Упражнение 3. Докажите, что функция

Л (*) = {*? + 3*, - 2Х₂ + 1, 2x1 + + - 4},

где х =(xi, х₂)& Е², является сильно монотонным оператором в Е².

Следующее определение обобщает условие (2) леммы I. Определение 4. Оператор А: Х-+-Х* называется коэрци­тивным, если для всех Jtei

(х, > 1(*)> > Y(IUII)IUII, (8)

где Y (t) — функция', заданная при и такая, что у(')—

-j- оо при t-*--\- ОО.

В дальнейшем мы будем использовать функции с(/) и у(1) из определений 3 и 4, не оговаривая их существование для сильно монотонного и коэрцитивного операторов соответствен­но. Впрочем, между этими функциями имеется связь, которая устанавливается в следующей лемме.

Лемма 2. Если оператор А: Х-*-Х* сильно монотонный, то А — коэрцитивный, причем можно принять

V (0 = с (() —1| Л (0) ||.

Доказательство. Из условия (7) при у = 0 имеем < *. Л(*)-А(0)»с(М)М1, откуда

< *. Л(*))> с(Ц*|)Ц*Ц + С*. А(0))> с(||*||)||-||*| А(0)||,

•460 ибо |< *, Л(0)> |< ||*|11И(0)Ц, И, значит, < *. Л (0)»-МЦЛ (0) IL Полученное неравенство доказывает утверждение леммы 2.

Замечание. Если оператор А: X -»- X* коэрцитивен, то || Л (дг) ||-> оо при lUIKoo.

Действительно, имеем оценку ||Л (дс)|де|| ^ < х, Л (x)> #s > Y (11*11) 11*11. т.е. U (*) II (11*11 )^оо, когда М—оо.

В заключение пункта приведем элементарную лемму о функ­ции c(t), фигурирующей в определении сильной монотонности.

Лемма 3. Пусть дана непрерывная неотрицательная функ­ция с: [0, + оо)-»-/: ¹ такая, что с(0)=0, с(/)> j0 при t> 0 и с(/)-»- + оо при t-> - оо. Тогда из того, что t_m ^ 0, m — 1, 2, ., и с (^т) —* 0 при т—► оо, вытекает, что tm-*- 0 при ш—* оо.

Доказательство. Пусть a_m = c(/_m)-> 0 при т-*- оо, а {/_т} не сходится к нулю. Тогда найдутся число 6 > 0 и под­последовательность {t_m'} последовательности {/_т} такие, что t_m'^6> 0 для всех т'\ {t_m> } ограничена. В противном случае нашлась бы ее подпоследовательность {t_m«}, t_m" —оо, а тогда и с {t_m»}—> + оо, что невозможно, ибо a_m»-> 0. Итак, {/«'} огра­ничена. Тогда по теореме Больцано — Вейерштрасса найдется ее сходящаяся подпоследовательность {t_m»}, t_m" ~> -to, m" -> оо. По непрерывности с (t_m" )—с (to) > 0, т" -*оо, а это тоже не­возможно. Полученное противоречие доказывает лемму.

39.2. Теоремы о существовании решений в конечномерном слу­чае. Докажем две теоремы о существовании решений уравнений с монотонными операторами в евклидовом пространстве Е^п. Эти теоремы послужат базой для рассмотрения в последующих пунктах бесконечномерного случая.

Следующая теорема является непосредственным обобще­нием леммы 1 предыдущего пункта на случай сильно монотон­ного оператора в Е^п.

Теорема 1. Пусть Л: Е^п-*-Е^п и непрерывен всюду в Е^п. Если для всех х, у е Е^п

(х-у, А (х)-A(y))^c\\x-y\f, (1)

где с > 0 — некоторая постоянная, то уравнение

А (х) = 0 (2)

имеет единственное решение х? е Е^п.

