Теорема о неявном операторе в аналитическом случае.

Приводимая ниже теорема находит самые разнообразные при­ложения в нелинейных уравнениях с малым параметром. В ходе ее доказательства будет развит метод малого параметра в не­линейном случае (см. § 13). Дальнейшее развитие этот подход найдет в § 37, в котором мы рассмотрим явление ветвления решений нелинейных уравнений.

Теорема. Пусть F(x, k)— аналитический оператор в точке (*оДо), причем F(дсоДо) = 0, а оператор F_x{xГоДо) непрерывно обратим. Тогда уравнение F(x, k) = 0 определяет в некоторой окрестности точки (л: ₀, ко) единственную неявную функцию х = х{к), причем я(Ао) = л: о и ж (А) аполитична в точке ко-

Доказательство. Воспользуемся аналитичностью опе­ратора F(x, k) и, пользуясь разложением (6) п. 32.5, предста­вим F(x, k) в следующем виде:

F(х, к) = £ Fu^g'. (О

i+l> 1

где h = x — хо, g = k — к₀.

Пусть г_и и ри — совместные радиусы сходимости двойного степенного ряда (1) (см. п. 32.5). Фиксируем числа re (0, г_и) и ре(0, р„), тогда сходится следующий числовой ряд:

£ II F_it || т-у. (2)

i+l> 1

Воспользуемся теперь непрерывной обратимостью опера­тора F\₀ = Fx{x₀, ко) и заменим уравнение /^? (лгД)=0 следую­щим эквивалентным ему уравнением:

h = R_0ig+ I Rah'g', (3)

i+i> 2

где R₀\ = — (Fю)^-1 Foi, = — (/" " ю)^-' F_it. Из сходимости чис­лового ряда (2) вытекает сходимость числового ряда

£ над^у, (4)

1 + 1> 2

ибо ||/? < /||^|| (^ю)^-1!!!! /⁷»;!!. а следовательно, сходимость при IIЛ11^ г, llgll^p двойного степенного ряда, стоящего в правой части уравнения (3).

Решение уравнения (3) будем искать в виде степенного ряда

< 7о следней, так как ----------- и $(qQ) мажорируются соответственно 1 — Q о

оо ft=l

Подставим ряд (5) в уравнение (3). Приравняв степенные операторы одинаковых порядков по h (мы пользуемся здесь единственностью разложения оператора в степенной ряд), мы придем к следующей рекуррентной системе для определения членов ряда (5):

Q> ig = Roig,

ф2g² = R20 №ig)² + 2Rn (ф, g) g + Rmg\

Фзg³ = 2^20 (Ф₂& ²) + 2R_n (Ф₂g²) g + Rso (®ig³) +

+ 3R_2l (Ф, ^)² g + 3R₁₃ (Ф_1в) g² + Rozg³, ⁽ '

Фkg^k = Pkig, .... Фл-iff*" ¹),

Явный вид операторов Pk мы здесь не выписываем (см. [2], стр. 352).

Первое уравнение этой системы уже определяет (frig. Под­ставляя это значение во второе уравнение, находим Фг£ ², за­тем, подставляя найденные значения ©tg и Фг£ ² в третье урав­нение, находим Ф₃£ ³ и т. д. Продолжая эти вычисления, нахо­дим все коэффициенты ряда (5). Осталось доказать, что полу­ченный ряд (5) действительно имеет ненулевой радиус сходи­мости, и тогда приведенные выше рассуждения законны. Кроме того, это будет означать аналитичность найденной неявной функции, и доказательство теоремы будет, тем самым, завер­шено.

Сходимость ряда (5) докажем при помощи мажорантного метода Коши — Гурса. Поскольку числовой ряд (4) сходится, то его общий член стремится к нулю и, значит, ограничен. По­этому существует число М > 0 такое, что

11*1/11 < -тт- (7)

л р

Но тогда ряд, стоящий в правой части уравнения (3), мажори­руется (оценивается по норме) следующей функцией (крат­ной прогрессией):

где | = || /г [|, П = И ^ II-

(8) 427

Рассмотрим числовое уравнение

= r(t, Л),
которое легко преобразуется к виду

+ + 1 --J-)" ' =0.

