Специальные классы математических и имитационных

Моделей

К настоящему времени накоплен достаточно большой арсенал математических и имитационных моделей специального приложения — это модели экономики, управления и прогноза (рис. 3.3). Следует отметить, что рассматриваемое разделение моделей общепринято, хотя и существует некоторая условность, так как любое исследование с применением моделей в качестве результата выдает прогноз. Кроме того, решения в сфере экономической деятельности являются исходными для управления организациями, так же как решения в сфере управления служат входной информацией для оценки экономической эффективности работы организации. Выделенные классы моделей могут использоваться совместно, но на разных этапах решения управленческих задач и проблем.

Рис. 3.3. Классификация моделей

Модели экономики , или экономические модели , по определению, данному в работе [124], — это описание математическим языком свойств (содержания, функционирования) процессов для установления количественных и логических зависимостей между различными элементами экономических систем. К моделям экономики причисляют (рис. 3.3): балансовые (модели линейной алгебры), эконометрические, экономико-математические, экономико-статистические (система регрессионных уравнений, сведенная к общей задаче линейного программирования). Каждый класс моделей использует соответствующий математический аппарат и имеет определенную сферу приложения.

Экономические модели являются базовыми для народнохозяйственного, территориального, отраслевого, стратегического и тактического планирования. В этой связи модели экономики рассматриваются в основном в контексте планирования. Модели планирования опираются на аппарат линейной алгебры, линейное и нелинейное программирование, математическую статистику и направлены на оптимальную увязку производства и потребления различного вида ограниченных ресурсов. Наиболее распространенные классы моделей планирования — модели математического программирования, которые представляются линейными и нелинейными системами равенств и неравенств.

Модели управления служат для определения оптимальной траектории достижения системой поставленной цели при наложении некоторых ограничений на управление ее поведением и движением. В этом случае модели управления описывают различного рода экстремальные задачи оптимального управления динамическими системами. В теории управления организациями наблюдается развитие этого класса моделей в связи с исследованием таких свойств систем, как устойчивость, управляемость, а также с развитием исследования динамики системы, представляемой движением материальных, финансовых и информационных потоков.

Существует и другое, наиболее развитое направление в понимании моделей управления — это модели организационного управления, к которым относят широкий спектр моделей исследования операций. Эти модели следует первоначально разделить укрупненно по таким признакам, как

метод поиска решения,

вид функции,

полнота и характер исходных данных,

пояснением концепции их применения.

Основные классы моделей организационного управления следующие:

1) оптимизационные — линейные (система линейных равенств и неравенств), нелинейные (система нелинейных и линейных равенств), сетевые, стохастические модели (система равенств и неравенств с вероятностными переменными и ограничениями).

Оптимизационные модели применяются для объемного и календарного планирования, управления запасами, распределения ресурсов и работ, замены, параметризации и стандартизации оборудования, распределения потоков товарных поставок на транспортной сети и других задач управления;

2) ориентированные на оценку параметров процессов и системы в целом — модели теории массового обслуживания и марковских процессов, описывающие процессы массового спроса на обслуживание с учетом случайного характера поступления требований и продолжительности обслуживания

Назначение моделей теории массового обслуживания состоит в том, чтобы на основе информации о входящем случайном потоке требований предсказать возможности системы обслуживания, организовать наилучшее выполнение требований для конкретной ситуации и оценить, как это отразится на ее стоимости.

Модели марковских случайных процессов — система дифференциальных уравнений, описывающих функционирование системы или ее процессов в виде множества упорядоченных состояний на некоторой траектории поведения системы. Этот класс моделей широко используется при математическом моделировании функционирования сложных систем;

3) ориентированные на анализ реальной конфликтной ситуации и выбор наилучшей стратегии поведения субъекта — модели теории игр, конструкция которых зависит от назначения и условия проведения игр, например, игры подразделяются на бескоалиционные и коалиционные, статистические и рефлексивные, конечные и бесконечные

Модели теории игр служат для выбора оптимальной стратегии в условиях ограниченной случайной информации или полной неопределенности. Игра — математическая модель реальной конфликтной ситуации, разрешение которой ведется по определенным правилам, алгоритмам, описывающим некоторую стратегию поведения лица, принимающего решение в условиях неопределенности. Различают «игры с природой» и «игры с противником». Исходя из ситуации определяются методы и критерии оценки принятия решений. Так, при «играх с природой» применяют критерии: Лапласа, максиминный (критерий Вальда) и минимаксный, Гурвица и Сэвиджа и ряд других алгоритмических правил. При «играх с противником» для принятия решений используются платежные матрицы, максиминный и минимаксный критерии, а также специальные математические преобразования в связи с тем, что лицу, принимающему решение, противостоит недоброжелательный противник;

4) оптимального управления — модели нахождения устойчивого функционирования динамических и квазидинамических систем, объектов

Модели оптимального управления ориентированы на выбор траектории и управляющего воздействия на объект, удовлетворяющих всем приведенным ограничениям при минимальных затратах на поведение и движение объекта, а в контексте управления — на его функционирование. К основным элементам этого класса моделей относят:

вектор-функцию множества управляющих воздействий на объект в каждый момент времени или управления системой;

вектор-функцию некоторой траектории развития системы в течение заданного периода времени;

целевую функцию, представленную интегралом затрат на развитие системы при ее переходе из начального состояния в конечное.

