Лабораторная работа №5 – Расчет параметров производственной функции Кобба-Дугласа

Постановка задачи

Имеются данные о затратах труда L, капитала K и об объеме выпуска Y за несколько лет. Необходимо с помощью регрессионного анализа рассчитать коэффициенты производной функции в форме Кобба-Дугласа:

Для решения задачи использовать данные из таблицы. Следует оценить коэффициент детерминации регрессионного уравнения и убедиться в значимости коэффициентов уравнения. С помощью производственной функции найти значение выпуска, соответствующее значениям K=200, L=100. Оценить предельную норму замещения труда капиталом в этой точке. Расчет производить с помощью MS Excel. Построить трехмерный график функции и ее изокванты в пакете MathCAD.

Исходных данные:

L	K	Y

Пример решения

Введем данные таблицы в MS Excel. Для построения регрессионного уравнения необходимо провести линеаризацию уравнения. Возьмем натуральный логарифм обеих его частей и преобразуем:

ln Y = ln a + a₁ ln L + a₂ ln K

Мы получили линейное уравнение, куда входят ln Y, ln L и ln K. Коэффициенты уравнения ln(a), a₁, a₂. Мы должны строить регрессионное уравнение по переменным ln(Y), ln(L) и ln(K), для чего воспользуемся функцией ln() системы Excel. Соответствующие столбцы (D, E, F) показаны на рисунке 5.1.

Рисунок 5.1 – Исходные данные для расчетов

Теперь построим линейное регрессионное уравнение с помощью пункта меню «Сервис - > Анализ данных». Возможно, надстройка не установлена, в этом случае нужно добавить ее (она называется «Пакет анализа») с помощью пункта меню «Сервис - > Надстройки».

В появившемся списке выбираем инструмент «Регрессия». Диалог для построения уравнения показан на рисунке 5.2. Здесь мы должны указать интервал зависимой переменной (Входной интервал Y), в качестве этого интервала мы выбираем F1: F11, как это показано на рисунке. В нашем примере роль зависимой переменной играет ln(Y). Далее указываем интервал независимых переменных (Входной интервал X), в нашем случае это интервал D1: D11, который соответствует столбцам со значениями логарифмов затрат труда и капитала. Установим флажок «Метки», так как в интервалы мы включили и названия столбцов.

Рисунок 5.2 – Построение регрессионного уравнения

Полученный результат будет выведен на новый рабочий лист (рисунок 5.3).

Рисунок 5.3 – Регрессионное уравнение

Рассмотрим рисунок 5.3. Полученное значение коэффициента детерминации R² близко к единице, что говорит о высоком качестве уравнения – вариация независимой переменной на R² процентов объясняется вариацией аргументов. Таблица дисперсионного анализа позволяет сравнить сумму квадратов уравнения (ячейка С12) и остаточную сумму квадратов (ячейка С13). По этим значениям рассчитывается F-критерий Фишера. Вероятность того, что полученные результаты случайны (ячейка F12) крайне низка. В практике экономических расчетов в качестве критического принят уровень в 5%.

В следующей таблице приведены коэффициенты уравнения. Их значимость проверяется с помощью t-критерия Стьюдента. Значения t-статистик для всех трех коэффициентов приведены в ячейках D17-D19. Вероятность того, что коэффициенты не значимы приведены в ячейках E17-E19. Как видим, все эти значения гораздо ниже 5%.

Итак, возьмем три коэффициента уравнения из ячеек B17, B18, B19. Теперь уравнение примет вид:

ln Y = 2.31 + 0.25 ln L + 0.75 ln K

(ln a) (a₁) (a₂)

Иными словами: ln(a) = 2.31, a₁ = 0.25 и a₂ =0.75. Для того, чтобы найти коэффициент a мы должны взять экспоненту: a=e ^ln^a = e ^2.31=10.07.

Таким образом, производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

Значение F(200, 100) получаем подставив эти цифры вместо K и L. Чтобы найти MRS – предельную норму замещения труда капиталом воспользуемся формулой:

Мы можем либо взять производные вручную, либо воспользоваться возможностями MathCAD. Известно, однако, что MRS для производственной функции Кобба-Дугласа равен:

где e_Lи e_K – эластичность производственной функции по труду и капиталу соответственно.

Для производственной функции Кобба-Дугласа коэффициентами эластичности являются коэффициенты a₁ и a₂. Значит:

Чтобы высвободить одну единицу труда требуется ввести примерно 0.167 единиц капитала. Проверим это:

Разумеется, это относится лишь к точке (200, 100). В дальнейшем, по мере замещения труда капиталом MRS_LK будет расти.

В системе MathCAD введем функцию F(L, K) и построим ее графики. Нажмем кнопку «Surface Plot» панели Graph. В появившемся прямоугольнике введем имя функции F без скобок и аргументов. График пока отображен не будет, так как по умолчанию для осей X и Y приняты интервалы, включающие отрицательные числа, что не позволяет построить функцию F. Мы должны настроить минимальное и максимальное значения. Для этого выбираем пункт «Format» контекстного меню графика. Здесь выбираем вкладку «Quick Plot Data». Для «Range 1» и «Range 2» указываем в полях «start» значение «0», как показано на рисунке 5.4. С помощью манипулятора «мышь» вращаем график так, как нам удобно. Также если удерживать клавишу Ctrl, то движение «мышью» вверх по графику «удаляет» его от наблюдателя, вниз – «приближает». Построенный нами график приведен на рисунке 5.5а. Рядом на рисунке 5.5б изображены изокванты производственной функции. Это график вида «Contour Plot», который рисуется так же, как и «Surface Plot».

Рисунок 5.4 - Вкладка «Quick Plot Data» для трехмерного графика

а) б)

Рисунок 5.5 – Производственная функция Кобба-Дугласа

Задания для лабораторной работы

1) Повторить проведенный анализ для таблицы

L
K
Y

2) Найти значение функции в точке L=100, K=100.

3) Проверить поведение производственной функции при увеличении затрат труда и неизменном объеме капитала.

4) Найти предельную норму замены труда капиталом в точке (100, 100).

5) Проследить изменения предельной нормы замещения при дальнейшем замещении труда капиталом.

6) Построить функцию Кобба-Дугласа с учетом научно-технического прогресса в форме:

для таблицы:

Год
L
K
Y

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 91011 Следующая ⇒