Нетрудно показать, что последнее уравнение имеет един­ственный корень | = E(^Tl). удовлетворяющий условию g(0) = 0:

где (9)

^{а =} р(ттБг)²-

Решение | = £ (т]) является аналитической в точке т] = 0 функ­цией при |т]|< а, так как а < р, и, значит, представимо схо­дящимся при этих значениях q рядом

оо

£ =£ фл\ (10)

к-1

где коэффициенты ф|, ф₂, ... удовлетворяют рекуррентной си­стеме уравнений, получающейся подстановкой ряда (10) в уравнение (8) и приравниванием коэффициентов при одинако­вых степенях rj. Эта система имеет вид

Л/

At о I г> At, Л! /1 i\

Ф, == — «РГ + ² ТГ ^ф' ⁺ " р^' ^(П)

о А1, „ М. М, . ₀ М, , „ Л1. М

ф J = 2 -рг ф, ф₂ + 2 — ф₂ + — ф \ + 3 ф+ 3 Ф, + -г.

Используя оценки (7), методом полной математической ин­дукции можно показать, что правые части системы (11) мажо­рируют правые часги системы (6), откуда вытекает, что ряд (5) мажорируется рядом (10). Следовательно, ряд (5) сходит­ся при |! gj|< а, т. е. представляет собою аналитический опера­тор. Теорема доказана.

Заметим, что в ходе доказательства мы получили (см. фор­мулу (9)) оценку снизу для радиуса сходимости ряда (5), пред­ставляющего неявный оператор.

36.6. Примеры к теоремам о неявных операторах. Теоремы о неявных операторах находят полезные приложения в нели­нейных задачах с параметром. В ряде случаев удается не толь­ко доказать локальные существование и единственность неяв­ного оператора, но и дать для него приближенное выражение.

Пример 1. Рассмотрим уравнение (см. п. 36.2)

/(*, *) = 0 (О

с вещественными переменными х и X. Пусть функция /(хД) определена в прямоугольнике

Q (jc_0t Х₀) = {х е= X «= £ ': | * - х₀ I < R, \Х-Х₀\< k},

причем f(xоДо)== 0, a f(x₀, X) непрерывна в точке Предполо­жим, что существуют числа т и М, 0 < т < М, такие, что для всех (хД) < = Й (х₀До), (уД)е й(х₀Д₀), выполняется не­

равенство

/ и. м-м^. я) _{< AL {2)}

" х - {/

Покажем, что в этих предположениях уравнение (1) имеет в достаточно малой окрестности точки (хо, Хо) единственное ре­шение х = х(Х), непрерывное в Хо, причем х(А₀) = х₀-Для этого, согласно теореме п, 36.2, достаточно доказать существование чисел а > 0, д< =(0, 1), для которых в й(х₀Д₀) выполняется неравенство

\f{x, X) — f {у, X)-a{x-ij)\^q\a\\x-y\, (3)

т. е. неравенство (1) п. 36.2 с с (г, р) = <? |а|. Из неравенства (2) для любого а имеем

^ j(x, X) - My, > ) -, _f

т — а < —------ а%.Л1 — а.

х-у ^

„. т + М Выбрав здесь а — —^ > получим

M — m^-i (х, X) — / (у, X) ^ М — от л — у 2

Следовательно, неравенство (3) выполняется при

m + Л1 Л) — т

Аналогично можно рассмотреть случай, когда в Й(х₀ДоУ

* — г/ ^

Впрочем, этот случай сводится к предыдущему заменой f на

Упражнение 1. Покажите, что уравнение! х 14- 2х + х² = А

определяет в окрестности точку (0, 0) единственную непрерыв­ную неявную функцию. Проверьте выполнение неравенства (2). Упражнение 2. Покажите, что уравнение

| х | + х² = Я

определяет при X > 0 две неявные функции, удовлетворяющие условию х(0)= 0, а при X < 0 не определяет ни одной неявной функции, удовлетворяющей этому же условию. Покажите, что в данном случае условие (2) не выполняется.

