НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ СХЕМЫ И ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА

Нелинейные приближенные схемы

В этом параграфе основные понятия теории абстрактных ^Приближенных схем гл. VI обобщаются на нелинейный случай.

38.1. Аппроксимация, устойчивость и Г-сходимость. Пусть, как и в § 25, X и Y — банаховы пространства {Х„} и {У„} —две последовательности банаховых пространств, аппроксимирующих X и Y соответственно, a {T„}cz & (Х, Х„} и {Т'_п} cz g{Y, Y_n) - [две последовательности операторов сужения. Предполагается 'также, что Х_п=Т_пХ, Y_n = T'_nY, n= 1, 2, ...

Рассмотрим нелинейный оператор у = А(х), действующий; из своей области определения D(A)czX в пространство Y. > Пусть, далее, А_п: X_n-+Y_n, п= 1, 2, ...— последовательность! нелинейных операторов с областями определения D(A_n)czX_n и с области ми значений, лежащими в Ул.

Определение 1. Будем говорить, что на элементе efl(^) выполняется условие аппроксимации, если

^: Т_пх е D (А_п), «=1, 2............. (1)

и _

\\А_п(Т_пх)-Т_пА(х)\}_? при п-* оо. (2)

' п

Определение 2. Пусть x^D(A) и выполнено условие (1). Пусть, далее, существуют положительные постоянные а = = а(х) и k такие, что

II А_п (Т_пх) - ПА (х) Цр- < ап~^к, я = 1, 2,... (3)

п

Тогда будем говорить, что порядок аппроксимации оператора А операторами А„ на элементе х равен k. Очевидно, из (3) сле­дует (2).

Нашей целью является приближенное определение решений уравнения

Л(*) = 0. (4)

Пусть xq ^.D(A) является решением уравнения (4), т. е. i4(x₀) = 0. Условия аппроксимации (2) и (3) оператора А операторами А„ на решении х₀ записываются так (Т„Хо ^ D (А_п) для всех п): _

|| А_п {Т_пхо) ||р- О, п^оо, (5)

п

\\А_п{Т_пХо)\\₇ < an~^k, п= 1, 2,... (6)

п

Заметим, что проверка условий аппроксимации (5) или (6) на практике обычно не требует знания точного решения Хо. До­статочно знать, что хо обладает некоторыми свойствами глад­кости. Ясно также, что условия (3) или (6) достаточно прове­рить, начиная с некоторого номера.

Для приближенного решения уравнения (4) мы будем ис­пользовать последовательность

А_п (х_п) = 0, «=1, 2,..., (7)

приближенных уравнений, или, короче, приближенную схему. Решения (7) будем называть приближенными решениями.

Определение 3. Будем говорить, что приближенная схе­ма (7) устойчива или, короче, что выполнено условие устойчи­вости, если существует непрерывная, строго возрастающая на [О, -f-оо] функция со(/) так^я, что со(0) = 0, со(+оо) =-)-оо, причем для всех х'_п, x'^ е D (А_п) и любых п выполняется нера­венство

Наиболее употребительный случай: со (t) = yt, у > 0, кото­рый используется не только в линейном случае (п. 25.4), но и в нелинейном случае, когда удается получить соответствую­щую оценку.

Обычно условие устойчивости достаточно бывает проверить, начиная с некоторого номера. Для практической его проверки часто удается провести следующие рассуждения. Рассмотрим последовательность уравнений

А_п (х_п + г_п) - А_п (х„) = д_п. (9)

Здесь х_п будем считать параметром, а г_П — неизвестным. Если удастся получить априорную оценку (т. е. оценку возможных решений z_n, равномерную относительно х_п) вида

II г»II < Л (Ш) (10)

с функцией т)(^), удовлетворяющей тем же условиям, что и со(/), то будет выполнено условие устойчивости (8) с со(/) = = тр^|(^) (т. е. со — обратная функция к л)- Достаточно в (9) положить

= + = *».

Теперь мы можем перенести на нелинейный случай теорему о сходимости приближенной схемы п. 27.5.

Теорема. Пусть выполнены следующие условия:

1) нормы в Х_п невырождены;

2) существует точное решение;

3) при всяком п существует приближенное решение;

4) на всяком точном решении выполнено условие аппрокси­мации-,

5) выполнено условие устойчивости приближенной схемы. Тогда

а) точное решение единственно",

р) приближенное решение единственно для любого п\ у) имеет место Т-сходимость приближенных решение к точ­ному.

