Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.

⇐ ПредыдущаяСтр 13 из 18Следующая ⇒

Определение. Число А называется пределом функции у = f(x) при х→ ¥, если для любого положительного числа e> 0 существует положительное d такое, что для всех значений х, удовлетворяющих условию │ х│ < d, выполняется неравенство │ f(x) − A│ < e. Обозначение f(x) = А.

Введём также понятие предела функции при стремлении х к +¥ или − ¥.

Определение. Число А называется пределом функции у = f(x) при х → +¥ (х → − ¥ ), если для любого положительного числа e существует число d> 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих условию х> d (х< − d) выполняется неравенство │ f(x) − A│ < e. Обозначается: f(x) = А ( f(x) = А).

Пример. Доказать, что .

Решение. Пусть e> 0. Необходимо найти такое d> 0, что из неравенства х> d следовало бы неравенство

< e.

Рассмотрим левую часть неравенства

= = = .

Так как х> 0, то = .

Из неравенства < e имеем х> .

Итак, если взять d = , то для всех х> d будет выполняться неравенство

< e. Следовательно, .

Бесконечно большие и бесконечно малые функции.

Определение. Функция a = a(х) называется бесконечно малой при х→ а (или при х→ ¥ ), если a(х) = 0 ( a(х) = 0).

Например, функция a(х)=(х–3)² будет бесконечно малой при х→ 3, т.к. (х− 3)²=0; функция a(х)= является бесконечно малой при х→ ¥, т.к. =0

Свойства бесконечно малых функций.

1) Если функция у = у(х) имеет предел А при х→ а, то у(х) = А + a(х), где a(х) ─

бесконечно малая функция при х→ а.

2) Если функция у(х) = А + a(х), где А ─ число, a(х) ─ бесконечно малая

функция при х→ а, то у(х) = А.

3) Сумма конечного числа бесконечно малых функций при х→ а есть бесконечно

малая функция при х→ а.

4) Произведение двух бесконечно малых функций при х→ а есть бесконечно

малая функция при х→ а.

5) Произведение бесконечно малой функции при х→ а на ограниченную

функцию, есть бесконечно малая функция при х→ а.

6) Произведение бесконечно малой функции при х→ а на постоянную функцию,

есть бесконечно малая функция при х→ а.

Определение. Функция у = f(x) называется бесконечно большой при х→ а, если для любого положительного числа N можно найти такое число d> 0, что при всех х, удовлетворяющих условию 0 < │ х− а│ < d, выполняется неравенство │ f(x)│ > N.

Бесконечно большая функция не имеет предела при х→ а, но иногда условно говорят, что её предел равен бесконечности и пишут f(x) = ¥ или f(x)→ ¥ при х→ а. Если f(x) стремится к бесконечности, принимая только положительные или только отрицательные значения, то соответственно пишут f(x) = +¥, f(x) = − ¥.

Примером бесконечно большой функции является функция f(x) = при х→ 0, или функция g(x) = при х→ 2.

Лекция 13.

Основные теоремы о пределах функций. Замечательные пределы.

Теорема 1. Функция у = у(х) не может иметь более одного предела при х→ .

Доказательство. Предположим противное, пусть функция у = у(х) при х→ имеет два предела А₁≠ А₂. По свойствам бесконечно малых функций у(х)=А₁ + a₁(х) и у(х)=А₂+a₂(х), где a₁(х), a₂(х) ─ б.м.ф. при х→ . Тогда А₁ + a₁(х) = А₂+ a₂(х) или А₁ – А₂ = a₁(х) – a₂(х). Но последнее равенство невозможно, т.к. в левой части стоит постоянная, отличная от нуля, а в правой ─ бесконечно малая функция.

Теорема 2. Если каждая из функций у = у(х), z = z(x) имеет предел при х→ , то сумма, разность, произведение этих функций также имеют пределы, причём

1) (у(х) ± z(x)) = y(x) ± z(x);

2) (y(x) × z(x)) = y(x) × z(x),

если кроме того, z(x) ≠ 0, то частное имеет предел, причём

3) = .

Доказательство. Пусть y(x) = А, z(x) = В.

Тогда по свойствам б.м.ф. у(х)=А + a(х), z(x) = B + b(x), где a(х), b(х) ─ б.м.ф. при х→ . Получаем:

1) у(х) ± z(x) = (А ± В) + (a(х) ± b(х)). По свойствам б.м.ф. a(х) ± b(х) ─ б.м.ф., поэтому (у(х) ± z(x)) = А ± В, т.е. (у(х) ± z(x)) = y(x) ± z(x).