Упражнение 3. Пусть функции г|з(х, Я) и ф(х, Я) опреде­лены в £ 2(х₀До), причем ф(х₀До) + |ф(х₀До) | = О, а функция ф(х₀Д) + | (х₀ Д) | непрерывна в точке Я₀. Пусть, далее, Ф*(хД) и ^(хД) непрерывны в точке (х₀Д₀). Докажите, что если М], где m = ф* (х₀Д₀) — | ф* (х₀До) |, М. =

== ф* (-to, Я₀) + | г|)х(хо, Яо) |, то уравнение (1) с / = Ф + | ф 1 опре­деляет в окрестности точки (х₀, Яо) единственную неявную функцию х = х(Я), непрерывную в точке Яо, причем х(Яо)=х₀. = ф_х(х₀Д₀)+ |г|Зх(х₀До) |. то уравнение (1) с f = ф + | \|з | опре- нести и на случай функций нескольких переменных. Ниже мы проиллюстрируем примерами теоремы о неявных операторах.

Пример 2. Пусть в уравнении (1) функция f непрерывна г, ЩхоДо) и непрерывно дифференцируема по х в £ 2(хоДо). Согласно теореме п. 36.3 уравнение (1) определяет локальную неявную функцию х = х(Я). Если, кроме того, существуют по­ложительные постоянные т, с, k такие, что

1) ЫхоЯо) т\

2) f_x(x, \)— fx(x₀, k₀) К с(|х — х₀| + |Я — Я₀|) при (хД)< = < = Q (х₀, Я₀);

3) |/(х₀Д)|< £ |Я — Я₀| при Я s 5ft (Ло),

то применима теорема п. 36.4, дающая оценки области опреде­ления х(Я) и области ее значений, а также скорости сходимости последовательных приближений. Если, наконец, функция f ана- литична в точке (х₀, Я₀), то по теореме п. 36.5 аналитична в Я₀ локальная неявная функция х(Я). При этом иногда оценки могут быть улучшены.

Пример 3. Рассмотрим нелинейное интегральное уравне­ние с вещественным параметром Я

ь

F (х, Я) ав х (0 - J К (t, s; х (s), Я) ds = 0. (4)

а

Относительно функции K(t, s; хД) предположим, что она яв­ляется непрерывной функцией относительно совокупности своих переменных t, se[a, i], —оо < х < + оо, |Я — Яо|< р, при­чем пусть ее частная производной по х равномерно непрерывна для этих же значений переменных. Пусть, далее, при Я = Яо уравнение (4) имеет непрерывное решение Xo(t). Введем линей­ный интегральный оператор (см. пример 3 п. 32.1)

ь

f_x (Хо, Я₀) 2 = 2 (о — ^ К_х (/, s; Хо (s), Яо) 2 (s) ds. (5)

а

Считая, что X = Y=C[a, b], можно показать, что условия теоремы 2 выполнены, если оператор (5) непрерывно обратим, что мы предположим далее. Следовательно, уравнение (1) определяет (локально) единственное решение x = x{t-, X), < = е [а, Ь\, причем на [a, b] x(t\ Х₀) = xo(t).

Если известно, что функция К аналитична относительно пе­ременных х и X, то *(/; Х) является при X = Хо аналитической функцией X, т. е. может быть найдена методом малого пара­метра в виде ряда

оо

*(/, к) — Y x_k (t) (X — X₀)^fe, fc = 0

сходящегося равномерно на [a, b\ с ненулевым'радиусом схо­димости.