Доказательство. Докажем ос). Пусть х\ и х₂— два ре­шения уравнения (4) и на них выполнено условие аппроксима­ции (5). Тогда

II Тп Ui - Х₂) ||< со-' (II Ап (ТпХ, ) - An (Т_пх₂) II) <

< со" ¹ (1М„ (7>, ) || + || А_п (Т_пх₂) II) 0, п -> оо,

вследствие условия устойчивости, строгого возрастания со^-1, не­прерывности ю^-1 в нуле и условий аппроксимации на х\ и х₂. Но тогда и ||Г„(х1 —ХаЛЬ^О, п-> оо, и, вследствие условия не­вырожденности норм в Х_п (см. определение 2 п. 27.1), имеем х\ = х₂. Утверждение а) доказано.

Утверждение (J) сразу же следует из условия устойчивости (проверьте! ). Докажем утверждение у). Воспользовавшись ус­ловием устойчивости, равенствами (7) и непрерывностью со~' в нуле, получаем

II - Т_пхо II < со" ¹ (II А_а (*„) - А_п (Т _пхо) ||) =

= ш~^, (11А.(7'я*о)||)-> 0, п-> оо.

Теорема доказана.

Следствие. Если в условиях теоремы порядок аппрокси­мации равен k, а оi(t) ~ ytc при t—(Р > 0), то

II х_п — Т_пх_й\\ = О {n~^kh), п^ оо.

Доказательство. По условию (см. (6))

II А„ (Т„х₀) || ^ an~^k, со-'Ы-у-'т¹'".

Следовательно, при п -> оо

IIх_п - 7> ₀1|< и" ¹ (an~^k)~у^-1 (ап-" )¹* = О (п-*^).

Итак, порядок сходимости х_п к хо есть /г/р.

38.2. Сходимость разностной схемы Эйлера. В качестве иллю­страции на применение теоремы предыдущего пункта рассмотрим известную схему Эйлера решения задачи Коши для нелинейнего дифференциального уравнения первого порядка:

x-\-f(x, l) = О, С1< /< /, (1)

Предположим, что в полосе

П, = {/, *: 0 < / < /, — оо < а; < +

Депрерывны f(x, t) и fx(x, t), причем найдется постоянная Р > 0 такая, что в IL

I М*, 01< р. (3)

Можно показать, что в этих условиях задача (1) — (2) имеет на [0, /] единственное решение. В самом деле, из условия (3) вытекает, что f(x, t) удовлетворяет в П; условию Липшица (4) п. 33.4, и мы можем поэтому воспользоваться теоремой 2 этого же пункта. Запишем задачу (1) — (2) в виде операторного урав­нения (4) п. 38.1, где оператор

A(x) = {x + f(x, t); х(0)-а)

действует из банахова пространства Х = С[0, /] в банахово про­странство У = С[0, /] 4- Е\ где Е¹ — вещественная прямая. Норму элемента y(t) = {h(t), d}eF зададим так:

Пусть область определения D(A) оператора А состоит из не­прерывно дифференцируемых на [0, /] функций x(t).

Зададим на [0, /] равномерную сетку: {^}" __0> ti = it, t = = l/п. Как н в п. 27.1, операторы сужения Т_п зададим так: для всякой функции С [0, /] полагаем

Т_ах = {х (t _£ )> 7—1»

т. е. Х_п состоит из столбцов х_п = {*j}" =r Норму в Х_п зададим кубическую:

||*„||= шах \x_t\.

1 < 1 < л

Далее, если y(t) — {h{t)\ а}е У, то положим ^ = )};.,; «}•

Таким образом, Y_n состоит из столбцов у_п = {Кп', й} высоты п -+- 1. Норму

В In з& дядим т& кс

|| у_п II = max | hi | +1 а |.

о < i < П-1

Выпишем теперь систему разностных уравнений метода Эйлера:

^Хк ^xh-\

гг⁵^-+ /('*-.. = О, 1, 2,..., «, (4)

Хо = а. (5)

Эту систему удобнее переписать так:

x_k = x_k-i — xf {t_k_i, x_t_i), fe=l, 2, ..., n, (6)

x₀ = a. (7)

Из формул (6) видно, что система имеет рекуррентный ха­рактер и по известному хо = а из нее последовательно опреде­ляются X], х₂, ..., х„. Таким образом, система (4) —(5) имеет, и притом единственное, решение.

