|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Диаграмма Ньютона и ветвление решений
Нелинейных уравнений В этом параграфе рассмотрены особые случаи задачи о неявных операторах. Пусть нелинейное уравнение F(x, Х)= 0 с параметром X имеет при фиксированном значении параметра Хо решение хо. Если при значениях X, близких к А, 0, это уравнение имеет несколько (более одного) решений х(> »), близких к хо, то говорят, что происходит ветвление решения.vo. Современная теория ветвления решений нелинейных уравнений (см. [2]) основывается на идеях А. М. Ляпунова и Э. Шмидта и широко использует методы функционального анализа. В одномерном случае, который здесь рассматривается, важную роль играет метод диаграммы Ньютона. С помощью этого метода решаются, впрочем, и некоторые другие математические проблемы. 37.1. Метод диаграммы Ньютона. Пусть комплекснозначная функция f(x, X) комплексных переменных х и X представляет собою многочлен степени л относительно х: f(x, X)=tfAX)xs, (1) s = 0 где, согласно определению многочлена степени л, /Л(Я)#0. Относительно коэффициентов fs(X) мы сделаем довольно слабые предположения. Пусть они представимы в окрестности точки А = 0 в виде сходящихся рядов: +< *> = ' (2) 5 = 0 где ps — рациональные числа, а р— общее для всех fs натуральное число. Заметим, что если при некотором s fs(k0, то можно считать, что j0s Ф 0. Будем далее считать, что \ыФ 0, т. е. f(0, Я) Ф Ф-Q. Будем разыскивать решения х = х(Х) уравнения fix, Я) = 0, (3) где f определена равенствами (1), (2), представимые в виде л : = + х, (4) где хгф 0, а Х=0{Яе) при Я-> 0. Чтобы найти возможные значения показателя е и коэффициента хе, нужно подставить (4) в (I) и приравнять нулю главный член, т. е. коэффициент при наинизшей степени Я. Однако, пока показатель е остается неизвестным, нельзя сказать, какие из членов (после этой подстановки) будут низшими. Ясно только, что члены наинизшего порядка содержатся среди следующих: /оо*00. L*> 0k+ke> (5) где к пробегает те из значений 1, 2, ..., л— 1, для которых fk(Х)Ф 0. Так как /0о Ф 0 и f0n Ф 0, то отличны от нуля по меньшей мере два члена в (5). Для уничтожения члгнов наинизшего по Я порядка необходимо подобрать показатель е так, чтобы по крайней мере два из показателей р0, р* + кг, рл + ле совпали, а остальные были не меньше их. Это соображение позволяет отыскивать все возможные значения е и соответствующие им значения коэффициента хе. Для нахождения значений е используется диаграмма Ньютона. Нанесем в декартовой прямоугольной системе координат точки (рис. 22) (0, р0), (k, рО, (л, р„), где k пробегает те же значения, что ив (5). Проведем в точке (0, ро) прямую так, чтобы она совпала с осью ординат, и станем ее вращать вокруг точки (0, ро) против часовой стрелки до тех пор, пока на нее впервые не попадет другая из нанесенных точек, например t(l, pi). Тангенс угла между этим положением прямой L и отрицательным направлением оси абсцисс равен одному из возможных значений е, ибо tg а = (ро — pi) /1-е. Если под таким углом провести прямые через точки (s, ps), отличные от попавших на L, то эти прямые будут лежать выше L, а потому ps + ss > pt -f- 1г. Отметим, что на прямой, соединяющей точки (0, ро) и (/, р/), могут оказаться и другие точки (k, рь). Будем теперь вращать прямую L в том же направлении вокруг той оказавшейся на прямой L точки (/, р; ), у которой абсцисса наибольшая, пока на L не попадет другая из нанесенных точек, например (р, рР). Тангенс