Исходным условием построения модели служит предположение, что на заданном отрезке времени (t₀, T) имеются некоторые траектории развития экономической системы и допустимое множество управляющих воздействий в каждый момент времени t, t₀ t T, a также заданные начальные и конечные условия развития системы. Математическая теория оптимального управления сложными системами тесно связана с методами решения дифференциальных уравнений и оптимизационными задачами в приложении к динамическим системам;

5) системной динамики — модели потоковых процессов, характеризующиеся переменными состояниями и скоростями потоков энергии, информации, промышленной продукции, денежных средств

В основе моделей системной динамики лежит представление о функционировании системы как совокупности потоков информации, энергии, материалов, продукции, денежных средств. Этот класс моделей предназначен для исследования как систем, функционирование которых по своей природе непрерывно, так и дискретных систем и процессов при высоком уровне агрегирования, где отображение их «природной» дискретности становится излишним. Переменные состояния и переменные скорости задаются системой разностных уравнений.

Модели прогноза — прогностические (статистические) функции различного типа (рис. 3.3). К ним относят трендовые и регрессионные функции (монотонно возрастающие и монотонно убывающие функции), функции роста и функции насыщения, функции одной переменной и функции нескольких переменных и др. Выбор прогностической функции осуществляется с помощью методов математической статистики, теории вероятностей и теории прогнозирования.

Семиотические модели

В каждом акте информационного обмена между объектом и получателем информации можно обнаружить трех его участников: знак, объект, который он обозначает, и получателя (пользователя) знака. В зависимости оттого, отношения между какими элементами рассматриваются, экономическую семиотику разделяют на три раздела: предметную область, семантику и синтактику.

В соответствии с описанными разделами семиотики образуются три уровня отображения информации. Изучение информации во всем ее многообразии соответствует инфологическому уровню. Исключением из рассмотрения получателем информации практических задач осуществляется переход к анализу информации на семантическом уровне. С отвлечением от содержания знаков изучение информации переводится на уровень синтактики. Каждый уровень изучения информации описывается специальной моделью: инфологической, семантической и синтаксической.

Мифологическая (информационно-логическая) модель — это модель предметной области, определяющая совокупность информационных объектов, их атрибутов и отношений между объектами, динамику изменения предметной области, а также характер информационных потребностей пользователей. Модель создается по результатам обследования предметной области и дает возможность увидеть, какая информация будет получена в результате решения той или иной задачи и какой информацией для получения решения надо располагать, т.е. содержание и объем входной и выходной информации.

Семантическая модель , так называемая информационная модель, — это абстракция предметной области, адекватное отражение потоков информации, объединяющих все структурные и материальные элементы системы — людей, оборудование, документы, изделия и т.д., — которые рассматриваются лишь как информационные объекты, источники или носители информации. Семантические модели включают модели информационных взаимосвязей задач управления, документов и массивов, подразделений, руководителей и отдельных исполнителей.

Синтаксическая модель — это описание формальных процедур подготовки (структура данных) и переработки данных. Комплекс синтаксических моделей, чаще называемый математическим обеспечением, представляет собой совокупность алгоритмов и машинных программ переработки информации.

К классу семиотических моделей относится логико-лингвистическая модель, которая создается на основе формализации множества знаний об объекте, отражающих его функциональные свойства. Под логико-лингвистической моделью понимается модель знаний об объекте, представленных в лингвистической форме, и механизм их вывода [75]. Знаниями, необходимыми для логического вывода, служат фреймы (структура представления знаний), правила и процедуры. Фреймовая модель — это способ представления знаний, основанный на использовании фреймов и их сетей.

Следует отметить, что представленная классификация моделей отражает только основные классы и выполняет функцию понятийного аппарата и ориентира среди множества различных конструкций моделей.

3.4. Общая классификация методов исследований

Метод (от греч. methodos— путь исследования, познания) определяется как совокупность действий, приемов, направленных на достижение некоторой цели. Методы науки, с одной стороны, отражают познанные законы исследуемой сферы окружающего мира, а с другой — выступают как средства дальнейшего познания.