Перейдем к проверке условия аппроксимации. Приближен­ные операторы А_п(х_п) действуют из Я_п в Р„ и задаются фор­мулой

{А_а (*»)} = { { + ^f }_ft_, ^; ~ ^a } '

Следовательно, имеем для точного решения

А_а (ТпХ) = { { С»-'* + f (_tk__u х (*, _, )) 0 | =

Теперь нетрудно проверить условие аппроксимации:

-> 0

^x(^tk)~^x(^tk-u

К = \\А_п(Т_пх)\\₇ = max ^{v> /} _ я l< ft< nl ^т

при п-*-оо вследствие равномерной непрерывности на [О, /] производной х'(< ). Подробнее это рассуждение проводилось нами в примере п. 27.3.

Если дополнительно решение х(/) задачи (1) — (2) имеет на (0, 1) вторую производную, ограниченную на (О, /):

Уг М = sup | х" (О I < + ⁰⁰. (8)

(0. /)

то оценка может быть улучшена. В этом случае, как и в при­мере п. 27.3,

'ft

В. А. Треногин 449

Следовательно, если точное решение x(t)' достаточно гладко, то разностная схема Эйлера имеет 1-й порядок аппроксимации.

Займемся теперь проверкой условия устойчивости. Докажем, что для любых х_п справедлива следующая априорная оценка:

IISJKcfllM + lal} (9)

для всех возможных решений следующей разностной задачи:

+ f {tk- 1. 4-Х + **_, ) - f (t_k_ „ X_k__X) = h_k_ ь (10)

& = 1, 2, n, z₀ = a,

где параметры лго, ............... x„ совершенно произвольны. Для

этой цели запишем (10) в следующем виде:

z_fe = (l — + ft = 1, 2, ..., п, (11)

z ₀ = а,

где, согласно формуле конечных приращений,

Pfc -i —\fx dk- ь Xfe-i + oz_k_i) da. о

Хотя p^-i зависят и от х_к~и и от z_k- 1, вследствие ограниче­ния (3)

IP*-iKP, Л= 1, 2......... п.

Следовательно, для z_k справедлива рекуррентная система нера­венств (ft = 1, 2, ..., п)

Отсюда последовательно находим

l^iKO+Nlfll + TlIM,

I га | < (1 + рт)²1 a | + [(1 + рт) + 1 ] т || h„ ||,

I |< (1 + Рт)" | а | + Z (1 + Йт)* т|| h_n ||. Так как (1 + рт)* = (l + -J-)*< (l + а

v (] I w \ ¹ - Л' » > I

⁺ -Ь 0+-£ )-■ ^{я р} '

то имеем следующую оценку для г_п:

II 2„ а | + —р— II Л„||. (12)

Отсюда вытекает доказываемая оценка (9), в которой можно принять

( й< ^ - Л

с = тах^еР', —^—у

Тем самым доказано условие устойчивости (8) п. 38.1 с < а(< ) — = с-Н.

Из теоремы п. 38.1 вытекает теперь сходимость разностной схемы Эйлера. Если дополнительно выполнено условие (9), то из следствия из теоремы п. 38.1 мы получаем такой вывод: раз­ностная схема Эйлера имеет порядок точности (сходится со скоростью 0(\/п)).

38.3. Улучшенная схема Эйлера. Рассмотрим снова задачу Коши (1) —(2) п. 38.2 в тех же предположениях относительно функции f{x, t). Прежними останутся также пространства X, Y, Х„, ? „ и операторы сужения. Однако теперь мы рассмотрим следующую разностную схему:

+j[f Cft-b **-.) + f (tk, x_k)] = 0, (1)

Xo — a. (2)

Схема эта, в отличие от схемы Эйлера, является неявной: Хк входит в kl-e уравнение, которое нелинейно и не может быть так просто, как в п. 38.2, разрешено относительно Хк. Преиму­ществом рассматриваемой схемы является ее более высокий порядок точности, а значит, и сходимости. Для практического решения системы (1) — (2) используются итерационные методы (см. [1]). Неявные схемы часто применяются в приложениях.

Целью настоящего пункта является изучение не схемы (1) — (2), а близкой к ней явной схемы, которая называется улучшен­ной схемой Эйлера и представляет собой простейшую из схем Рунге — Кутта (см. [1], стр. 450).