Доказательство. Проведем доказательство теоремы индукцией по размерности п пространства Е^п. При п — 1 дока­зываемое утверждение верно. Действительно, условие (1) обес­печивает выполнение условий (3) и (2) леммы 1 п. 39.1 (усло­вие (2) этой леммы следует из леммы 2 п. 39.1). Итак, при п = 1 теорема 1 справедлива. Допустим теперь, что она спра­ведлива в Е" -\ k ^ 2, и покажем, что тогда она будет верна и в E^k. Пусть Л: Е^к —► Е" удовлетворяет условиям теоремы 1 (при n = k). Рассмотрим в Е^к стандартный базис {e, }f__t (т.е. ^е! ~ '=1. •••, k> — символ Кронекера). Тогда в базисе {ei}^k_i={ оператор А задается набором своих координатных функций:

ft

А (х) = {fi где х = Z х, е,.

/=I

Зафиксируем любое teE' и рассмотрим оператор A_t: Е^к~^Е^к~¹,

ft-i

определяемый для всех x=Z следующей формулой:

«=1

Очевидно, оператор At непрерывен на Е^к~¹ и для любых х, у^Е^к~\ согласно условию (1), для него выполняется сле­дующее неравенство:

(х - у, A_t (х) - A_t (у)) = (/ - t)\f_k (х + te_k) -f_h(y + le_k)] + ft-i

+ Z (X, - y_t) \fi (X + te_k) — fi{y + te_k)] > c\\x-у f. i=i

Это означает, что оператор At также удовлетворяет усло­вию (1). По индуктивному предположению система уравнений

f, {x + te_k) = 0, i= 1............. ft-l, (3)

имеет единственное решение х е Е^к~¹. Это утверждение спра­ведливо при любом t е Е¹. Следовательно, определена вектор-

функция х: Е¹ ~> Е^к~\ ставящаяся в соответствие каждому

ft-i

t Е¹ решение £ (/)= Z & i(t)ei системы уравнений (3), или,

i = l

короче, уравнения Л₍(; е) = 0.

Покажем теперь, что функция непрерывна на £ '. Для всех t, s е имеем

о ^ (.е (0 - £ (s), At (Jt (0) - л, (je (s))) =

= (Л (() - * (s), At (Jt (()) - At (Jt (s))) + J (t, s) >

> c\\Jt(t)-Jt(s)\\² + J(i, s), где J (t, s) = (* (t) - * (s), A_t (Jt (s)) - A_s (Jt (s))) > -1U (0-* (s) ИХ

Таким образом, для всех t, s e справедливо неравенство

|| *(/)-* (5) || < с" ¹ II A _t (Jt (s)) - A_s (* (s)) ||

(или = *($))■ Но при фиксированном s при t-*-s

ft-i

II A_t (Jt (s)) - A_s (Jt (s)) II² = Z I fi (i (s) + te_k) - f_t (* (s) + se_k) |² -> 0

вследствие непрерывности координатных функций. Следова­тельно, x(t) непрерывна на Е¹.

Рассмотрим теперь функцию -ф: Е¹ -*Е^Х $(t) = f_k(Z(t) + te_k).

Покажем, что для выполнены условия леммы 1 п. 39.1.

Прежде всего заметим, что непрерывна, как суперпозиция непрерывных функций. Далее, согласно (3) At(x(t)) = 0, /l_s(i(s)) = 0, поэтому

(t - s) № (/) - (s)] = (t-s) [/* (i (0 + te_k) - fk (* (s) + se_fc)l + + (jc (0 - дс (s), A_t (Jt (t)) - A_s (* (s))) =» = ({[* (0 + te_k] - [Jt (s) + se_k]}, A (X (t) + te_k) - А (Jt (i) + se_k)) > c\\ Jt (t) — Jt (s) + (f — s) e_k ||² > 0 при t¥ =s.

Таким образом, функция удовлетворяет условию (4)

п. 39.1. Проверим условие (2). Применяя ту же оценку, что и в доказательстве леммы 2 п. 39.1, получим

V) = tf_n (х (t) + te_k) = tfn (Jt (t) + te_k) + (£ (t), At (Jt (t))) = = (Jt (t) + te_k, A (Jt (t) + te_k)) > c\\Jt(t) + te_k ||² -1| Jt (t) + te_k | A (0) ||.