2) y(x) × z(x) = (А + B + b(x) = А× В + a(х) × B + А× b(x) + a(х)× b(x). По свойствам б.м.ф. функция a(х) × B + А× b(x) + a(х)× b(x) ─ б.м.ф. при х→ .

Поэтому (y(x) × z(x)) = АВ = y(x) × z(x).

3) Пусть В≠ 0. Рассмотрим разность

− .

По свойствам б.м.ф. функция ─ б.м.ф. при х→ .

Рассмотрим функцию = .

Очевидно, что = .

Это означает, что для e, равного, например, найдутся х, расположенные вокруг такие, что │ − │ < , т.е.

− < − < , < < .

Но это означает, что функция ограничена. Тогда по свойствам б.м.ф. произведение

─ б.м.ф. при х→ .

Обозначим её a₁(х), т.е. = a₁(х). Тогда + a₁(х). По свойствам б.м.ф. = = .

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак прела, т.е. если

с = const, то (с× у(х)) = с у(х).

Следствие 2. Если у(х) = А, то для любого натурального числа m

(у(х))^m = ( у(х))^m = A^m.

Теорема 3. Пусть три функции u = u(x), v = v(x), y = y(x) определены в некотором промежутке, содержащем точку . Если для любого х из этого промежутка выполняется неравенства

u(x) £ y(x) £ v(x)

и функции u = u(x), v = v(x) имеют одинаковые пределы при х→ , то функция у = у(х) имеет тот же предел при х→ .

Доказательство. Пусть u(x) = v(x) = A.

Т.к. u(x) £ y(x) £ v(x), то u(x)− А £ y(x)− А £ v(x)− А.

По определению предела функции " e> 0 существуют d₁> 0 и d₂> 0 такие, что из неравенств 0< │ х − │ < d₁следует │ u(x)− A│ < e, а из неравенств 0< │ х − │ < d₂следует │ v(x)− A│ < e. Обозначим d = min{d₁, d₂}. Тогда для х, удовлетворяющих неравенствам 0< │ х − │ < d следует − e < u(x)− A < e и − e < v(x)− A < e. Поэтому из неравенств u(x)− А £ y(x)− А £ v(x)− А следует − e < у(x)− A < e, т.е. │ у(x)− A│ < e. Это означает, что у(х) = А.

Теорема 4. Пусть функция у = f(x) определена в некотором промежутке, содержащем точку . Если при х→ функция у = f(x) имеет положительный (отрицательный) предел, то найдётся такой промежуток вокруг точки , что для всех х из этого промежутка функция положительна (отрицательна).

Доказательство. Пусть f(x) = А. Это означает, что " e> 0 можно указать такое число d> 0, что при всех х, удовлетворяющих условию 0< │ х− │ < d, выполняется

Неравенство │ f(x)− A│ < e, т.е. − e < f(x)− A < e.

Если А> 0, то взяв e = А из неравенства A− e < f(x) получим f(x)> A− e= =A− A = A> 0, т.е. f(x)> 0 при − d< x− < d, т.е. при − d< x< d+ .

Если А< 0, то взяв e = − А, из неравенства f(x)< A+e получим f(x)< A+e = =A− A = A< 0, т.е. f(x)< 0 при − d< x< d+ .

Эта теорема называется теоремой о сохранении знака функции, имеющей предел.

Теорема 5. Если функции u(x), v(x) определены в некотором промежутке, содержащем точку , и для всех х из этого промежутка, кроме х= , выполняется неравенство u(x)< v(x), причём функции u(x) и v(x) имеют пределы при х→ . Тогда u(x) £ v(x).

Доказательство. Пусть u(x) = А, v(x) = В. Положим, что А> B. По теореме2 (u(x)− v(x)) = А− В> 0. По теореме 4 найдётся промежуток вокруг точки такой, что для всех х из этого промежутка u(x)− v(x)> 0, т.е. u(x)> v(x), что противоречит условию.

Следовательно, предположение неверно и А£ В, т.е. u(x)£ v(x).

Определение. Будем говорить, что отношение двух функций f(x)/g(x) есть неопределённость вида (или ) при х→ , если числитель и знаменатель дроби ─ бесконечно малые функции (бесконечно большие функции) при х→ . В этом случае о пределе отношения f(x)/g(x) при х→ ничего определённого сказать нельзя: он может быть равен нулю, бесконечности, числу, отличному от нуля, а может и вовсе не существовать. Раскрыть эти неопределённости ─ значит вычислить предел отношения f(x)/g(x), если он существует, или доказать, что он не существует. Для раскрытия неопределённостей применяют различные методы.

⇐ Предыдущая 8 9 10 11 121314 15 16 17 Следующая ⇒