Понятие функции нескольких переменных.

Рассмотрим арифметическое n-мерное пространство.

Rⁿ = {(x₁, x₂, …, x_n)│ x₁, x₂, …, x_n Î R}.

Пусть Х ─ подмножество элементов множества Rⁿ и Y ─ некоторое множество элементов у. Если каждому элементу (x₁, x₂, …, x_n)Î Х поставлен в соответствие единственный элемент уÎ Υ, то говорят на множестве Х задана функция у = f(x₁, …x_n) со значениями в множестве Y. Такая функция называется функцией n переменных x₁, x₂, …, x_n.

В частности, при n = 2 имеем функцию двух аргументов у = f(x₁, x₂) или z = f(x; y). При n = 3 получаем функцию трёх переменных у = f(x₁, x₂, x₃) или u = f(x; y; z).

Предел функции.

Рассмотрим функцию у = f(x), определённую в некотором интервале, содержащем точку х = а.

Определение. Число А называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к a (или в точке а), если для любого числа e> 0 существует такое d> 0, что при всех х, удовлетворяющих условию

0 < │ х − а│ < d, (1)

выполняется неравенство

│ f(x) − A│ < e. (2)

Обозначения предела функции f(x) при х, стремящемся к а:

f(x) = A;

f(x) → A при х → а.

Выясним геометрический смысл этого определения, воспользовавшись, графиком функции у = f(x) (рис.1). Неравенство (1) означает, что х отстоит от

точки а не далее, чем на d, т.е. принадлежит интервалу (а − d; а + d). Неравенство (2) означает, что значения функции у = а(ч) не выходят из интервала (А − e; А + e) оси Оу. Следовательно, точки М графика функции у = f(x) должны находится в полоске шириной 2e, ограниченной прямыми у = А − e, у = А + e для всех значений х, удалённых от точки а не далее, чем на d.

Пример. Используя определение предела функции, доказать, что

(3х – 2)= 1.

Решение. Возьмём произвольное e> 0. Задача состоит в нахождении числа d> 0 такого, что из неравенства │ х – 1│ < d следовало бы неравенство │ f(x) – 1│ =

=│ (3х – 2)│ < e. Из последнего неравенства имеем │ 3х – 3│ < e, т.е. │ х – 1│ < . Следовательно, если взять d £ , то для всех х, удовлетворяющих неравенству

0 < │ х – 1│ < d, будет выполнятся неравенство │ (3х – 2)│ < e. Это означает, что (3х – 2)=1.

Пример. Используя определение предела функции, доказать, что (х∙ sin )=0.

Решение. Пусть e > 0. Необходимо найти такое число d > 0, при котором из неравенства │ х – 0│ < d следовало бы неравенство │ х∙ sin − 0│ < e. Преобразуем последнее неравенство, учитывая, что │ sin │ £ 1 при х≠ 0.

│ х∙ sin │ =│ х│ ∙ │ sin │ £ │ х│ < e.

Следовательно, взяв d £ e, из неравенства │ х − 0│ < d будет вытекать неравенство │ х∙ sin − 0│ < e. Следовательно, (хsin )=0.

Односторонние пределы функции.

Определение. Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке а, если для любого e > 0 существует d > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам а < x < a + d (a − d < x < a), выполняется неравенство │ f(x) − A│ < e. Обозначение f(x) = A ( f(x) = A).

Связь между односторонними пределами и пределом функции устанавливает следующая теорема.

Теорема 1. Функция у = f(x) имеет в точке а предел тогда и только тогда, когда в этой точке существует как левый, так и правый предел и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.

Доказательство.

1) Пусть f(x) = f(x) = A. Тогда по определению односторонних пределов, для любого e> 0 существуют числа d₁> 0 и d₂> 0 такие, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам а< x< a+d₁, a− d₂< x < a, выполняется неравенство │ f(x)− A│ < e. Возьмём d = min{d₁, d₂}. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенствам а− d< x< a+d(или 0< │ х− а│ < d) выполняется неравенство │ f(x)− A│ < e. Это означает, что f(x) = A.

2) Пусть теперь f(x) = A. Тогда по определению, для любого e> 0 существует число d> 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам 0 < │ х − а│ < d, выполняется неравенство │ f(x)− A│ < e. Следовательно, для e> 0 существует d> 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам а< x < a+d, (или a− d < x < a), выполняется неравенство │ f(x)− A│ < e. Это означает, что существует односторонние пределы f(x) и f(x), причём оба они равны числу А.

Пример. Доказать, что функция

f(x) = не имеет предела в точке х = 0.

Решение. Функция f(x) определена на всей числовой прямой.

При х£ 0 функция f(x) = x². Пусть e> 0. Необходимо найти такое d> 0, что как только − d< x< 0, то │ f(x)│ =│ x²│ < e. Таким d будет . Так как необходимое d существует, то f(x)=0.

При х> 0 функция f(x) = x+1. Покажем, что f(x)=1. Пусть e> 0. Найдём d> 0 такое, что как только 0< x< d, будет выполняться неравенство │ х+1− х│ < e. Действительно, взяв d = e, получим требуемое. Следовательно, f(x)=1.

Так как f(x) ≠ f(x), то по теореме1 f(x) не существует.

⇐ Предыдущая 7 8 9 10 111213 14 15 16 Следующая ⇒