Элементы теории экстремумов и выпуклого анализа

⇐ ПредыдущаяСтр 17 из 19Следующая ⇒

Вариационные методы широко применяются в различных областях математики и ее приложений. В этом параграфе приведены лишь отдельные фрагменты теории. В п. 40.1 даны необходимые и достаточные условия локального (безусловного) экстремума, а также часто работающая в приложениях теорема 3 о глобальном экстремуме. В п. 40.2 выяснены связи между экстремальными задачами для дифференцируемых выпуклых функционалов и задачами для монотонных операторов. Заметим, что аналогичные связи имеются между конечными выпуклыми функционалами и многозначными монотонными операторами. Этот круг вопросов, в частности фундаментальное понятие субдифференциала, не включен из-за ограниченного объема книги. Довольно подробно освещаются в п. 40.5 теоремы отделимости база выпуклого ^рцза. Наконец, в п. 40.6 освещается круг вопросов, связанных с известной теоремой выпуклого программирования — теоремой Куна — Таккера. Дальнейшие сведения и многочисленные приложения можно найти в специальной литературе, например в монографии [11].

Всюду в § 40 все пространства вещественные.

40.1. Задачи на экстремумы в нормированных и в банаховых пространствах. Пусть ф(дг)—функционал в нормированном пространстве X (т. е. оператор со значениями в £ '), определенный в окрестности S точки дг₀. Говорят, что ф(х) достигает в точке локального минимума (максимума), если найдется окрестность Sj cz S точки хо такая, что

ф (х) > ф (х₀) (ф (х) < ф (х₀)) для всех xeS|. (1)

Если ф(х) достигает в хо локального минимума или локального максимума, то говорят, что ф(х) достигает в хо локального экстремума. Если (1) неравенства строги, то говорят о стро- ioM локальном экстремуме (минимуме или максимуме).

Следующая теорема обобщает известную теорему Ферма, дающую необходимое условие экстремума (см. [18]).

Теорема 1. Пусть функционал ф(х) определен в окрестности точки х₀, достигает в хо локального экстремума и имеет в точке х₀ первую вариацию 6ф(хо; h). Тогда 6tp(xo; h)= 0.

Доказательство. Для каждого ЛеХ рассмотрим числовую функцию а(0= ф(хо + th). Так как она имеет в точке l = 0 экстремум, то

0 = а'(0) = lim ф('о ~~+ ^-~~ф(*о) _{= бф{хо}. _hl

Теорема доказана.

Следствие 1. Если в условиях теоремы 1 пространство X банахово, а функционал ф(х) дифференцируем в точке хо в смысле Гато [Фреше), то ф'(х_о) = 0.

Для доказательства заметим, что из дифференцируемости _Фпо Гато следует, что бф (х₀; Л) = ф' (х₀) h (см. п. 32.6).

Следующая теорема обобщает известное достаточное условие строгого локального экстремума (см. [18]).

Теорема 2. Пусть функционал ф(х) дважды непрерывно дифференцируем в смысле Фреше в окрестности S точки Хо банахова пространства X, причем ф'(х_с) = 0. Тогда, если квадратичный функционал ф" (x₀)h² > • 0 при всех h ф 0 (положительно определен), то хо — точка строгого локального минимума-, если же ф" (х₀)Л²< 0 при ИфО (отрицйтельно определен), то xq —точка строгого локального максимума функционала ф(х).

Доказательство. Воспользуемся формулой Тейлора. Для любых h таких, что х₀ + Л е S, имеем

Ф (х₀ + Л) = Ф Ы + Ф' (х₀) h + J (1 - 0) ф" (хо + Щ dm. (2)

Доказательство этой формулы получается посредством интегрирования по частям в формуле Лагранжа (см. формулу (1) п. 32.2): _f

ф (*о + h) — ф (х₀) = ^ ф' (х₀ + Щ dQh —

= - $< р'(x₀ + 6A)d(l —в)Л= —(1 — 6)ф⁷(x₀ + Qh)h^ +

1 I

+ J (1 - 0) < р" (х₀ + ВЛ) dQ А²= ф' (*„) h + J (1 -0) _Ф" (х₀ +0А) dQ А².