угла между новым направлением прямой L и отрицательным направлением оси абсцисс определит другое возможное значение е: tga = (pi — рр)/{р — 1) = г, ибо прямые, проходящие через другие точки (s, ps) параллельно этому новому направлению L, будут лежать выше, а значит, pi + es > pi -f el = pp + ер. Продолжая этот процесс, получим всевозможные значения е. Выпуклая ломаная, соединяющая точки поворота прямой L, называется диаграммой Ньютона. Перейдем к определению возможных значений коэффициентов хе. Пусть (/, р, ) и (J, р/) — крайние точки одного из звеньев диаграммы — отрезка, определяющего одно из возможных значений е. Для того чтобы после подстановки (4) в (3) уничтожились низшие члены, необходимо и достаточно, чтобы я (О = Гад = о, (6) s где знак штрих у суммы здесь означает, что суммирование проводится по s, удовлетворяющим соотношению ps + se = р< + is. Уравнение (6) имеет / — i отличных от нуля корней (с учетом их кратности), т. е. столько корней, какова длина проекции взятого отрезка диаграммы. Отсюда видно, что этим методом получаются все п значений главного члена угхе в разложении (4). Для нахождения следующего члена разложения у нужно подставить (4) в (3) и тем же приемом определить низший член разложения, полагая Х = хАг' + О (Xе'). Продолжая этот процесс, можно показать (строгие формулировки и доказательства см. в [2], § 2), что все п решений уравнения (3) имеют вид (ряды Пюизо) х = хеХг + луАе + лге»Ае +..., (7) где е С е' < е" < ..., причем числа г, е', е", ... являются дробями с конечным общим знаменателем. Ряды (7) сходятся Замечание (см. п. 2.4 [2]). Пусть хе— корень уравнения (6). Будем называть его простым, если производная многочлена Р на этом корне Рх{хе)ф 0. Можно показать, что если хе — простой корень, a z = q/p — несократимая дробь, то ряд (7) принимает вид +< *> х(Я)=1хйе^. (8) k = q Отметим, далее, что диаграмма, построенная для определения первого показателя е, имеет общую длину звеньев, равную п. Она разбивается в общем случае на три участка: убывающий, постоянный и возрастающий. Убывающий участок (в наших предположениях он существует) определяет положительные значения показателей е и, значит, приводит к определению решений уравнения (3) таких, что х(0) = 0. Постоянный участок диаграммы соответствует значению е = 0 и определяет, согласно (4), неявные функции х = х(Я) вида х(я) = хо + о(1) при Я —> 0, где Хо ф 0. Наконец, возрастающий участок диаграммы Ньютона приводит к определению так называемых «больших решений» уравнения (3), стремящихся к бесконечности при Я- чения показателя е отрицательны. 37.2. Примеры на определение неявных функций с помощью диаграммы Ньютона. Приведем несколько примеров, иллюстрирующих метод. Пример 1. Рассмотрим следующее кубическое уравнение с малым параметром Я: (— Я + Я2) + х (1 + Я-Я2) + х2(- 1 - Я2 + Я3) + х3Я = 0. (1) Выберем декартову прямоугольную систему координат. По оси абсцисс будем откладывать значения показателей k степеней х в уравнении (1), а по оси ординат будем откладывать значения показателей рй степеней Я в этом же уравнении (рис. 23).