Среди методов, используемых в исследовании, различают:

1) общие методы научного познания (логические методы познания). Метод научного познания — система действий по объективному познанию явлений, любых объектов и процессов;

2) методы исследований. Метод исследований — это инструмент для решения научных задач с целью установления закономерностей или знаний в численном выражении о процессах, технологиях, явлениях.

Научные исследования строятся на двух основополагающих классах методов:

1) формальных. Формальные методы опираются на точные абстрактные языки (математические, формальной логики и др.), модели и объекты;

2) эвристических (неформальных). Эвристические методы - это специальные логические способы решения задач, построенные на методах научного познания и на использовании специальных правил, приемов, упрощений и обобщений.

В науке сформировались различные классификации формальных методов. В данном разделе ограничимся методами, которые являются основополагающими для исследования систем управления, особенно в области принятия управленческих решений. К ним относят:

• аналитические методы, или методы элементарной математики (функциональный анализ), и классические методы математического анализа (интегральные и дифференциальные, вариационные исчисления);

• вероятностно-статистические методы (математическая статистика и теория вероятностей);

• методы исследования операций как приложение математического программирования, вероятностно-статистических, аналитических и сетевых методов, методов теории игр к задачам управления;

• методы теории выбора и принятия решений;

• методы математической логики;

• математическое и имитационное моделирование.

Эвристические методы разделяются на три класса:

1) методы как совокупность присущих человеку механизмов, с помощью которых порождаются процедуры, направленные на решение творческих задач (дедуктивные и индуктивные методы, метод аналогий, анализ и синтез) и относящиеся к общим методам научного познания;

2) методы, направленные на сокращение времени решения задач
(процедура направленного перебора, матричные методы и др.);

3) методы экспертных оценок.

3.5. Формальные методы исследований

Аналитические методы. Нахождение точных количественных связей между зависимыми факторами достигается аналитическими методами. Особенность методов состоит в использовании детерминированной информации, строгой алгоритмизации действий и однозначности установленной функциональной зависимости. Аналитические методы находят широкое применение в разработке планов и проектов, в расчетных операциях по оценке производственной, экономической и финансовой деятельности, в расчете нормативов расхода различного вида материальных, информационных и человеческих ресурсов, в параметрическом исследовании систем управления и других видах деятельности.

Аналитические методы основываются на фундаментальной теории математического анализа, функционального анализа, интегральных и дифференциальных исчислений, разработанной группой выдающихся отечественных ученых - А.Н. Колмогоровым, С.В. Фоминым, Л.С. Портнягиным, Л.В. Канторовичем и др.

Вероятностно-статистические методы. Все реальные системы и процессы относят к классу вероятностных систем. Анализ и оценка случайных переменных величин, отображающих функционирование систем и процессов, производятся с применением вероятностно-статистических методов. Эти методы предназначены для решения следующих задач:

• нахождения законов распределения случайных величин и определения характера случайных процессов (различая стационарные и нестационарные), исследуемых процессов и систем;

• разработки вероятностных (статистических) и экономико-статистических моделей случайных процессов и систем;

• оценки устойчивости, надежности и рисков функционирования системы.

В управлении и экономике вероятностно-статистические методы получили широкое распространение в таких видах деятельности, как стратегическое планирование, тестирование или экспериментирование системы, диагностика внутренней и внешней среды системы, прогнозирование, анализ и контроль.

Фундаментальная теория математической статистики и теории вероятностей изложена и в многочисленных классических трудах отечественных (А. Колмогоров, В. Немчинов, Е. Вентцель, Н. Смирнов, В. Пугачев и др.) и зарубежных (Б. Ван-дер-Варден, В. Феллер, А. Хальд и др.) ученых и служит эффективным инструментом в исследовании вероятностных систем и случайных процессов.

Методы исследования операций. Модельное исследование систем с целью оптимизации их функционирования осуществляется методами исследования операций [10; 93; 97]. Цель исследования операций состоит в том, чтобы выявить оптимальный способ достижения цели управления в условиях ограниченных ресурсов — технических, материальных, трудовых и финансовых.

Теория исследования операций зародилась в 1940-х гг. в связи с необходимостью решения военных стратегических и тактических задач, а также задач оптимального использования ресурсов. С ее развитием намечалось целенаправленное применение математических методов для решения задач управления. К ним относятся методы математического программирования (линейное и нелинейное, целочисленное, динамическое и стохастическое программирование), аналитические и вероятностно-статистические методы, сетевые методы, методы теории массового обслуживания, теории игр (теории конфликтных ситуаций) и др.

Одним из основных достижений теории исследования операций считается типизация моделей управления и методов решения задач. Например, для решения транспортной задачи, в зависимости от ее размерности, разработаны типовые методы — метод Фогеля, метод потенциалов, симплекс-метод. Также при решении задачи управления запасами, в зависимости от ее постановки, могут использоваться аналитические и вероятностно-статистические методы, методы динамического и стохастического программирования.