Ho M(t)+teA~^ \t\ (покажите это, пользуясь определением нормы в Е^к). Следовательно, при t-*-oo имеем tty(t)-> oo. Для ункции выполнены, таким образом, все условия леммы 1. начит,. существует такое единственное т е Е\ что т|)(т) = 0. Но тогда уравнение (2) имеет единственное решение

Согласно методу математической индукции утверждение до­казываемой теоремы справедливо в пространстве Е^п любой раз­мерности. Итак, теорема 1 доказана.

Докажем в заключение еще следующее предложение. Теорема 2. Пусть А: Е^п-+ Е" — непрерывный монотон­ный оператор, причем существует постоянная X > 0 такая, что для всех х с ||л: ||> к выполняется неравенство

(х, А(х))> 0.

Тогда уравнение (2) имеет решение х с ЦхЦ^Х.

Доказательство. Зададим последовательность поло­жительных чисел {et}, где е*> -»-0 при k-*-oo. Рассмотрим те­перь последовательность операторов {Ak}, Ак\ Е^п-*-Е^п, опреде­ляемых так:

А„(х) = в_кх + А(х). (4)

Для каждого фиксированного номера k имеем, вследствие мо­нотонности оператора А,

(х — у, A_k (х) — A_k (у)) = e_k(x — у, х — у) +

+ (х-у, А(х)-А(у))7? ч\\х~у\?

для всех х, у^Е". Значит, по лемме 3 п. 39.1 уравнение

Л*(х)=0 имеет единственное решение х_к^Е". При этом

IUaII^X для k = 1, 2, ... В противном случае для некоторого номера k оказалось бы, что

0 = (х_к, A_k(x_k))> e_kl\x_k\f^l> 0.

Итак, {лга}сг Е^п ограничена. По теореме Больцано — Вейер- штрасса (см. [18]) из нее можно выделить подпоследователь­ность сходящуюся к х_а^Е^п. Подставим в (4) k = k', X = x_v и получим

^0==IW+Л ОБО­ПРИ k'-yoo, пользуясь тем, что e_ft, -> 0, а оператор А не­прерывен, в пределе получим A (_xq) = 0. Теорема доказана.

39.3. О деминепрерывных операторах. Пусть X и У — норми­рованные пространства. Поскольку в каждом из них мы имеем два вида сходимости: сходимость по норме, которую часто на­зывают сильной сходимостью, и слабую сходимость, то при рас­смотрении оператора А, действующего из X в У, возможны че­тыре вида его непрерывности. Это:

1) слабая непрерывность, когда А любую слабо сходящую­ся в X последовательность {х„}с: £ (Л) переводит в слабо схо­дящуюся в У последовательность {А(х_п)}\

2) сильная непрерывность (непрерывность по норме), когда А переводит всякую сильно сходящуюся в X последователь­ность {x_n)cz D(A) в сильно сходящуюся в У последовательность {Л (*„)};

3) ухудшающая непрерывность, когда А любую сильно схо­дящуюся в X последовательность {х„}с: 0(Л) переводит в по­следовательность {Л (*„)}, слабо сходящуюся в У;

4) улучшающая непрерывность, когда Л любую слабо схо­дящуюся в X последовательность {x„}aD(A) переводит в силь­но сходящуюся в У последовательность {Л(дс„)}.

В приложениях оказываются полезными все эти виды непре­рывности операторов. До сих пор мы встречались с сильно не­прерывными операторами, т. е. с непрерывными операторами в принятой нами терминологии. Кроме того, отмечалось (см. теорему п. 20.2), что линейные вполне непрерывные операторы обладают свойством улучшающей непрерывности.

В теории монотонных операторов нам понадобится ухуд­шающая непрерывность операторов, которую принято называть деминепрерывностью.

Определение 1. Оператор Л с замкнутой областью оп­ределения D(A) в банаховом пространстве X и со значениями в сопряженном пространстве X* называется деминепрерывньш в точке Xq ^ D ( A ), если он переводит всякую сходящуюся {x_n}cz £ *(Л), Хп-*-xq, я-»-оо, в слабо сходящуюся последова­тельность {Л(дс„)}, Л (х_п)-> А (Хо) слабо при п-*-оо в X*.