Построим точки Л0 = (0, 1), А\ =(1, 0), Л2 = (2, 0), Л3 = = (3, 1). Выпуклая ломаная, соединяющая последовательно эти точки, и является, согласно п. 37.1, диаграммой Ньютона уравнения (1). Ее убывающее звено — отрезок, соединяющий точки Л0 и Ль — соответствует значению е=1 и определяет единственное решение Х1(Я) уравнения (1), аналитическое при X = 0, такое, что х(0)= 0, согласно теореме п. 36.5. При этом х, (Я)= Я + о(Я). Постоянное звено диаграммы — отрезок, соединяющий точки А у и Л2, — определяет неявную функцию х(Я), удовлетворяющую условию х2(0) = 1, также аналитическую при к = 0, так что х2(А, )—1 + о(1) при Я, -> 0. Наконец, возрастающая часть диаграммы также состоит из одного звена — отрезка, соединяющего точки А2 и Л3. Этому отрезку отвечает значение е = —1 и «большое» решение х3(Я) уравнения (1): х3(Я) = Я~' + о(1) при Я, -»0. Упражнение 1. Покажите, что х3(Я) разлагается в сходящийся в окрестности точки л = 0 с выколотой точкой % = О ряд Лорана оо
Указание. Воспользуйтесь замечанием п. 37Л и простотой соответствующего корня уравнения (6) п. 37Л. * А Аз г\ И 0 12 3 Рис. 23. Рис. 24. Упражнение 2. Найдите с точностью О (к) решения х, (к), /=1, 2, 3, уравнения (1). Итак, все три решения уравнения (I) можно найти методом диаграммы Ньютона. Пример 2. Пусть / (х, Я) = Я2 — Ях2 - Ях3 + х5 = 0. (2) Построим точки А0 = (0, 2), А\ — (2, 1), Л2 = (3, 1), Л3 = (5, 0) (рис. 24). Диаграмма Ньютона имеет только убывающую часть и состоит из двух звеньев — отрезка АйА\ и отрезка Л]Л3. Им отвечают два значения е: е=1/2 и е = 1/3. Полагая в (2) х = х, /2Я1/2 + Xlf2(k), получаем для определения хх/2 уравнение 1 — x\j2 = 0, откуда ху, = ±1, причем оба корня простые. Аналогично, полагая в (2) х = х 1/зЯ1/3 + Х1/3(к), приходим к уравнению — х2/3 + Х[/3 = 0. Это уравнение имеет три ненулевых простых корня xi/3 = -v^l. Итак, уравнение (2) определяет двузначную неявную функцию и трехзначную неявную функцию оо х(Я)=£ хмЯ*/3. (4) k=i Упражнение 3. Покажите, что при Я> 0 уравнение (2) имеет два вещественных решения вида (3) и одно вещественное решение вида (4). Упражнение 4. Найдите вещественные решения уравнения (2) при Я < 0. Замечание. В случае кратных корней определяющего уравнения (6) п. 37.1 приходится несколько раз (конечное число) строить диаграммы Ньютона, определяя показатель е, затем е', г", ... в разложении (7) п. 37.1, пока некоторый корень Хе' ••■ ' не окажется простым (см. п. 2.5 [2]). Пример 3. Пусть / {х, Я) = х2 — 2кх -f А2 — ж3 = 0. (5) Упражнение 5. Покажите, что уравнение f(x, Я) = 0 имеет решение вида х(к) = Я + о(Я), причем 1—двукратный корень определяющего уравнения. Для нахождения следующего члена х(к) полагаем в (5) х = Я + и. После уничтожения подобных членов получаем для определения и уравнение и2 - Я3 - ЗЯ2ы - ЗЯы2 - и3 = 0. Упражнение 6. Постройте диаграмму Ньютона для этого уравнения и покажите, что и = Я3/2, причем 1 — простой корень определяющего его уравнения. Таким образом, уравнение (5) имеет двузначное решение вида *(Я) = Я + Я3/2+ Т, хккщ. (6) 1=2 Упражнение 7. Покажите, что в вещественном случае при Я > 0 уравнение (5) определяет два решения вида (6), а при Я < 0 не определяет непрерывных решений таких, что *(0) = 0. Упражнение 8. Покажите, что уравнение (5) определяет единственную непрерывную неявную функцию х{к), удовлетворяющую условию Jt(0)= 1. 