теоремы п. 36.1.

Теорема. Пусть оператор F (x , X) непрерывен на множе­стве Q(x₀, Я₀) = {(х, Я)е Х + А, \\х — х₀|| < R, ||Я —Я₀||< /е} и имеет на Q(лг₀, Яо) частную производную F _x(x , X), непрерывную в точке (х₀, Х₀) . Пусть, далее, F (x₀, Я₀)=0, а оператор F _x (xq, Xq) непрерывно обратим. Тогда найдутся числа р > 0 и г > 0, та­кие, что для каждого Яе5_р(Яо) уравнение F (x , X) = 0 имеет в шаре единственное решение х = х(Я). При этом х(Я)

непрерывна в 5_Р(Я₀) и х(Яо) = Хо. Если, кроме того, F (x , X) имеет на £ 2(хо, Яо) частную производную F \(x, Я), непрерывную в точке (хо, Яо), то неявная функция х = х(Я) дифференци­руема в точке Яо, причем

х' (Я₀) = - Fx^]' (хо, Яо) (хо, Яо). (1)

Доказательство. В качестве оператора А, фигурирую­щего в теореме п. 36.2 возьмем

А = F х^Х (хо, Я₀).

Согласно формуле (1) имеем

II X) — F (у, Я) — F_x (х₀, Х₀)(х-у) ||= • 1

\ {F* (У + Ъ{х~ У), Я) - F_x (х₀, Яо)} (х - у)

<

о

I

Ji

IF_Х(У + 0 (х - у), X) - F_x (х₀, Я₀) || dQ || х - у || < с (г, р) || х - у ||,

о

если только х, у^5_г(хо), Яе5_р(Яо)' (г < R, р < k), где с (г, р) = sup || F_x (z, X) — F_x (x₀, Я₀) ||.

z*S_r (*„ ), leS_p (X₀)

При этом с (г, р)-> 0 при г, р-)-0 вследствие непрерывности F_x в точке (хо, Яо), и, следовательно, выполнены неравенства (1) и (2) п. 36.2. Далее, F(x, Я) непрерывен в точке Яо и все усло­вия теоремы п. 36.2 выполнены. Из этой теоремы и из след­ствия к ней мы получаем (локальные) существование и един­ственность неявной функции х(Я), а также ее непрерывность.

Пусть теперь существует F\(x, X), непрерывная в точке (хо, Яо). Докажем дифференцируемость неявного оператора х(Х) и формулу (1) для его производной. Положим

xi = xi (Я) = хо — Fx¹ (хо, Яо) Fx (х₀, Хо) (Я — Я₀). (2)

Воспользуемся тем, что частные производные Fx и F\ непре­рывны в точке (х₀, Яо) и, значит, оператор F дифференцируем в этой точке. Это означает, в частности, что

F (х_ь Я) = F (jc₀, Я₀) -f F_x (х₀, Я_э) (*! — х₀) +

+ /4(*o, Я₀)(Я-Я₀) + W (х„ Я),

где ||^(Х|Д)|| =0(11*! — Ло11 + ||Я —Я₀||) при х , -*~х₀, Я-> -Я₀. Учитывая формулу (2) для xi и равенство /•'(хоДо) = 0, полу­чим F(xi(X), X) = ^x¥ (x_l(X), X),

|] F (x, (X), X) I! = о (I FJ¹ (*o, Я_э) F_k (хо, Хо) (X - Я₀) j + || X - Я₀II), т. e.

WFix^X), X)\\ = o(\\X-X₀\\) при X-+X₀. (3)

Далее, имеем оценку (х = х(Я)—неявная функция)

II * - X! и=IU - - F; ¹ (xoM) F (X, x) 1 <

< I F: ^{ (x₀, Яо) (I || F (x, X) - F_x (x₀₎ Х_й) (x - x.) || < < \\р; ¹(х_й, Яо)^ (xi, Я)|| + + II F7^l (хо, Яо) IIIIF (x, X) — F (Хь Я) - F_x (x„, Я₀) (x - _Xl) II. (4) По формуле конечных приращений

|| F (х, Я) — F (х_ь Я) — F_x (х₀, Я₀) (х — Xi) || = 1

J [F_x (*1 + 0 (* - *i), *) - F_x (хо, Я₀)] т (х - х, )

о

I

< 5 II F_x (х, + 9 (х -х, ), Я) - F_x (х₀, Яо) || dQ || х -х, || < с (г, р) || х -х, ||.

о

Если ig5, (i₀), Яе5_р(Я₀), то с (г, p)=q< _\ (см. доказа­тельство теоремы п. 36.2), но тогда из формул (3) и (4) имеем

||х(Я) — х[ (Я)|| = о(||Я — Я₀1|) при Я-*Я₀.

Иначе эта формула записывается так (при Я-> Яо):

х (Я) - хо = - F; ¹ (хо, Яо) F_K ( х ₀, к₀) (к - Яо) + о (II к - к₀1|),

и означает дифференцируемость х(Я) в точке Яо и справедли­вость формулы (1).

Теорема полностью доказана.