(| о

Так как ф'(х_а) = 0, то формула (2) примет следующий вид: Ф (х₀ -f А) — ф (х₀) = j ф" (х₀) h² +г (А),

где г (А) = J (1 - 0) [_Ф" (х₀ + 0А) - _Ф" < х₀)] Л².

Вследствие непрерывности ф" (х) л (А)-»-0 при я -> 0 (проверьте! ). Поэтому знак разности ф(х₀ + Л)—ф(х₀) определяется для всех достаточно малых по норме А знаком второго дифференциала ф" (х₀)Л², что и доказывает наше утверждение.

Приведем теперь несколько более тонких фактов об экстремуме функционалов. Они используют следующее важное понятие.

Определение. Функционал ф(л'), определенный на множестве М банахова пространства X, называется слабо полунепрерывным снизу на М, если из того, что х_п-»-хо слабо при п -> ■ оо, х_п е М, х_а < = М, следует, что

Ф (х₀) < 1гаф (х„).

П-> оо

Поясним, что lim с_п—это нижний предел числовой после-

довательности {а_л}, т. е. наименьший из ее частичных пределов (см. [18]).

Теорема 3. Слабо полунепрерывный снизу функционал ф(х), заданный в рефлексивном банаховом пространстве X, ограничен снизу и достигает наименьшего значения на каждом ограниченном, слабо замкнутом множестве М cz X.

Доказательство. Пусть {х„}—минимизирующая последовательность для ф(х) на М, т. е. такая последовательность из М, что при п -V ОО

Ф (х_п) -> ■ inf ф (х) = d — оо.

Вследствие ограниченности М. {х„} ограничена, а вследствие рефлексивности X существует ее слабо сходящаяся подпоследовательность {х„< }, х_п> -+ха слабо при п-* оо. Далее, JoeM, так как М слабо замкнуто. Так как

limф(х„) = d = lim ф(х₀),

п-> °о п-> оо

то из слабой полунепрерывности ф(х) снизу вытекает, что ф(х₀)=^^, т. е. d > — оо и ф(x₀)=d. Теорема доказана.

В приложениях иногда удобнее применять не саму теорему 3, а ее частные случаи.

Следствие 2. Слабо полунепрерывный снизу функционал в рефлексивном банаховом пространстве достигает своего наименьшего значения на каждом ограниченном замкнутом выпуклом множестве.

Доказательство следует из того факта, что всякое выпуклое замкнутое подмножество банахова пространства является слабо замкнутым.

Следствие 3. Слабо полунепрерывный снизу функционал ф (х), заданный всюду в рефлексивном банаховом пространстве, такой, что при ||хЦ-»-оо, достигает наименьшего значения на каждом непустом замкнутом выпуклом множестве Q.

Доказательство. Возьмем i/eQ и выберем R > О такое, что ф(х)> ф(г/) при всех х с НхЦ^ R. Тогда на

М = {х; xeQ: IUIK/? },

по следствию 2, ф(дг) достигает минимума в некоторой точке хо- Так как вне М или ||х|] > R, или х ф Q, то Ф (х₀) = min ф (х).

Задача. Покажите, что всякий слабо полунепрерывный снизу функционал в банаховом пространстве достигает своего минимума на каждом бикомпактном множестве (см. п. 19.1).

40.2. Выпуклые функционалы и монотонные операторы. В этом пункте рассмотрена связь выпуклых функционалов (см. п. 1.7) и монотонных операторов (см. определение 1 п. 39.1). Рассмотрены также простейшие вопросы экстремальной теории выпуклых функционалов.

Теорема. Пусть функционал ф(х) дифференцируем в смысле Гато в каждой точке банахова пространства X. Тогда эквивалентны следующие утверждения:

1) функционал ф(х) — выпуклый-,

2) оператор ф'(х) монотонен-,

3) для любых х, у е X

ф(«/)-ф(*)> ф'(*)& -*)• (0

Доказательство. 1)-> 2). Рассмотрим при произвольных фиксированных х, i/eX и le(- oo, -f oo) числовую функцию < о~(0= qf(*-f*(y — х)). Покажем, что а> УУ выпукла. Для любых U, /2 и ае[0, 1] имеем

