Определение грузоподъемности жесткого стержня моносимметричного сечения при внецентренном

Растяжении-сжатии (задача № 29)

Условие задачи

Жесткий стержень загружен двумя силами – растягивающей и сжимающей (рис. 5.21). Стержень выполнен из хрупкого материала с характеристиками и . Сечение стержня симметрично и имеет форму и размеры, соответствующие рис. 5.17. Требуется:

1) найти допускаемую нагрузку на стержень из условия прочности, если отношение сжимающей и растягивающей сил

2) построить ядро сечения.

Рис. 5.21. Стержень, подверженный растяжению-сжатию двумя силами

Решение

Положение главных центральных осей инерции и моменты инерции относительно этих осей заданного сечения найдены ранее в п. 5.2.1 (пример 1). Найдем внутренние усилия в произвольном сечении стержня:

Для определения положения опасных точек построим нейтральную линию. Уравнение нейтральной линии (5.2) в данной задаче имеет вид

или

Отсюда найдем отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях и . Если , то

и, если , то

Рис. 5.22. Эпюра напряжений от действия сил F_ри F_с и ядро сечения

Нейтральная линия показана на рис. 5.22. Проведем касательные к контуру сечения, параллельные нейтральной линии. Опасными являются точки 1 и 1¢ (см. рис. 5.22), наиболее отдаленные от нейтральной линии. Для хрупкого материала более опасной является точка с максимальными растягивающими напряжениями, т. е. точка 1. Найдем напряжение в этой точке, подставляя в формулу (5.1) координаты точки 1:

Условие прочности в точке 1 , или

Отсюда можно найти допускаемое значение нагрузки[8]. В заключение необходимо убедиться в том, что и в точке 1¢, которая в данном примере дальше удалена от нейтральной оси, чем точка 1, и в которой действуют сжимающие напряжения, условие прочности тоже выполняется, т. е.

Теперь построим ядро сечения. Поместим полюсы во внешних угловых точках сечения. Учитывая симметрию сечения, достаточно расположить полюсы в трех точках: 1, 2 и 3 (см. рис. 5.22). Подставляя в формулы (5.12) координаты полюсов, найдем отрезки, отсекаемые нейтральными линиями на осях и . Если полюс находится в точке 1, то его координаты и

Нейтральная линия 1–1, соответствующая полюсу в точке 1, показана на рис. 5.22. Аналогично строим нейтральные линии 2–2 и 3–3, соответствующие полюсам 2 и 3. При построении нейтральной линии следите за тем, чтобы она проходила в квадранте, противоположном тому, в котором находится полюс. Область, заштрихованная на рис. 5.22, является ядром сечения. Для контроля на рис. 5.22 показан эллипс инерции. Ядро сечения должно находиться внутри эллипса инерции, нигде не пересекая его.

Определение грузоподъемности внецентренно сжатых жестких стержней несимметричных сечений (задачи № 30, 31)

Условие задачи

Стержень несимметричного сечения сжимается силой, приложенной в точке А (рис. 5.23). Поперечное сечение имеет форму и размеры, показанные на рис. 5.19. Материал стержня – хрупкий. Требуется:

1) найти допускаемую нагрузку, удовлетворяющую условию прочности;

2) построить ядро сечения.

Решение

Прежде всего надо определить моменты и радиусы инерции поперечного сечения относительно главных центральных осей. Эта часть решения задачи приведена в примере 2 п. 5.2.1. На рис. 5.23 показаны главные центральные оси инерции сечения , , положение которых найдено ранее. В системе центральных осей , (рис. 5.24) координаты точки приложения силы А , . Вычислим координаты точки А в системе главных центральных осей по формулам (5.19).

Рис. 5.23. Стержень, сжатый силой F

Найденные координаты рекомендуем проверить, измерив эти координаты на рисунке сечения, выполненном в большом масштабе[9].

Для определения положения опасных точек построим нейтральную линию, используя формулы (5.12). Радиусы инерции , найдены ранее.

Отложим эти отрезки вдоль главных осей и проведем через полученные точки нейтральную линию (см. рис. 5.24). Опасными точками, т. е. точками, наиболее удаленными от нейтральной оси, будут точки 1 и 3 (см. рис. 5.24). В точке 1 действует наибольшее растягивающее напряжение. Запишем условие прочности в этой точке, используя формулу (5.9):

Подставим в условие прочности координаты опасной точки 1 в главных осях, вычислив их по формулам (5.19) или измерив на рисунке, выполненном в масштабе, Тогда из условия прочности в точке 1 можно найти допускаемое значение нагрузки:

Для найденного значения допускаемой нагрузки необходимо убедиться, что условие прочности выполняется и в точке 3, которая дальше удалена от нейтральной линии и в которой действует сжимающее напряжение. Для определения напряжения в точке 3 подставим в формулу (5.9) координаты этой точки

Это напряжение не должно превосходить . Если условие прочности в точке с максимальными сжимающими напряжениями выполняться не будет, надо найти значение допускаемой нагрузки заново из условия прочности в этой точке.

В заключение построим ядро сечения. Поместим полюсы во внешние угловые точки сечения, т. е. в точки 1, 2, 3, 4, 5 (см. рис. 5.24). Поясним, как получена точка 4, находящаяся на контуре квадранта круга. Отсекая внутреннюю угловую точку , проводим линию, касательную к контуру сечения (пунктир на рис. 5.24). Точка 4 является точкой касания этой линией квадранта круга. Последовательно находим положение нейтральных линий, соответствующих полюсам в указанных точках, находя отрезки, отсекаемые нейтральными линиями на осях , , по формулам (5.12). Например, если полюс находится в точке 1, то, подставляя в (5.12) координаты точки 1 ( ), найдем

Рис. 5.24. Эпюра напряжений от силы F и ядро сечения

Поскольку существенно больше , то это значит, что нейтральная линия 1–1 практически параллельна оси . Отрезок откладываем в масштабе вдоль оси и проводим прямую 1–1, параллельную оси (см. рис. 5.24). Аналогично строим нейтральные линии, соответствующие полюсам, расположенным в других точках. Ядро сечения (заштрихованная область) показано на рис. 5.24. Отметим, что контур ядра сечения между нейтральными линиями 4–4 и 5–5 очерчен по кривой, так как переход полюса из точки 4 в точку 5 происходит не по прямой линии. На рис. 5.24 показан также эллипс инерции сечения, построенный ранее.

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 10 Следующая ⇒