Упражнение 4. Покажите, что интегральное уравнение

л

* (0 — 5 sin / [(sin s) х (s) + x² (s)] ds = 0 (6)

имеет при X = X₀ = 1 решение x₀(t)= sin t. Найдите непрерыв­ное no (f, X) решение уравнения (6) х(/; Х) такое, что x(t\ 1) = = sin t.

Упражнение 5. Из (6) следует, что

л

X f

x(t) = — c sin /, где с = \ [х (s) sin s + х¹ (s)]ds-

о

Пользуясь этим, найдите все неявные функции, определяемые уравнением (6).

Пример 4. Рассмотрим краевую задачу для нелинейного дифференциального уравнения 2-го порядка с малым парамет­ром е:

х" + / (Л х, х'\ е) = 0, 0< /< /,

х (0) = фо (е), х (I) = ф_г (е). ^{7)

Относительно функции /(/, Л", z/; е) мы предположим, что она не­прерывна по совокупности своих переменных при

/е=[0, /], — оо< дг, у< + оо, |8|< е₀

и что существуют ее частные производные fx и f_y, равномерно непрерывные при этих же значениях переменных. Пусть функ­ции фо(е) и ф; (е) определены и непрерывны при |е|^ео. Предположим, что при е = 0 задача (7), т. е. задача

х" — / {t, х, х', 0) = О, х (0) = фо (0), *(/) = < р, (0), ⁽ '

имеет решение х = x_Q(t).

Пусть, далее, линеаризованная задача

z" + fx(t, лго (/), x'₀(t), 0) г+ /„(/, Хо (/), 0)z' = 0, г (0) = 0, г (/) = 0

имеет только тривиальное решение г = 0. В этих условиях за­дачу (7) можно записать в операторном виде: F(x, е) = 0. При этом оператор F действует из X -4- £ ' в У, где А'= С²[0, /], У = С[0, /] 4- £ ' 4- £ ', по следующему закону: каждой паре, состоящей из функции и числа (-*(/), е), ставится в соответ­ствие тройка

{x" (l) + f(t, х, г), *(0), х{1)}.

Операторы F (x, X) и F _x(x, X) непрерывны, причем оператор F_x(x о, 0) непрерывно обратим (предоставляем проверить это чи­тателю). Если, в дополнение к этому, функция f аналитична по х, у и е, а функции ср₀ и ф/ аналитичны по е, то и оператор F(k, e) оказывается аналитическим.

Применяя к задаче (7) теоремы о неявных операторах, мы приходим к выводу, что эта задача имеет при достаточно ма­лых е единственное решение х{1, е), лежащее в С²[а, Ь~\, в ок­рестности решения задачи (8), причем x(t, e)-> jto(0 ^ПР^И е-»-0 по норме пространства С²[а, Ь\. В аналитическом случае x(t, e) можно найти методом малого параметра (см. теорему п. 36.5),

Упражнение 6. Методом малого параметра найдите с точностью 0(е²) решение краевой задачи с малым парамет­ром е:

х" + sin х = е sin л/, х (0) = х (1) = 0.

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Внешние эффекты, их виды и последствия. Теорема Коуза
2. Внешние эффекты. Теорема Коуза
3. Интернализация внешних эффектов. Теорема Коуза
4. Каждая из приведенных ниже ситуаций направлена на достижение одной из указанных в схеме целей. Скажите, какая цель подразумевается в каждом случае.
5. Момент инерции твердого тела. Теорема Штейнера
6. Парето-эффективность и статическое экономическое равновесие в экономике обмена. Первая теорема экономики благосостояния (общий случай).
7. Теорема «избыточной мощности» в условиях монополистической конкуренции.
8. Теорема Гаусса при наличии диэлектрика.
9. Теорема деления тензоров (критерий тензорности).
10. Теорема о демократических групповых рыночных решениях и ее значение для теории общественного выбора.
11. Теорема о замене подформул на эквивалентные