Иначе говоря, Л деминепрерывен в точке л'о. если из Иг* — — xoll-»- 0, п-*- оо, следует, что для всякого х е X

(х, А(х_п))-+(х, А (хо)), п-+ оо.

Упражнение 1. Докажите, что если оператор А: Х-+Х* непрерывен в точке хо, то он деминепрерывен в xq.

Упражнение 2. Докажите, что если оператор А: Х-> -Х* деминепрерывен в точке jc₀, то он ограничен в некоторой ее ок­рестности.

Определение 2. Оператор Л с замкнутой областью оп­ределения D{A)czX и со значениями в X* называется демине- прерывным, если он деминепрерывен в каждой точке D{A).

Возникает вопрос: не будет ли всякий деминепрерывный оператор также и непрерывным? Ответ будет положительным в случае линейного оператора Л. Пусть Л не является непре­рывным, т. е. неограниченным. Тогда найдется последователь­ность {x„}c= D(A) такая, что ||х_л|| = 1 и ||Лх_л||> п², п = 1, 2, Так как у_п = х_п1п-*- 0, п-*- оо, сильно, то по условию демине-

прерывности Ау_п = — Ах_п-> 0 слабо при я-*-оо. Но ||Лг/||> л.

Полученное противоречие доказывает, что всякий линейный де­минепрерывный оператор необходимо непрерывен (см. задачу 1 к § 20).

В случае нелинейных операторов требование деминепрерыв- ности оператора является более слабым и проверяется проще по сравнению с требованием его непрерывности. Содержатель­ные примеры деминепрерывных операторов читатель может найти в монографии [7]. Примеры эти требуют специальных сведений из теории функций действительного переменного н вы­ходят за рамки настоящей книги.

(1)

(2)

(3)

39.4. О методе Галёркина для уравнений с монотонными операторами. Пусть нелинейный оператор Л действует из ве­щественного сепарабельного банахова пространства X (Й(Л) = = X) в сопряженное ему пространство X*. Для нахождения приближенного решения уравнения

А(х) = О

воспользуемся следующим вариантом метода Галёркина. Пусть {ф*}Г ~ линейно независимая, полная в X система элементов, а Х„ — подпространство, натянутое на фь..., ф_п. Галёркинское приближение решения хуравнения (1)

п

Х_п =■ Е С< ф1 1=1

будем разыскивать из системы уравнений Галёркина < Ф*. Л(х_я)> = 0, А =

, ...,

16 В. А. Треногий

Упражнение 1. Покажите, что х_п^Х_п является реше­нием системы (3) тогда и только тогда, когда для любого и_п е Х_п выполняется тождество

(и_л, Л(*„)) = О, k=\,..., «. (4)

Лемма 1. Если оператор А строго монотонный, то

1) уравнение (I) не может иметь более одного решения;

2) при каждом п система (3) не может иметь более одного решения.

Доказательство. Если и и у—решения уравнения (1), то А (и) =0, A(v) = 0 и, значит, (и — и, А (и) — A (v) > = 0, что возможно в силу строгой монотонности А лишь при v = и. Да­лее, если и xf — решения системы (3), то, согласно (4), (x'J\

А (*< /> )) = 0 для i, ] = 1, 2. Следовательно, 0=(*J, ¹> —А (х^) -

— Л (.г®)), что возможно только при x^ — xfj). Лемма доказана.

Теперь дадим условия, обеспечивающие разрешимость си­стемы уравнений Галёркина (3). Для этой цели мы восполь­зуемся теоремой 2 п. 39.2.

Лемма 2. Пусть оператор А монотонный и деминепрерыв- ный, и пусть найдется постоянная Я > 0 такая, что для всех xeJf с Ы> Я выполняется неравенство (х, А (*)> > 0. Тогда для любого п система уравнений (3) имеет решение х„ е Х_п, причем ||х„|К Я.