аа> (/, ) + (1 — а) со (/₂) — со (ai\ + (1 — а) < ₃) —

= аф (х + /, (у — х)) + (1 - а) ф (* -f tz (у — х)) —

- Ф (* + Hi + (1 - а) /, ] (у - х)) > О,

ибо

* + [а/, 4- (1 ~ а) Q (у ~ X) = а [х + (у - x)I+(t -а) [x+t₂ {у~х)\

а функционал ф — выпуклый. Далее, со(0 дифференцируема и со'(/) = ф'(х + t(y — х))(у — х), причем со'(t) возрастает, так как ш(0 выпукла (см. [18]). Но тогда со'(1) ^ со'(0), т. е. < Р'(У) (У — х)> ср'(х) (у — х), или [ф'(у) — ф'(х)Ш — Так как ф'(х)е 3? {Х, £ ') = X*, то последнее неравенство можно записать в форме, используемой в теории монотонных операторов: < у—х, ф'(у) — ф'(х))^0. Доказана монотонность оператора ф'(*).

2) -> -3). Вследствие монотонности ф'(*) имеем

[ф' (* + tUy- х)) — ф' (* + /_а (у - х))] (/, - /₂) (у-х)> 0.

Отсюда при t\ > /₂ получаем неравенство

ф' (х + h{y- х)) {у — х) > q> ' (х + /_а (у - *)) (г/ — х),

которое означает, что со'(/) возрастает. Но тогда, пользуясь формулой конечных приращений Лагранжа, получаем (£, з е (0, 1))

Ф (У) ~ Ф (х) = со (1) - со (0) = со' (|) > щ' (0) — ф' (х) (у - х).

Тем самым неравенство (1) доказано.

3) —1). Для любого ае[0, 1], пользуясь неравенством (1), получим

аф (х) + (1 — а) ф (у) — ф (ах -f (1 — а) у) ~

= а [ф (х) - _Ф (ах + (1 - а) у)] + (1 - а) |_Ф (у) - < р (ах + (1-а) у)\ > > а_Ф' (ах + (1 - а) у) (1 - а) (х - у) +

+ (1 -а)ф'(ах + (1 - а) у) а (у - х) = 0.

Следовательно, функционал ф(х)—выпуклый. Теорема доказана.

Из доказанной теоремы вытекает ряд важных следствий. Следствие 1. Пусть ф(х)—всюду определенный в нормированном пространстве X выпуклый функционал. Тогда каждая точка Хо его локального минимума является точкой его глобального минимума.

Воспользуемся справедливостью следствия 1 при X = ЕК Рассмотрим функцию г|)(/)= ф(х₀ + th). Тогда

Ф(*о + Л) = (1) Ч> (0) = ФМ,

так как / = 0 — точка глобального минимума if (0- Из произвольности h вытекает наше утверждение.

Следствие 2. Всякий заданный всюду в банаховом пространстве, дифференцируемый по Гато выпуклый функционал ф(х) слабо полунепрерывен снизу.

Действительно, если х_п-*-х₀ слабо при п-+оо, то по неравенству (1)

Ф (*)< Ф Ы + ф' W (х — х_п).

Переходя в этом неравенстве к нижнему пределу при оо и учитывая, что ц> '(х) {х — х_л)-> 0, получаем ф (х) ^ lim ф(*„).

Следствие 3. Точка Хо является точкой минимума функционала ф(х)—< х, />, где /еГ, а ф — выпуклый и дифференцируемый в точке Хо по Гато, когда х₀ является решением уравнения ф" (х) = f.

Действительно, если х₀ — точка минимума, то и без требования выпуклости ф по теореме Ферма (см. теорему 1 п. 40.1) ф'(*о)—f. Обратно, если ф'(^о) = /, то согласно формуле (1)

ф {х) — (х, /> — ф (х₀) — (*„, /) = ф (х) — ф (х₀) ~(х — х₀, ф' (х)) > 0.

Можно показать также, что из выпуклости и дифференцируемое™ по Гато функционала следует деминепрерывность (см. п. 39.3) его производной.

Таким образом, имеются глубокие связи между выпуклыми функционалами и монотонными операторами. Дальнейшие сведения, а также приложения можно найти в [12].

В ближайших пунктах будут изложены вопросы, лежащие в основе выпуклого анализа: выпуклые конусы и частичная упорядоченность, продолжение неотрицательных линейных функционалов и теоремы отделимости. В заключение параграфа мы остановимся на некоторых важных теоремах выпуклого анализа.