37.3. Постановка задачи о ветвлении в простейшем случае. Пусть некомплекснозначная функция f(x, k) двух комплексных переменных дг и Я аналитична в точке (0, 0), и пусть /(0, 0) = 0. Разложим f(x, Я) в двойной степенной ряд: f(x, k)= £ fux'k', (1) t+I> 1 и пусть числа г> 0 и р> 0 таковы, что при сходится, мажорирующий ряд (1), числовой ряд £ \fi, \rlp'. (2) Нашей целью является локальное определение непрерывных неявных функций х = х{Х)— решений уравнения f(x, X) = 0, (3) удовлетворяющих условию х{0)= 0. Ниже такие неявные функции мы будем называть малыми решениями уравнения (3). Случай, когда /ю = fx (0, 0) ф 0, уже рассмотрен нами в теореме п. 36.5. Согласно этой теореме уравнение (3) имеет единственное малое решение, аналитическое в точке X = 0; значит, представимое сходящимся рядом оо x(k)=ZxkXk (4) ft=i с ненулевым радиусом сходимости. Ниже мы предполагаем, что /ю = 0. Это означает, что мы не можем воспользоваться теоремой о неявных операторах п. 36.5. Уравнение (3) принимает теперь следующий вид: fo.A+ Е = 0. (5) I + /52=2 Естественно предположить, далее, что найдется номер п такой, что fto — 0, 1 = 2, .... n-l, fn0Ф0. (6) В противном случае уравнение (5) можно сократить на X, и если fa ф 0, то оно малых решений не имеет. Если же/oi = 0, то после сокращения на X мы снова получим уравнение типа (4). Оказывается, что в предположении (6) уравнение (5) имеет ровно п, с учетом кратности, малых решений и все они предста- вимы сходящимися рядами по целым или дробным степеням параметра X. Доказательство этого утверждения может быть проведено с помощью так называемой подготовительной теоремы Вейерштрасса. Согласно этой теореме, в сделанных нами относительно f(x, X) предположениях, в окрестности точки (0, 0) эта функция может быть представлена в виде f(x, X) = pn(x, X)q{x, X), (7) где q(x, X)—аналитическая в (0, 0) функция, причем < 7(0, 0 Ф 0, а рп(х, X)—многочлен вида рп(х, К) = хп + рп_, (*, X) с аналитическими при Я = 0 коэффициентами, удовлетворяющими условиям pk(0) = 0, k = 0, 1, ..., п—1. Из (7) видно, что малые решения уравнения (5) и малые решения уравнения Рп(х, Я) = 0 (8) совпадают. Но тогда, согласно методу диаграммы Ньютона (см. п. 37.1), уравнение (8), а с ним и уравнение (5), имеет п малых решений, представпмых сходящимися рядами по целым или дробным степеням Я. Для практического нахождения малых решений уравнения (5) нет необходимости переходить, к представлению (7). Можно применить метод диаграммы Ньютона непосредственно к уравнению (5). В этом случае диаграмма может состоять из счетного числа отрезков. Однако поскольку нас интересуют лишь малые решения уравнения (5), то мы должны рассмотреть только убывающий участок диаграммы Ньютона, который всегда состоит из конечного числа звеньев. Упражнение. С помощью метода диаграммы Ньютона найдите все малые решения уравнения sin х — х -f х2 sin Я — Я4 = 0. Указание. Воспользуйтесь тейлоровским разложением синуса. 37.4. Точки ветвления и точки бифуркации. Продолжим исследование уравнения (1) п. 36.1 F(x, X) = 0 (1) в предположении, что F(x0, Я0) = 0. (2) Пусть оператор F определен на множестве Q, Q(х0, Я0) < = X -j- Л, а значения F лежат в У (X, А и У — банаховы пространства). Если существуют числа г > 0 и р > 0 такие, что при каждом Яе5р(Яо) существует единственное решение х = х(Я)е eS, ( *о) уравнения (1), то точку ( а'о, Яо) будем называть регулярной точкой этого уравнения. Теоремы о неявных операторах дают условия, достаточные для регулярности точки (хо, Яо). Среди нерегулярных точек важное место занимают точки ветвления. Определение 1. Точка (хо, Я0) называется точкой ветвления уравнения (1), если для любых г> 0 и р> 0 найдется Яе5р(Яо), которому отвечают по крайней мере два решения уравнения (1), лежащих в шаре Sr(x0). Приведем простейшие примеры точек ветвления. Пример 1. Для уравнения х2 — Я = 0 в комплексном случае точка (0, 0) является точкой ветвления, так как уравнение