Доказательство. Запишем сначала систему (3) как одно уравнение в Х_п:

п

Е < Фь A(x„))< t, = 0. (5)

Покажем, что уравнение (5) можно заменить эквивалентным ему уравнением в евклидовом пространстве Е". Для этой цели введем линейный оператор I_n s & (Е^п, Х_п). Для любого с_п = положим

hc_n = х_а, (6)

где х_п задается формулой (2).

Упражнение 2. Покажите, что J_n — линейный ограничен­ный непрерывно обратимый оператор и, значит, J_n осуществляет взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие ме­жду Е^п и Х_п. Покажите, что || /„ || < д/й" ^ '

Заметим теперь, что уравнение (5) эквивалентно следующей системе уравнений в Е^п (записанной в стандартном базисе):

< Фь Л(/„с„)> = 0, 1=1............... п. (7)

Введем в Е" оператор

An{cn)^{⁽m> A{J_nc_n)))1-v (8)

(Теперь система (7) примет следующий вид:

А_п(с_п) = 0. (9)

Проверим для оператора А„ условия теоремы 2 п. 39.2. Опе­ратор Ап непрерывен, так как непрерывны его координатные функции < ф(, Л(/„с_я)>. Действительно, если последовательность

ёл^т)-*Сп⁰⁾ при т—> • оо (в Е^п), то при т-> оо

W = *Л^т} = Е -> Е =в А тогда в силу деминепрерывности оператора А при т-> - оо

Далее, для любых а„ = (а/)", Ь_п — (Ь[)" из Е^п, согласно (8), (6) и (2), имеем

п

са_п-В_п, Л„ (а„) - Л„ (й„)) = Е — b_t) (_Ф,, A (J_na_n) - А (/„& „)} =

= (J_na_n-Jnb_n, А (М_п)~ А (/& „)> > О

вследствие монотонности оператора Л.

Наконец, если II то (проверьте! ) Цх_пЦ_Хп^

> Un^lI 'll^l^n^A, а тогда

Л„ (с„)) = (J_nc_n, A{J_nc_n)) = (x_n, А (х_п)) > 0. По теореме 2 п. 39.2 уравнение (9) имеет решение с*, а тогда

п

система (3) имеет (при любых п) решение х_п = Е Осталось

доказать, что ||.г*||<! А. Допустим противное, что Цх* | > А. Тогда по условию данной леммы (х*, Л(х*)])> 0, что невозможно. Итак, лемма 2 доказана.

Докажем еще одну лемму о галёркинских приближениях. Лемма 3. Пусть выполнены условия леммы 2, и пусть {х_п}—произвольная последовательность решений систем (3). Тогда последовательность (Л(х„)} слабо сходится к нулю.

Доказательство. Докажем сначала, что последова­тельность (Л(х„)} ограничена. Из деминепрерывности опера» тора А в нуле следует (см. упражнение 2 п. 39.3) существова­ние постоянных б > 0 и М > ■ 0 таких, что

IM(x)||< Af как только Цдг)|< б. Тогда в шаре S₆ = ||*Ц ^ 6} имеем (х, А (*„)} = (х — х_п, А (х„) — А (х)) + (х, А (х)) —

— (х„, А(х)) + (х_а, А(х_а))^(х, А (х)) — {*„, Л(х)>. . 6* 467

Мы воспользовались тем, что (х_п, А (лс„)) = 0 (см. (4)J, и мо­нотонностью оператора А, согласно которой < х— х_п, Л(лс_я)—■ ¹ — 0. Следовательно, для *eS_a

< *, Л (*„)> < К*. А(х)) | + |< *„, Л(*)ЖЛ*(6 + А),

ибо ||х„|| ^ к. Меняя х на —х, получим также, что для всех

-М(6 + Я)< < х, Л(*„)). Таким образом, для всех Jte5_e имеем

К*, л(*_и)> кл1(й + л).

