Линейная зависимость и независимость векторов.

 

Рассмотрим векторы х₁, х₂, …, х_n линейного пространства V. Вектор у=a₁х₁+ a₂х₂ + …+a_nх_n, где a₁, a₂, …, a_n Î R, называется линейной комбинацией векторов х₁, х₂, …, х_n, а числа a₁, a₂, …, a_n ─ коэффициентами этой линейной комбинацией. Система векторов х₁, х₂, …, х_n называется линейно независимой, если равенство

 

a₁х₁ + a₂х₂ + …+ a_nх_n = 0 (1)

 

выполняется только при a₁ = a₂ = … = a_n = 0. Если же существуют числа a₁, a₂, …, a_n не все равные нулю, при которых выполняется равенство (1), то векторы х₁, х₂, …, х_n называются линейно зависимыми.

 

 

Из определения нетрудно получить следующие свойства:

1. Всякая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.
2. Система из одного нулевого вектора линейно независима.
3. Если k из n векторов линейно зависимы, то и вся система из n векторов линейно зависима.
4. Если из системы х₁, х₂, …, х_n линейно независимых векторов отбросить Ã векторов (Ã < n), то оставшиеся векторы также будут линейно независимы.
5. Если в системе векторов имеются векторы х_i и х_j такие, что х_i = ax_j для aÎ R, то вся система векторов линейно зависима.

 

В частности, из свойства 5 следует, что в линейном пространстве R³ любая система векторов, содержащая коллинеарные векторы, будет линейно зависимой.

 

Теорема 1. Векторы х₁, х₂, …, х_n действительного линейного пространства линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией всех остальных.

 

Доказательство. Пусть векторы х₁, х₂, …, х_n линейно зависимы. Тогда существуют числа a₁, a₂, …, a_n не все равные нулю такие, что

a₁х₁ + a₂х₂ + …+ a_nх_n = 0 (2)

Пусть, например, a_k ¹ 0. Тогда a_kx_k = - a₁x₁ - … - a_k-1x_k-1 - a_k+1x_k+1 - … - a_nx_n и

x_k = - x₁ - … - x_k-1 - x_k+1 - … - x_n,

т.е. х_k ─ линейная комбинация всех остальных векторов.

Пусть теперь один их векторов, например х₁, является линейной комбинацией остальных векторов, т.е. х₁ = a₂х₂ + a₃х₃ + …+ a_nх_n. Тогда (-1)х₁ + a₂х₂ + …+ a_nх_n = 0. Это означает, что векторы х₁, х₂, …, х_n линейно зависимы.

 

Размерность и базис линейного пространства.

Определение. Число n называется размерностью линейного пространства V, если выполняются следующие условия:

1) в V существует n линейно независимых векторов;

2) любая система n + 1 векторов из V линейно зависима.

Размерность линейного пространства V обозначают dimV = n, то V называют n-мерным линейным пространством. Если пространство состоит из одного нулевого элемента, то его размерность считают равной нулю. Итак, размерность линейного пространства ─ это наибольшее возможное количество линейно независимых элементов в нём.

Базисом n-мерного линейного пространства V называется любая упорядоченная система n линейно независимых векторов этого пространства.

 

Примеры базисов линейных пространств.

1). Базисом действительного пространства R³ является любая тройка некомпланарных векторов. Базис действительного линейного пространства R² ─ любые два неколлинеарных вектора.

 

2). Базисом n-мерного арифметического пространства Rⁿ является, например, система векторов

е₁ = (1, 0, …, 0), е₂ = (0, 1, 0, …, 0), …, е_n = (0, …, 0, 1).

Лекция 12.

Функция. Предел функции. Односторонние пределы.

Бесконечно большие и бесконечно малые функции.

 

Математический анализ ─ раздел математики, в котором изучаются функции. Основу математического анализа составляет дифференциальное и интегральное исчисление, теория рядов. Заслуга открытия дифференциального исчисления принадлежит английскому математику и физику Исааку Ньютону (1643 – 1727) и Готфриду Вильгельму Лейбницу (1646 – 1716), немецкому математику и философу.

 

Понятие функции.

 

Понятие функции ─ одно из основных понятий современной математики.

Рассмотрим множество X элементов х и множество Y элементов y. Если каждому элементу хÎ Χ поставлен в соответствие единственный элемент уÎ Υ, обозначаемый

у = f(x), то говорят, что на множестве Х задана функция у = f(x) со значениями в множестве Y. Элементы хÎ Χ называются значениями аргумента, а элементы уÎ Υ ─ значениями функции. Множество Х называется областью определения функции, множество всех значений функции ─ областью значений этой функции.

Употребляются следующие обозначения функции: у = f(x), y = F(x), y = Ф(х), у = φ (х) и т.п. Значение, которое функция у = f(x) принимает при х = а, обозначается f(a).

К традиционным основным способам задания функции относятся: аналитический, графический и табличный.

 

Аналитический способ задания функции ─ это задание функции с помощью формул. Например, у = 2х, у = lgx, у =

Функция заданная формулой у = f(x), правая часть которой не содержит у, называется явной функцией.

Рассмотрим уравнение F(x; y)=0. Предположим, что существует непустое множество Х значений х таких, что при каждом х₀Î Χ уравнение F(x₀; y) = 0 имеет действительные решения относительно у. обозначим одно из них через у₀. Сопоставляя таким образом каждому х₀Î Χ элемент у₀, получим функцию у = у(х), определённую на множестве Х и такую, что F(x; y(x)) º 0 для всех хÎ Χ. Функция у = у(ч), определённая таким образом, называется функцией, заданной неявно или неявной функцией. Например, уравнение 3х + 2у – 5 = 0 неявно задаёт функцию у = − х + . Уравнение х² + у² = R² задаёт неявно две функции у = и у = − .

 

Табличный способ задания функции ─ это способ задания функции при помощи таблицы. Примерами такого задания функции являются таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.д.

 

Графический способ задания функции ─ это способ задания функции при помощи графика. Графиком функции у = f(x) называется множество точек (x; f(x)) плоскости хОу, где х принадлежит области определения функции. Преимуществом графического способа задания функции является его наглядность.

 

Если у = f(u), u = φ (х) ─ функции своих аргументов, причём область определения функции у = f(u) содержит область значений функции u = φ (х), то каждому х из области определения функции φ соответствует такое у, что у = f(u), где u = φ (х). Эта функция, определяемая соответствием

y = f(φ (x))

называется сложной функцией или композицией функции φ и f. Например, если у = u², u = sinx, то у = sin²x ─ сложная функция.

Кроме тригонометрических и обратных тригонометрических функций в средней школе изучаются функции: степенная у = х^а (а = const), показательная у = а^х (а = const), логарифмическая у = log_ax (a = const). Все эти функции называются основными элементарными функциями. Элементарными функциями называются функции, которые можно получить из основных элементарных функций с помощью алгебраических действий и образования сложных функций. Например, функции у = lgsinx, y = x² + cosx, y = 3^{lgcosx + sinx} является элементарными.

 

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Криволинейная ортогональная система координат
2. Линейная фильтрация нефти и газа в пористой среде
3. Линейная, штабная и дивизиональная организационная структура управления
4. Нелинейная Земля и уровни обитающих на ней существ
5. Смешанное произведение векторов.