Направления выпуклости, точки перегиба.

Определение. График функции у=f(x) называется выпуклым вниз в данном промежутке, если он целиком расположен выше касательной в его произвольной точке (рис.7). График функции у = f(x) называется выпуклым вверх в данном промежутке, если он целиком расположен ниже касательной в его произвольной точке (рис.8).

Теорема (достаточный признак выпуклости графика функции).

Если вторая производная функции у = f(x) положительна в данном промежутке, то график функции является выпуклым вниз в этом промежутке; если же вторая производная отрицательна в данном промежутке, то график функции является выпуклым вверх в этом промежутке.

 

Пример. Найти интервалы выпуклости графика функции f(x) = .

Решение. Найдём вторую производную функции f ''(x) = . Так как f ''(x)< 0 при х < 2 и f ''(x)> 0 при х > 2, то график функции является выпуклым вверх в интервале (− ¥; 2) и выпуклым вниз ─ в интервале (2; +¥ ).

 

Определение. Точкой перегиба графика функции у = f(x) называется такая его точка М₀

(рис.8), в которой меняется направление выпуклости.

Теорема (достаточный признак существования точки перегиба).

Если в точке х = х₀ вторая производная функции у = f(x) обращается в нуль и меняет знак при переходе через неё, то М₀(х₀; f(x₀)) ─ точка перегиба графика этой функции.

 

Например, в предыдущей задаче мы установили, что f ''(2) = 0 и f ''(x) меняет знак при переходе через эту точку. Следовательно, х = 2 ─ точка перегиба графика функции f(x) = .

 

Асимптоты.

 

Если график функции сколь угодно близко приближается к прямой, то такую прямую называют асимптоты. Различают вертикальные и наклонные асимптоты.

 

Определение. Прямая х = называется вертикальной асимптотой графика у = f(x), если хотя бы одно из предельных значений f(x), f(x) является бесконечным.

Например, прямая х = 2 ─ вертикальная асимптота графика у = , так как = − ¥, = +¥.

Определение. Предположим, что функция у = f(x) определена при сколь угодно больших (по модулю) значениях аргумента. Для определённости будем рассматривать положительные значения аргумента. Прямая

у =

называется наклонной асимптотой графика функции у = f(x), если эта функция представима в виде

f(x) = ,

 

где ─ бесконечно малая функция при х→ +¥.

 

Теорема (необходимые и достаточные условия существования асимптоты).

График функции у = f(x) имеет при х→ +¥ наклонную асимптоту у = тогда и только тогда, когда существуют два конечных предела

 

, . (*)

Доказательство. Пусть график функции у = f(x) имеет асимптоту у = . Тогда f(x) = , где = 0. Следовательно,

,

.

Обратно. Пусть существуют пределы (*). Тогда из равенства можем записать также, что .

Это означает, что функция является бесконечно малой функцией при х→ +¥. Отсюда

f(x)=

и по определению прямая у = является наклонной асимптотой.

 

Пример. Рассмотрим функцию у = .

 

Так как = и = , то график

 

функции имеет наклонную асимптоту у = .

 

Исследование функций и построение графиков.

Под «исследованием функции» понимают изучение её поведения (изменения) в зависимости от изменения аргумента. На основании исследования функции строят её график, предварительно изображая характерные точки.

Исследование функций и построение графиков можно проводить по следующей схеме.

 

1. Найти область определения функции.
2. Исследовать вопрос о чётности функции, о периодичности.
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
4. Изучить поведение функции при стремлении аргумента к концам промежутков области определения.
5. Найти точки экстремумов, промежутки возрастания и убывания функции.
6. Определить промежутки выпуклости функции, найти точки перегиба.
7. найти асимптоты графика функции.

 

Порядок исследования иногда целесообразно выбирать исходя из конкретных особенностей данной функции.

 

Пример. Исследовать функцию у = и построить её график.

 

 

Лекция 18.

Неопределённый интеграл, его основные свойства, методы интегрирования.

 

Рассмотрим задачу, обратную задаче о дифференцировании функций, т.е. задачу о восстановлении функции F(x) по известной её производной f(x).

 

⇐ Предыдущая9101112131415161718Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. III. Целевые установки, задачи и направления обеспечения транспортной безопасности
2. VIII. Основные направления просветительской, популяризаторской и коммуникативной деятельности библиотек
3. Архитектурные направления и стили в России на рубеже XIX-XX веков
4. БОЛЕВЫЕ ТОЧКИ И ПРИЕМЫ ПОРАЖЕНИЯ ПРОТИВНИКА В РУКОПАШНОЙ СХВАТКЕ
5. Буквальное толкование предполагает истолкование смысла закона в точном соответствии с его буквой. Именно оно и является, по нашему мнению, единственно верным и приемлемым с точки зрения принципов
6. Виды и направления внеурочной деятельности.
7. Виды устройств по получению энергии нулевой точки и сверхединичные устройства
8. Выпуклость и вогнутость графика, точки перегиба
9. Глава 1.4. Гипотезы и перспективные направления
10. Глава 2. BTL с точки зрения маркетинговых коммуникаций
11. Глава 4. Результаты пересмотра психодинамического направления: Альфред Адлер и Карл Густав Юнг
12. Глава 5. Эго-психология и связанные с ней направления в теории личности: Эрик Эриксон, Эрих Фромм и Карен Хорни