Далее, по определению нормы линейного функционала

II А (х„) || = sup |< //, Л (*„)> |= sup -j-Kx, A(x_n))KM(l+±). 1ЫК1 11*11< в^{й v}

Доказана ограниченность последовательности {Л(х„)}.

Теперь покажем, что {Л(л: „)} слабо сходится к нулю на некотором плотном в X линейном многообразии. Воспользуемся полнотой системы {фа}|. Из нее следует, что линейное много-

оо

образней = [J Х_к плотно в X. Пусть х^Х; тогда х^Х_т при fc-i

некотором т и для всех < х, Л (х„)} = 0, где х_п — реше­

ние системы (3). Следовательно, на плотном в X линейном многообразии X (х, А (х„)) 0 при п-*-оо. По теореме Ба­наха— Штейнгауза (см. п. 11.5 и п. 17.1) А(х„)-> ~ 0, л-> оо, слабо. Лемма 3 доказана.

39.5. Теоремы о существовании решений уравнений с моно­тонными операторами. В этом пункте будут доказаны основные теоремы теории монотонных операторов. Более подробное изло­жение можно найти в [7].

Теорема 1. Пусть А — оператор, действующий из веще­ственного сепарабельного рефлексивного банахова простран­ства X в сопряженное пространство X*, — является монотон­ным и деминепрерывным. Пусть, далее, существует постоянная К > 0 такая, что для всех teJf с ||jc||> A, выполняется нера­венство

(х, А (д )> > 0.

Тогда уравнение

А(х) = 0 (1)

имеет решение, причем ||х|К Я.

Доказательство. По лемме 2 п.39.4 для любого п си­стема Галёркина имеет решение х_п^Х_п с Я. Вследствие рефлексивности пространства X из последовательности {*„} можно выделить подпоследовательность {х_п-}, слабо сходя­щуюся к xq е X при этом ||*₀|| ^ Я.

Далее, для любого х е X, вследствие монотонности опера­тора А, имеем

1п- — {х — х_П', А (х) — А (х_п')) > 0.

Но 1п' = (х — х_П', А (*)) — (х, А (хп')), причем при я'-> оо (л:, (*п'))~0» так как по лемме 3 п. 39.4 А(х_П')-+ 0 слабо при п'-> оо. Следовательно, /„< -*•(* — *₀, А(хпри п'-*оо, и, значит, для всех х^ X

(х-х₀, А{х))> 0. ■ (2)

Если А (х₀) = 0, то теорема доказана. Пусть А (лг₀) Ф 0. Тогда по следствию 1 (для X*, X** = X) из теоремы Хана — Бзнаха (см. п. 16.3) существует такой элемент z₀ е X, что

< 2₀, Л Uo)> = [IЛ Uo) II. (3)

Подставим в (2) х = хо — tz₀, где t > 0. Тогда (z₀, А(х₀ — — < 2о)> ^0. Отсюда при /-> 4-0 с учетом (3) имеем < 2₀, А (хо) > = \\А (*о) II ^ 0. Значит, предположение о том, что А{х₀)ф 0, неверно, и теорема 1 доказана.

Приведем два следствия из доказанной теоремы.

Следствие 1. Если выполнены условия теоремы 1, то из любой последовательности решений системы Галёркина можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому ре­шению уравнения (1).

Следствие 2. Если в условиях теоремы 1 оператор А строго монотонный, то для любого п система Г алёркина (3^ имеет единственное решение х_п s Х_п и последовательность {*„} ₁ этих решений слабо сходится к элементу Хо ^ X, являющемуся единственным решением уравнения (1).

Для доказательства достаточно сослаться на лемму 1 п. 39.4.

Приведем теперь две теоремы существования решений для уравнения с правой частью:

А{х) = у, г/еГ. (4)

Теорема 2. Пусть оператор А отображает вещественное сепарабельное банахово пространство X в пространстве X* и является монотонным, деминепрерывным и коэрцитивным. Тогда уравнение (4) имеет решение для любого у е X*.

Доказательство. Зафиксируем любой элемент у е X* и рассмотрим оператор F: Х-> Х*, действующий по формуле

F(x) = A(x)-y. (5)

 

Упражнение 1. Докажите, минепрерывный оператор.