В управлении особое значение придается сетевым методам планирования. Эти методы позволили найти новый и весьма удобный язык для описания, моделирования и анализа сложных многоэтапных работ и проектов. В исследовании операций значительное место отводится совершенствованию управления сложными системами с применением методов теории массового обслуживания и аппарата марковских процессов. С развитием вычислительных средств одним из распространенных методов принятия решений выступает деловая игра, представляющая собой численный эксперимент с активным участием человека. Существуют сотни деловых игр. Они применяются для изучения целого ряда проблем управления, экономики, теории организации, психологии, финансов и торговли.

Начиная с 1940-х гг., созданы фундаментальные труды по исследованию операций. Это основополагающие работы отечественных ученых: Л.В. Канторовича (1945), Е.С. Вентцель (1964), В.Г. Болтянского (1966), Е.Г. Гольштейна и Д.Б. Юдина (1966), Ю.Б. Гермейера (1967, 1971), Н.П. Бусленко и Ю.А. Шрейдер (1969) и многочисленных зарубежных ученых: Р.Д. Льюса и X. Райфа (1963), Д. Гейла (1963), С. Карлина (1964), А. Кофмана (1965), Дж. фон Неймана и О. Морген-штерна(1970), Г. Вагнера (1972), X. Таха(1982) и др. В последнее десятилетие XX в. методы исследования операций вновь широко освещаются в публикациях по оптимизации управления, в частности в публикациях Р. Томаса (1999), В. Карманова и В. Федорова (1996).

Методы теории выбора и принятия решений. Это класс методов формирования альтернатив и их оценки по критерию при активном участии лица, принимающего решение (эксперта, консультанта, исследователя, аналитика и т.д.). Элементами принятия решений являются множество вариантов и принцип оптимальности, т.е. имеем , ОП, где

• — множество вариантов,

• ОП — условие допустимости альтернатив (принцип оптимальности).

• лицом, принимающим решение (ЛПР), называют человека, имеющего цель, которая служит мотивом постановки задачи и поиска ее решения.

Особенность методов теории выбора и принятия решений заключается в органическом сочетании в них формального и эвристического аппарата таких процедур, как обработка экспертной информации, формирование альтернатив. Они также широко применяются при решении многокритериальных задач, которые активно используются в исследовании проблем управления.

Методы математической логики. Эти методы представляют собой применение функций алгебры логики (конъюнкций, дизъюнкций и вероятностных функций) и операций с ними для анализа и оценки сложной организационной структуры системы. Заслуживают внимания логико-статистические методы, позволяющие описать структуру любой сложности с помощью функций алгебры логики и создать для каждого элемента структуры вероятностную модель его функционирования.

Моделирование. Под моделированием понимается процесс описания системы (или процесса, объекта) комплексом математических и информационных моделей, которые характеризуют ее с определенной степенью детализации, и воспроизведение функционирования системы (или процесса, объекта) программными и вычислительными средствами. Моделирование с использованием математических моделей называется математическим моделированием, с использованием имитационных моделей — имитационным.

Моделирование — это всегда эксперимент с использованием моделей и вычислительных технологий, который позволяет проанализировать возможные альтернативы, оценить их преимущества и недостатки. Наконец, моделирование — это эффективный и безрисковый подход к экспериментированию, который невозможен в реальной жизни.

Развитие вычислительной техники и программирования позволило создавать реалистические математические модели функционирования сложных систем. В этой связи понятие «имитационное моделирование» распространяется на моделирование функционирования систем независимо от класса модели, поэтому в общем случае под имитационным моделированием понимается численный метод проведения вычислительных экспериментов с имитационными и математическими моделями, описывающими поведение сложных систем в течение продолжительных периодов времени [65].

Сложность и трудоемкость моделирования компенсируются теми возможностями, которые открываются в исследовании сложных систем. Возможность учета динамики, нелинейности, вероятностной природы некоторых процессов и внешних факторов системы и исследования ее путем вычислительного эксперимента в «ускоренном» масштабе времени позволяет избежать существенных ошибок при создании и функционировании сложных экономических систем, отдельных технологических линий и процессов.

Теория математического и имитационного моделирования получила широкое развитие в 1970-1980-х гг. Это труды зарубежных ученых, таких как Т. Нейлор и его соавторы из Института социальных систем и компьютерных имитационных экспериментов США, Р. Шеннон, К. Эрроу, Л. Гурвиц и др., и отечественных ученых — Н. Моисеева, Н. Бусленко, А. Аганбегяна, К. Багриновского, Ю. Геронимуса, А. Гран-берга, Ю. Полляка, Д. Голенко, В. Кулешова и др.

⇐ Предыдущая 8 9 10 11 121314 15 16 17 Следующая ⇒