36.4. Теорема о неявном операторе в условиях повышенной гладкости оператора F. Недостатком теорем о неявном опера­торе, приведенных выше, является отсутствие оценок снизу чи­сел г и р. Первое из_этих чисел, г, характеризует область в про­странстве X (шар S, (k₀)), в которой неявная функция суще­ствует и единственна. Число р дает важную информацию об

области определения D(x) неявной функции х(Я); утверждает­ся, что S_p(X₀)cz D(x). При пракгическом решении уравнения F(x, k) = 0 с параметром Я важно бывает найти х(Я) на воз­можно более широкой области определения или хотя бы оце­нить ее характеристику р снизу. В следующей теореме дается один из возможных путей получения таких оценок.

Теорема. Пусть в условиях теоремы п. 36.3 имеют место следующие оценки:

1) \\F^(x₀, Я₀)||< т;

2) \\F_x(x, k)-F_x(x₀, k₀)\\ ^ с [И* — х₀|| + 1! Я-Я₀[| для лю­бых (х, k) Яо);

3) \\F(х₀Д)1К k\\k — Я₀|| для любых k^Sk(k₀)', где m, с и к — некоторые постоянные, зависящие только от области Q(x₀, Яо) и оператора F.

В этих условиях при каждом Я ^ 5_р(Яо), где

р = min (k, — ., i---------------- .—\,

V. mc W\+km + ■ \fktnY)

e шаре S_r (x₀), где

. (l Vkm \

/■ = min! A:, -------- , -------------- 1= I.

\ mc у km + 1 + у km J

существует единственное решение x = x(k) уравнения F(x, k) = = О, непрерывное в S_P(k_Q), и х(Я₀) = хо. Решение х(Я) можно получить процессом последовательных приближений

x_n+i(Я) = Хп (Я) - F7¹ (хо, ко) F (Хп (к), к), п = 0, 1, 2, ...

'(т.е. модифицированным итерационным процессом Ньютона). Справедлива следующая оценка скорости сходимости х„(Я) к x(k):

_{\_Xn(X)-x(k)\\^₁^jmkp, (1)

где можно принять

_ Vl +mk ^ Vl + rnk + л[тк '

Доказательство. Пусть сначала числа Rnk, харак­теризующие Щх₀, Я₀), достаточно велики. Положим Ф(х, Я) = = х — Fx¹ (хо, Яо) F (х, Я) и вычислим частную производную Ф по х:

Ф* (х, к) = I - FJ¹ (хо, к о) F_x (х, к) =

= Fx¹ (хо, Я₀) [F_x (хо, Я₀) — F_x (х, Я)].

С помощью условий 1) и 2) нашей теоремы при ||х — XolK се, IIЯ — Я₀|К Р имеем

1|Ф*(*. Я)1Ктс(||х-хо1Ж|Я-Яо11)< тс(а + р).

Далее,

IIФ(*о, Я) - хоII = IF7¹ (хо , UF(хо, X) 1 < mk|| X -Х₀\\< тк&.

Фиксируем 1) и покажем, что аир можно подобрать

так, чтобы тс(а + р)= < 7, т6р=(1 — q)a. Тогда при каждом XeSp(Xo) в шаре 5_а(хо) уравнение х = Ф(х), согласно прин­ципу сжимающих отображений, будет иметь единственное ре­шение.

Решая полученную систему линейных уравнений относитель­но а и р, находим

_{a =} J------- р = —- - Jilzi2L_. (₂)

тс mk + 1 — q ^r тс mk + 1 — q

Таким образом, аир являются функциями параметра q е е[0, 1]. При q = 0 и при < 7=1 Р = О, а если 0<? < 1, то Р > 0. Следовательно, р достигает максимума в некоторой точ­ке < 7»е(0, 1). Это позволяет распорядиться параметром q та­ким образом, чтобы р было наибольшим. Этим путем мы полу­чим неявную функцию определенную в шаре наибольшего радиуса р.

Предоставляем читателю показать, что при

— -у/1 +mk Vl + mk -f Vmk

имеем

P, = P (< /.)= max p = — 77=-—_г' /-r-g-'

< 7e< u, 1) mc + У mk J

, I Vmk

r, = a(q.) =-- j., , .-==r.

тс V1 + rrik + у ink

Итак, если to в шаре S_rt(xo) существует един­

ственная неявная функция дс(Я), если только л, < R, а р* < k. При этом справедлива оценка скорости сходимости (1).

Пусть теперь одно или оба неравенства г„ < _ R, р. < k нарушаются. Заметим, что на (0, q») функции a(q) и Р(^) (см. формулы (2)) строго возрастают. Отсюда следует существова­ние единственного числа qo е (0, q_t) такого, что

a (q₀) < R, Р Ы < /г,

и хоть одно из этих неравенств является равенством. Из из­ложенного выше ясно, что теперь при Л е Sp _((J. (А₀) в шаре Sa(< h, )(xo) существует и единственна неявная функция. Оценка сходимости последовательных приближений теперь имеет вид

IIJCuW-JtWlK-i^/nftp Ы.

Эта оценка лучше указанной в теореме, но мажорируется по-

г

)__

< 7о

Ч

-r-ZT— ^и Р(< 7*)- Теорема доказана.

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Теоремы о неотрицательных линейных функционалах.
2. ТЕОРЕМЫ О НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧКАХ НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
3. ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ. КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ
4. Тогда справедливы все утверждения теоремы 1.