Далее, для всех леА имеем

< *, F(x)) = {x, А(х))-(х, у)>

> Y (11*11)11*11- что F(x) — монотонный и де- (см. определение 4 п. 39.1 Ji

- II ^ 1111 * II = (Y (II * II) — \\у II) II * II'

Отсюда вытекает, что существует такое число X > 0, что для всех с ||х||> x выполняется неравенство < х, F(x))> 0.

Значит, для оператора F выполнены условия теоремы 1, и, еле- довательно, уравнение F(x) = 0, т. е. уравнение (5), имеет ре­шение. Теорема 2 доказана.

Следствие 3. Если в условиях теоремы 2 оператор А строго монотонный, то для любого у е X* уравнение (5) имеет единственное решение, т. е. в этом случае существует оператор Л^-1, обратный оператору А.

Для доказательства следствия 3 достаточно выполнить сле­дующее упражнение.

Упражнение 2. Покажите, что F(x)=A(x)— у является строго монотонным оператором, если таковым является опера­тор Л (х).

Теорема 3. Пусть оператор А действует из вещественного сепарабельного рефлексивного банахова пространства X в X* и является деминепрерывным и сильно монотонным. Тогда для любого у е X* при каждом п система Галёркина

{щ, Л(х„)) = < щ, у), k=l, .... п, (6)

имеет единственное решение х_п е X. Последовательность {х„} сходится (по норме) к решению хо^-Х уравнения (1), также единственному. Оператор А имеет обратный оператор Л^-1, ко­торый непрерывен.

Доказательство. Согласно лемме 2 п. 39.1 оператор Л (х) коэрцитивен, а значит, коэрцитивен и оператор F(x) = = А(х) — у (см. доказательство теоремы 2). Кроме того, Л строго монотонен. По теореме 2 и следствию 3 система (6) имеет при каждом п единственное решение х_п «= Х_п. При этом х_п-*-Хо слабо при га-»-оо, где хо^Х — единственное решение уравнения (1) (см. следствие 2).

Далее, по лемме 3 п. 39.4 Л (х_я)-> - Л (х₀) = 0 слабо при п-> оо. Тогда имеем (см. определение 3, п. 39.1)

L = (х_п — *о, Л (х_п) — А (х₀)> > с (|| х_п — Хо ||) || х_п — х₀ II.

Но 1_п = — < —хо, Л(х„)> — < х„ — Хо, Л(х₀)> -> 0 при га-* оо. Зна­чит, с(||х„— х₀||)||х_л— Xoll-*0 при га-»-оо. Воспользуемся лем­мой 3 п. 39.1, приняв y(t)—c(t)t. Согласно этой лемме IIХл — Xoll-^0 при я-> оо. Первая часть теоремы доказана.

Заметим теперь, что по следствию 3 существует оператор Л^-1: Х*-+Х, обратный к Л. Из неравенства (сильная монотон­ность Л)

(и — и, А (и) - Л (v)) > с (|| и - о ||) || и - о ||, справедливого для всех и, v е X, вытекает, что \\A(u)-A(v)\\^c(\\u-v\\),

или, полагая z—A (и)\ w = Л (у), имеем

Wz-wW> c(\\A-ⁱ(z)-A-^[(w)\\).

Если теперь геХ фиксировано, a w = w_n-*- z, п-*- оо, в X, то по лемме 3 п. 39.1 Л^-1 (ш«)-> - Л^-1 (г) при п-> оо, что и озна­чает непрерывность оператора Л^-1. Теорема 3 полностью дока­зана.

Следствие 4. Если в условиях теоремы 3 оператор А не­прерывен, то А осуществляет взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие между X и X* (такое соответствие принято называть гомеоморфизмом).

39.6. Пример к теории монотонных операторов. Рассмотрим следующую краевую задачу для обыкновенного дифференци­ального уравнения

& x(t)-f(t, x(t)) = 0, a< t< b (1)

D^kx(a) = D^kx(b) = 0, 0< fe< m-l (2)

с дифференциальным выражением (/«^ 1)

m

^x(t)^Z(-^)^lD^l{Pi(x)D^lx(i)}. (3)

г-о

Здесь D = -j-_t—оператор дифференцирования.