Итак, рассмотрим разностную схему:

+ j V С*-.. **-.) + f (V О] = О)

^x'k = ^xk-i — k = l, 2, ..., n, (4)

x_a = a. (5)

Проверим условие аппроксимации. Предположим, что функ­ция f(t, x) дважды непрерывно дифференцируема в полосе Пь причем в этой полосе функция f и все ее частные производные до второго порядка включительно ограничены. Отсюда выте­кает, что решение x(t) задачи (1) — (2) п. 38.2 трижды непре­рывно дифференцируемо на [0, /]. Функция x(t) удовлетворяет на f 0, /] тождеству

х{1) + {{1, дг(0) = 0. (6)

Дифференцируя это тождество по / и подставляя затем x(t) из (6), получим еще одно тождество:

* (/) + ft U, X (/)) - f_x (t, х (t)) f (/, х (0) s 0. (7)

Введем теперь в рассмотрение функцию

_{F (/> Т}) ₌ *< / + т)-*(/) _{{tx{() + П( + хх{()}_ _{xf (/j}, _{Ш

(8)

Эта функция зависит от параметра т> 0 и определена по / на [0, 1 — т]. Если через F_n(x„) обозначить нелинейный оператор, соответствующий схеме (3) — (4), то нетрудно усмотреть, что

FJT_nx) = {F(t_k__u х»;.,.

По формуле Тейлора имеем при т 0

+ = i (/, + 1 хх (/) + О (т²),

f[t + x, x(t)-xf(t, x({))] =

= f(t, x (/)) + ft (/, х (/)) x-f_x (/, * (/)) xf (/, x (/)) -f О (r²).

Учитывая тождества (6), (7) и формулу (8), получим, что при т-> 0 F(t, х) = 0(т²), откуда \\F„(T_nx) || = 0(1/я²) при п — с». Итак, улучшенная схема Эйлера имеет второй порядок аппрок­симации (точности).

Проверим теперь условие устойчивости. Рассмотрим вспомо­гательную разностную задачу

^г*~_т²*-' + у [/ ('*-!. + - f «k-Ь *»-l)] +

+ Y [f ih, X_k_, + z_fe_i — т/ — 2_Л_! )) —

— f(tk. — T/(/fe_i, Xft-i))] = A_A, ft =1, 2, .... «, Z₀ = 6.

Согласно формуле конечных приращений Лагранжа

f{< k-1. —/(/ft-l. = Pft-lZft-l>

где P*_i = f*< /*_i. x*-i + eft-iz_ft_i), a 0 < 9_ft_, < 1. Аналогично

-T- 2_ft_, — т/ (/_fe_|, x_ft_, + z_fe_i)) — f(t_k,

— *f (tk-l, *ft-l)) = Pft-1 (1 — Tpft-l)Zft-l,

где

h-l = fx(t_k, I H- 0*_, {z_ft_, —T [/ (/*_!, JCft-l + Z^j) —/(/ft_l, *ft-l)]})

И 0 < 6_ft_! < 1. 452

Систему для определения Z\... z_n можно теперь записать в таком виде.

= -уР*-1-уР*-.(1 -тр^ф^. + тА*, ft =1, 2, ..., п,

Zq = 6.

Отсюда, полагая max|f*| = p, получим |р*|^Р. 1Р*КР и, ^пг

Следовательно,

|г»|< (1+гР + -£ -р)|г₄_, | + т|ЛН k=l, 2, ..., п, \z₀ 1 = 1 й I.

Но 1+тр+= откуда

|г*Ю^е" ^п|г*-|1 + т|ЛД Аг = 1, 2...................... п, |2₀1 = |б|.

о

Отсюда последовательно находим |г, К<? < " ^/п|6| + т|Ло1, Iz₂1< в²»" " | б | + те*" ^п\hy | + т| АоI.

/ JH P(n-l) А

UJ^eO'lftl + T\1 +е« +... -f в » )||А„||.

п-1

⇐ Предыдущая10111213141516171819Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. V6: Нелинейные модели регрессии
2. А, б – схемы применения приспособления; в – готовая рамка; 1 – рычаг; 2 – ролик; 3 – заготовка; 4 – оправка; А, Б – соответственно верхнее и нижнее положение рычага
3. Альтернативные схемы APT первого ряда
4. Анализ принципиальной схемы.
5. Анализ схемы с помощью программы EWB
6. Блокировочные схемы, обеспечивающие наладочные режимы.
7. Валютная система, ее элементы
8. Влияние приемов основной обработки почвы на элементы
9. Внутренние и внешние элементы языка
10. Вопрос 13. Структура правовой нормы, её элементы.
11. Вопрос 15. Операционная система Windows 98. Её назначение и возможности. Основные элементы интерфейса Windows 98.
12. Вопрос 16 Сущность, функции и основные элементы финансовой системы. Финансы государства: основные элементы и их характеристика.