40.3. Конусы в линейных и в нормированных пространствах, частичная упорядоченность. Пусть Е — линейное пространство.

Определение 1. Множество KczE называется конусом, если для каждого хе К и для каждого а ^ 0 элемент ах е К.

Определение 2. Конус К называется выпуклым, если всякий раз из х е К, у е /( следует, что х + у е К.

Упражнение 1. Покажите, что выпуклый конус представляет собой выпуклое множество.

Рассмотрим простейшие примеры выпуклых конусов.

Пример 1. В R^m рассмотрим множество R+ (неотрицательный ортант), состоящее из всех векторов х = (|_г)" таких, что

?! ^0, / = 1................... т. — выпуклый конус, так как а^+Рл^О, -

если а> 0, р> 0, 1< > 0, т^О.

Пример 2. В С[а, Ь] рассмотрим множество С+[а, Ь], со* стоящее из всех неотрицательных и непрерывных на [а, Ь] функций. Очевидно, Ь] — выпуклый конус.

Упражнение 2. В l_p, р ^ 1, рассмотрим множество К элементов х = (Ы°1> удовлетворяющим неравенствам

/Ь-1 у/, ^(jClSif), Л = 2, 3, ...

Докажите, что /С — выпуклый конус.

Если в линейном пространстве £ задан выпуклый конус К, то в Е можно ввести частичную упорядоченность: для некоторых пар элементов х, у е Е можно ввести понятие «больше или равно».

Определение 3. Пусть К — выпуклый конус в Е. Если х е К, то будем писать х ^ 0 и называть элемент х неотрицательным. Если х, у^Е и х — у е К, то будем писать х ^ у и говорить, что х больше или равен у. При этом будем говорить, что пространство Е частично упорядочено конусом К.

Упражнение 3. Покажите, что отношение ^ обладает следующими свойствами:

1) х^х (рефлексивность);

2) если х^ у и ^ г, то I ^ г (транзитивность);

3) если х ^ у и а ^ 0, то ах ^ ау (положительная однородность);

4) если х_х ^ yi и то xi + х_г > у\ + Уг (аддитивность).

В дальнейшем будет использоваться также отношение ^ (меньше или равно). Неравенство у ^ х, х, у^Е, будет означать, что х — у е К, т. е. х ^ у.

Определение 4. Конус где Е — нормированное

пространство, называется телесным, если он имеет хоть одну внутреннюю точку (см. п. 3.1).

Упражнение 4. Покажите, что конусы Е+ и С₊ [а, 6] (см. примеры 1 и 2) телесные. Здесь Е+ — неотрицательный ортант евклидова пространства Е^т.

Пример 3. Покажем, что /+ — множество тех элементов х = (УГ гильбертова пространства /₂, для которых все О, является выпуклым конусом в /₂, но не является телесным конусом. Ясно, что если х е /+, то и ах < = /+ при а ^ О, т. е. /+ — конус. Далее, если х = (|_г)Г ^ У = (л^^Д, т. е. h > 0, •П_г> 0, то и х + у< ^? +, ибо h + rii^O для всех i, причем х +

Покажем, что конус {+ не является телесным. Пусть х₀ = = (5, о)П-1 е/+, т. е. /=1, 2, ... Если хоть одна коор

дината точки х₀ ifco = 0, то хо не является внутренней точкой

Г+. Действительно, возьмем точку х_к = (\, )7-и где —! о/ при i ф k, a £ *, = — е/2, где е > 0. Имеем ||х_к — х_а|| = е/2, т. е. jc_fteS_e(xo) для любого е> 0 и х_к& 1%. Пусть теперь точка *о = (!; о)Г-1 такова, что все l_i0 > 0. Возьмем точку x_k = (£ _l)? =i> где h = t_iQ при 1ф к, а %_к = — £ _м.

Теперь ||х_к — х_а|| — 2|_А-> 0 при с«, но x_k&.t+. Таким

образом, ни одна точка /+ не является внутренней, и, значит, этот конус не является телесным.

Упражнение 5. Выясните, какие из следующих конусов в£ ³ являются выпуклыми и какие телесными: 1) х² + у² ^ z²; 2) x² + y²^z², 2^0; 3) \у\< х, 2 = 0; 4) |у|< М, г = 0.

⇐ Предыдущая 10 11 12 13 14 15 161718 19 Следующая ⇒