Задачу (1)—(2) будем рассматривать в пространстве Собо-

о

лева H^m(a, b) и, таким образом, речь пойдет о теореме суще­ствования и единственности обобщенного решения этой задачи. Это обстоятельство позволяет наложить довольно слабые огра­ничения на параметры задачи (1) — (2).

Предположим, что коэффициенты Pi(t), / = 0, 1, ..., m, не­прерывны на [а, Ь~\. Пусть, кроме того, существует постоянная а > 0 такая, что для всех л: е H^m(a, Ь) выполняется следующее неравенство

Ь ( т а г=о

о

Рассмотрим теперь в Н^т(а, Ь) нелинейный оператор супер­позиции f(t, x(t)) в предположении, что / непрерывна в полосе te[a, b], х^(—оо, + оо). Поскольку Н^т(а, Ь) вложено в

С[а, Ь], то для всех Jt е Я™ (а, Ь) функция f(t, x(t)) будет не­прерывна. Предположим также, что для всех х\ и х₂

[/(/. *₂)1(лГ|-^)> 0. (5)

(4)

-df> а\\х

< Нт (а, ЬУ

471

Рассмотрим теперь H^m(a, b) следующую квазибилинейную фор­му (функционал, линейный по г):

Ь т Ь

я (*, г) = $ £ (^Рi W ^D'^x W • ^D'^z W) dt+\f(t, х (/)) 2 (t)dt (6)

а 1= 0 а

(см. пп. 17.3 и 30.7). Согласно теореме Рисса, при каждом

х^.Н^т(а, Ь) выражение а(х, z) представляет собой линейный

ограниченный функционал в Н^т(а, Ь) и, значит, представимо в виде

a(x, z) = (A(x), г)о,

\ > > \ \ » '_нт_{{(и Ь)}>

о

где А (х) — нелинейный оператор, действующий в Н^т(а, Ь). Опе­ратор А (х) является сильно монотонными, так как

а (х_и z) — a (х₂, z) > а || х_{ — х₂1|,

что вытекает из формул (4), (5) и (6).

Предположим еще, что функция f{t, x) в каждом шаре \х| ^ г удовлетворяет условию Липшица:

Можно показать, что теперь оператор А(х) непрерывен. Вос­пользуемся теоремой 1 и следствием 2 п. 39.5, из которых вы­текает, что при наложенных нами ограничениях краевая за­дача (1) — (2) имеет единственное обобщенное решение. Даль­нейшие обобщения читатель может найти в книгах [3], [71 и; [27], где имеются также приложения теории монотонных опе­раторов к краевым задачам для эллиптических уравнений.

⇐ Предыдущая10111213141516171819Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. A. Библейские пророчества напоминают нам, что Бог Суверенный
2. Hе откладывай на завтра то, что ты отложил вчера на сегодня.
3. А.15 Укажите, что представляет собой фибра
4. А2. Что такое уголовно-правовая норма?
5. Агрегированная производственная функция.
6. Активные компоненты подобраны таким образом, чтобы максимально тщательно воздействовать на проблемные зоны вокруг глаз и ликвидировать темные круги, припухлости и отечность.
7. Аллах почтил людей тем, что отправил к ним посланников
8. Аль-Бути неправильно предположил, что слепой мужчина попросил Аллаха вернуть ему зрение ради высокого положения Пророка, мир ему и благословение Аллаха
9. Берите то, что уже принадлежит вам
10. Беседа о том, что для плодоносного покаяния необходимо отвержение самомнения
11. Благовестник обязан знать, по мере сил, что в жизни его нет ничего противного Богу, мешающего служению Духа Его душам слушателей.
12. Бог не отверг нас. Это мы отвергли себя. Он здесь и Он заботится. Но Он ожидает, что мы будем сотрудничать с Ним, заботясь о себе.