определяет в ее окрестности двузначную неявную функцию х— д/я._Это верно и в вещественном случае, где два решения х = ± д/Я определены при Я > 0. Пример 2. Пусть X = Y — С[—1, +1], Л = £ > (рассматривается вещественный случай). Покажем, что для интегрального уравнения 1 1 x(t) = \ \sx2(s)ds (3) точка х = 0, Я = 1/2 является точкой ветвления. В самом деле, 1 1 из (3) следует, что x(t)= Ха Ц- Ь, где а — ^ х (s) ds, b = ^ sx2X -i -i " X(s)ds. Интегрируя на [—1, 1] x(() и tx2{t), получим систему уравнений а = 21а + 26, 6 = 0. Если Хф\! 2, то а = 0, откуда.*■ (/) s=0. Если же Я =1/2, то а произвольно. Итак, уравнение (3) при всех X имеет тривиальное решение, а при X, = 1/2 решением (3) является также функция x(t)^= с, где с — произвольная постоянная. Поскольку при X — 1/2 уравнение (3) имеет бесчисленное множество решений, точка (0, 1/2) является точкой ветвления этого уравнения. Пример 3. Интегральное уравнение 1 1 x(i) = x\jx(s)ds+ J x2(s)ds о о имеет два решения: х(/) = 0 и *(/)= 1 —X. Следовательно, точка (0, 0) является его точкой ветвления. Вернемся к уравнению (1). Пусть теперь f(0, Я) = 0. Определение 2. Точка Хо называется точкой бифуркации уравнения (1), если точка (0, Яо) является точкой ветвления этого уравнения. Примеры 2 и 3 дают, очевидно, примеры точек бифуркации. 37.5. Уравнение разветвления Ляпунова — Шмидта. Предположим здесь, что оператор F(x, X) непрерывен в £ 2(дго, Яо) и что он имеет в Q(*o, Яо) непрерывную частную производную Fx(x, Я). Пусть, далее, оператор А ——Fx(x 0, Я0) фредгольмов, причем п = & \m N1 (N(А)—подпространство нулей А, см.§ 21). Для изучения уравнения (1) с условием (2) п. 37.4 запишем это уравнение в виде Au = R(u, p), (1) где и = х — хо, р = Я —Яо, R{u, р) = f (л-0 + ы, Я0.+ р).— —Fx(x0, Х0)и. Пусть {ф, }? — базис в N (А), {у}" — биортогональная к нему система из Х*\ пусть, далее, — базис в N (A*), a fo}? — биортогональная к нему система элементов из Y. Введем линейный оператор п В = А + К, где К= Z < ■, yt)zt. i-l Согласно лемме Шмидта (п. 21.4) оператор В непрерывно обратим. Запишем теперь уравнение (1) в виде -эквивалентной ему системы: п Ви — R [и, р) + £ 1, 2,, (2) i~l tk = (u, Vk), k = \,..., n. (3) К уравнению (2), если рассматривать (р, |ь.... |„JsE" 41 как параметр, можно применить теорему п. 36.3 о неявных операторах. Однако удобнее сначала немного преобразовать это уравнение. А именно положим в (2) п u = v + £ ьчч. (4) Поскольку Вф; = г,, i — 1, 2. ........ я, подстановка (4) в (2) приводит к уравнению Bv = R (у + 2 £ /Ф*. й) • (5) Это уравнение имеет при всех достаточно малых р, gi, ,.., единственное малое решение у = у(р, £ i £ „). Следовательно, уравнение (2), в соответствии с (4)> имеет единственное малое решение п U = v(n, li.............................. £ n)+Zli< pi. (6) i-i Это решение должно также удовлетворять уравнениям (3).Учитывая условия биортогональности < ф/, у/> = 8i/, мы получаем для определения |ь..., |л следующую систему уравнений: < у(р, |„..., £ „), Y*> = 0, k=l.................... п. (7) Эта система называется уравнением разветвления Ляпунова — Шмидта. Нетрудно показать, что формула (6) устанавливает взаимно однозначное соответствие между малыми решениями уравнения (1) и системы (7). Придадим теперь уравнению разветвления (7) другую, более удобную форму. В п. 21.4 мы установили, что 1=1 где черта означает комплексное сопряжение. Отсюда, вследствие биортогональности < г,, -ф/> = 6, /, имеем К*Ф/=)'/ (проверьте! ). Следовательно, так как е N(A*), = (А" + /Г)Ч> / = Г+/ = V/, /= 1........ л- (8) Применяя к обеим частям уравнения (5) функционал 'Фа, получаем с помощью формул (8) ( r (о + £ 5.Ф., ц), = (Во, ф») = (у, = < о. Y*>. Обращаясь к системе (7), мы видим теперь, что ее можно ваписать в такой форме: (я (о (И, Si..... £ «) + £ I*), ^ = 0, k= 1................................................................. п. С учетом формул (6) получаем окончательно < Я(и(ц, ? ь.... У, li)> +*> = 0, k = \....................... п. (9) Напомним, что функция ц(р, £ ь..., |„) определяется как малое решение уравнения (2). 37.6. Исследование задачи о ветвлении в одномерном аналитическом случае. В этом пункте мы предположим дополнительно, что оператор F(x, X) аналитичен в точке (*оДо), т. е. разлагается вблизи (х0, Ао) в степенной ряд (F(x0, А0) = 0) F(xA)= £ РфЩ. t+i> 1 Далее, предполагается, что п = dim N(A) = 1. Положим ф! = ф, 2i = 2, ^ = 1. Уравнение (2) п. 37.5 здесь при нимает вид Bu = Fmii+ Е Л/«У + |г. (1) i+l> 2 Положим В-1 = Г и будем искать малое решение уравнения (1) в виде £ (2) r+s^l Чтобы получить уравнение разветвления, мы должны подставить этот ряд в уравнение (9) п. 37.5, которое здесь выглядит так: , ( {^oiH +.+E /ии1ц', ^ = 0. (3) Подстановка (2) в (3) приводит к следующему уравнению: Л.Ш+ Е Л/£ У = о. (4) Таким оЗразом, уравнение разветвления Ляпунова — Шмидта в рассматриваемом случае совпадает с уравнением (5) п. 37.3 и может быть исследовано с помощью метода диаграммы Ньютона. Возможен, впрочем, и вырожденный случай, когда /oi = 0. fti = 0, i + j ^ 2. В этом случае в качестве | = |(р) можно взять любую функцию к. Если же выполнено условие (6) п. 37.3, то уравнение (3) имеет ровно п, с учетом их кратности, малых решений, причем все они разлагаются в сходящиеся ряды по целым или дробным степеням параметра ц. Но тогда это заключение верно и для исходной задачи. Коэффициенты уравнения разветвления (4) можно подсчитать с помощью (1), (2), (3). Упражнение 1. Покажите, чго ию = Г2 = < р. Получите выражения коэффициентов уравнения разветвления (4): foi = (Foi, V), f2o = (F02< p\ (5) Различные конкретные приложения теории ветвления читатель может найти в [2], гл. X. Ограничимся здесь следующим примером. Рассмотрим краевую задачу для дифференциального уравнения с малым параметром р: х" + х = ц sin / — х2, (6) х (0) = х (л) = 0. (7) о Здесь х = С2 [0, я] — вещественное пространство дважды непрерывно дифференцируемых на [0, я] функций, удовлетворяющих граничным условиям (7), А = Е\ У = С[0, л]. Можно принять ф = if> = 2 = y = s'n t- Далее, главные коэффициенты уравнения разветвления (3) имеют вид (см. (5)) л /oi = (sin/, ф) = ^ sin2tdt = -^-, о л /20 = — {sin2t, i|? ) = — ^ sin3tdt = —j-. Следовательно, убывающая часть диаграммы Ньютона состоит из одного отрезка, соединяющего точки (0, 1) и (2, 0), так что 6 = 1/2 и x = xmW'2 +о(ц! '2). Для определения х1/г получаем уравнение f01 + = О, откуда хщ = ±. Итак при р > 0 задача (6) — (7) имеет два малых решения вида *(/) = ± д/ц. sin / + о(Уц). Эти решения аналитичны относительно переменной Viu Упражнение 2. Найдите точки бифуркации краевой задачи и главные члены ее решений -х" + Хх = х3, х(0) = х(п) = 0. Упражнение 3. Найдите главные члены малых решений интегрального уравнения л Х О = " л" S (S'n t sin s)x ^ sin31 Глава X Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-11; Просмотров: 939; Нарушение авторского права страницы
