Производственная функция Кобба-Дугласа

 

Широкое распространение получили двухфакторные производственные функции, характеризующие объем выпуска в зависимости от затрат труда и основных производственных фондов (капитала):

Y = f (L, K)

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

(5)

где a> 0; 0< a₁, a₂ < 1 – коэффициенты.

Функция впервые была рассчитана в двадцатых годах XX века по данным экономики США за тридцать лет. При этом было получено эмпирическое соотношение:

a1+a2»1

Часто используют следующую форму производственной функции Кобба-Дугласа (частный случай):

(6)

 

Иногда, для решения задач экономической динамики для длительного периода требуется учесть изменения производительности из-за влияния научно - технического прогресса. В таких случаях используют динамическую производственную функцию, например:

(7)

где b - коэффициент.

 

Здесь влияние научно-технического прогресса учитывается с помощью экспоненциальной функции времени. Коэффициент b имеет смысл темпа научно-технического прогресса.

Для расчета значений параметров производственной функции используется метод регрессионного анализа. Предварительно с помощью логарифмирования обеих частей (5) эта функция приводится к линейной:

ln Y = ln a + a₁ ln L+ a₂ ln K

Для случая производственной функции Кобба Дугласа в форме (7):

 

ln Y = ln a + a₁ ln L+ a₂ ln K+ b × t

 

Рассчитаем характеристики производственной функции Кобба-Дугласа. Средняя эффективность труда и капитала:

Величина m_L имеет смысл производительности труда.

Предельная эффективность:

Коэффициенты эластичности выпуска по труду и капиталу:

Отсюда видно, что коэффициенты производственной функции Кобба-Дугласа a₁ и a₂ имеют смысл коэффициентов эластичности выпуска по труду и капиталу.

Предельная норма замещения труда капиталом:

Аналогично, предельная норма замещения капитала трудом:

 

 

Эластичность замещения:

Для того чтобы рассчитать производную нужно вывести из уравнения (8) выражение для K/L и взять производную по S_LK.

Итак, эластичность замещения для производной функции Кобба-Дугласа равна 1.

Рассмотрим свойства производственной функции для случая производственной функции Кобба-Дугласа:

1. Y(0, 0)=0

2. , поскольку a₁> 0 и a > 0. Так же .

3. , поскольку a₁< 1, а остальные множители положительны. Аналогично . Таким образом, закон убывающей производительности в данном случае выполняется.

4. . Таким образом, производственная функция Кобба-Дугласа является однородной степени a₁₊a_2.

С помощью функции (6) можно исследовать соотношение между фондовооруженностью труда (K/L) и производительностью труда (Y/L). Разделим обе части (6) на L:

 

 

Обозначим через производительность труда, а через - фондовооруженность. Тогда последнее выражение примет вид:

Возьмем первую и вторую производные:

, так как (1-a)> 0.

, так как a < 0.

Таким образом, производительность труда растет медленнее его фондовооруженности.

 

 

5 Сетевое планирование и управление

 

Методы сетевого планирования и управления (СПУ) широко применяются в случаях, когда необходимо разработать, оптимизировать и контролировать сложный проект, состоящий из множества взаимосвязанных работ.

Ключевое понятие СПУ – работа или операция. Работы выполняются в четкой последовательности, известно, какие именно работы должны предшествовать данной (например, стены можно устанавливать только после заливки фундамента). Работа протекает во времени (главная характеристика работы – ее продолжительность) и, как правило, требует затрат трудовых и материальных ресурсов. Для визуального отображения комплекса работ используется сетевой график.

Одна из форм сетевого графика показана на рисунке 10. Здесь работы представлены в виде узлов графа, а стрелки представляют связи между работами. Именно такую форму используют многие системы управления проектами, такие как Microsoft Project.

 

 

Рисунок 10 – Сеть, ориентированная на операции

 

Более распространенная форма сетевого графика помимо работ включает события. Событие – это результат выполнения одной или нескольких работ. Событие не имеет продолжительности, считается, что оно происходит мгновенно.

На таком сетевом графике работа показывается стрелкой, событие – узлом графа. Возле стрелки, обозначающей работу, указывают ее продолжительность. Иногда вводят фиктивные работы для того, чтобы создать логическую связь между другими работами. Продолжительность фиктивной работы равна 0, на сетевом графике она отражается пунктиром. События нумеруются, соответственно работы обозначаются по номерам пердшествующего и последующего события, как показано на рисунке 11.

 

 

 

Рисунок 11 - Нумерация работ и событий

 

Существуют начальное и завершающее события графика. Начальное событие не имеет входящих работ, завершающее - не имеет исходящих. Начальное событие обозначает начало проекта, завершающее – его окончание.

Путь - это цепочка следующих друг за другом работ. Полный путь начинается в начальном событии и заканчивается в завершающем. Продолжительность пути - это суммарное время входящих в него работ.

Самый продолжительный полный путь называется критическим. Именно критический путь определяет суммарную продолжительность всего комплекса работ. Задержка любой работы, входящей в критический путь, увеличивает продолжительность всего комплекса работ. Работы критического пути выделяют жирными стрелками.

Требования к сетевым графикам:

- отсутствуют петли и циклы;

- имеется только одно событие без входящих работ (начальное);

- имеется только одно событие без исходящих работ (завершающее);

- необходима корректная нумерация событий. Любая работа не должна вести от события с большим номером к событию с меньшим.

Пример сетевого графика приведен на рисунке 12.

 

Рисунок 12 – Пример сетевого графика

 

Продолжительность работы будем обозначать t_ij, например, из рисунка 12 мы видим, что t_{3, 5} = 4.

 

 

Каждой работе и каждому событию соответствует несколько характеристик. Рассмотрим числовые характеристики для событий.

1) Ранний срок наступления события:

 

t_Р (j) = max { t_Р (i) + t_ij }

 

Нужно рассчитать для всех входящих в событие работ величину {t_Р (i) + t_ij} и выбрать максимальное из полученных значений. Ранний срок начального события равен 0. Ранние сроки наступления всех событий рассчитываются последовательно по номерам событий от начального к конечному. Ранний срок наступления конечного события – это время выполнение всего комплекса работ.

2) Поздний срок наступления события показывает самый поздний срок наступления данного события, при котором не произойдет срыва сроков окончания всего комплекса работ:

 

t_n (i) = min { t_n (j) - t_ij }

 

Рассчитывается по всем исходящим стрелкам. Расчет начинается с конечного события и проводится в обратном порядке. Поздний срок наступления конечного события равен раннему сроку.

3) Резерв времени события показывает, на сколько можно задержать его наступление без срыва графика:

 

R (i) = t_n (i) - t_Р (i)

 

Работы, лежащие на критическом пути не имеют резерва.

 

Обычно на сетевом графике числовые характеристики отображаются так, как показано на рисунке 13.

 

 

 

Рисунок 13 – Характеристики события на узле сетевого графика

 

На рисунке 14 рассчитаны числовые характеристики для приведенного выше примера.

 

Рисунок 12 – Расчет характеристик событий на сетевом графике

 

Время выполнения всего комплекса работ T = t_Р (7) = 23. Мы видим, что критический путь образован работами (1, 2)-(2, 5)-(5, 7). Из всех работ графика именно работы, входящие в критический путь требуют наибольшего внимания руководителя. Именно эти работы определяют срок окончания проекта. Если нужно ускорить проект можно каким-то образом перебросить ресурсы на эти работы и сократить их продолжительность.

Альтернативным способом отображения сетевой модели являются диаграммы Гантта (Рисунок 15). По оси абсцисс отражается время, по оси ординат – номер работы. Каждая работа представлена горизонтальным отрезком, длина которого равна ее продолжительности. Начало отрезка - время, когда можно начинать данную работу, оно совпадает со временем окончания той из предшествующих работ, которая заканчивается позже остальных.

 

 

Рисунок 15 - Диаграмма Гантта

 

Диаграмма Гантта также как и сетевой график позволяет рассчитывать числовые характеристики, определять время окончания всего комплекса работ и находить критический путь. Работы критического пути выделены на диаграмме жирными линиями.

Для работ сетевого графика также рассчитывают числовые характеристики.

1) Ранний срок начала работ совпадает с ранним сроком наступления предшествующего события:

 

t_{Р Н} (i, j) = t_Р (i).

 

2) Ранний срок окончания работы совпадает с ранним сроком наступления предшествующего события плюс продолжительность работы:

 

t_{Р О} (i, j) = t_Р (i) + t (i, j)

 

3) Поздний срок окончания работы - это поздний срок наступления последующего события:

 

t_{n О}(i, j) = t_n (j)

 

4) Поздний срок начала работы:

 

t_{n Н} (i, j) = t_n (j) - t (i, j)

 

5) Полный резерв времени показывает, на сколько можно увеличить продолжительность работы, чтобы не сорвать срок выполнения всего комплекса, при условии, что остальные работы завершаться вовремя:

 

R _n (i, j) = t_n (j) - t_Р (i) - t (i, j)

 

6) Независимый резерв времени показывает, на сколько можно растянуть продолжительность работы без ущерба для остальных работ. То есть независимый резерв показывает, насколько можно увеличить продолжительность работы, чтобы не увеличить срок выполнения всего комплекса работ, если при этом все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а последующие начинаются в ранние:

 

R _Н (i, j) = t_Р (j) - t_n (i) - t (i, j)

если R _Н < 0 то R _Н = 0.

7) Частный резерв времени первого рода:

 

R ₁ (i, j) = t_п (j) – t_п (i) - t (i, j)

 

8) Частный резерв времени второго рода:

 

R ₂ (i, j) = t_р (j) - t_Р (i) - t (i, j).

 

Для работы с сетевыми моделями используется различное программное обеспечение, которое позволяет управлять крупными проектами, причем в режиме реального времени, с использованием на реального календаря. Такие системы позволяют вводить ресурсы, необходимые для выполнения работ (например, исполнителей). Ресурсы могут иметь стоимость. Есть возможность автоматической оптимизации распределения имеющихся ресурсов для проведения работ. Есть возможность оптимизации проекта по критерию время/стоимость. Также есть возможность работы в условиях неопределенности, когда продолжительность каждой работы - случайная величина с заданными параметрами.

После того, как проект разработан, программная система позволяет контролировать его выполнение. Встроенные коммуникационные возможности позволяют взаимодействовать с исполнителями и руководителями отдельных частей проекта.

Примеры подобных пакетов - TimeLine, Microsoft Project.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Б2.П. ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ПРАКТИКА
2. Взаимосвязь с другими функциями организации
3. Гарантийная функция уставного капитала общества заключается в том, что стоимость чистых активов общества не может быть меньше размера уставного капитала.
4. Герой и персонаж (сюжетная функция)
5. Дисфункция сексуальная партнерская, дисгамия
6. Ж. Лакан. Функция и поле речи и языка в психоанализе.
7. Интегративная функция правовой информатики
8. Информационная функция маркетинга персонала
9. Как работать с функциями принадлежности.
10. Кейнсианская функция потребления
11. Кейнсианская функция потребления
12. Классификация правовых норм. Деление норм права по предмету правового регулирования, по функциям, объему регулирования, по характеру обязательности.