Не вполне упругий удар двух шаров

Рассмотрим не вполне упругий удар двух шаров. Не вполне упру­гим ударом называется такой удар, которому соответствует коэффи­циент восстановления k< 1.

Решая совместно систему уравнений (111.298) и (111.299), най­дем скорости шаров в конце рассматриваемого удара:

следовательно,

Косой удар двух шаров

Удар называется косым, если скорости соударяющихся шаров не направлены по прямой, соединяющей их центры тяжести. Пусть два шара движутся со скоростями υ ₂ и υ ₂ (рис. 135).

Проведем общую касательную τ в точке А и нормаль n. Для изу­чения косого удара данных тел воспользуемся уравнением (111.298) в проекциях на указанные направления касатель­ной и нормали

По определению коэффициентов восстановления

На основании (111.293)

Из указанных уравнений найдем искомые скорости u_1τ , u_1n, u_2τ , u_2n тел после удара.

Неупругий удар двух шаров

Неупругому (пластическому) удару соответствует коэффициент вос­становления k = 0. Неупругий прямой удар двух тел характери­зуется тем, что после удара тела движутся вместе как единое целое с одинаковой скоростью u₁ = u₂ = u.

Полагая в (111.298) u₂ = u₁ = u, найдем скорость тел в конце удара

и, следовательно,

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ

Общие замечания

Под точкой переменной массы подразумевается геометрическая точка, в которой сосредоточена конечная масса т (I), изменяющаяся во время движения по определенному закону.

Так, при движении масса ракеты изменяется за счет выбрасывае­мых из нее продуктов сгорания. Поступательное движение этой ра­кеты может быть легко сведено к изучению движения какой-либо ее характерной точки. Дифференциальные уравнения движения этой точки будут представлять собой дифференциальные уравнения дви­жения точки переменной массы m (t).

Другим примером тела переменной массы может служить рулон газетной бумаги, так как при разматывании его на валу печатной машины масса его уменьшается.

Классическим примером динамической задачи, где необходимо учитывать изменения масс движущихся тел, является шахтный подъ­емник.

При опускании груза в шахту длина подъемного каната, а следо­вательно, и его масса увеличиваются за счет уменьшения массы кана­та, навитого на барабане. При подъеме груза наблюдается обратное явление.

Можно привести еще ряд примеров, когда масса тел при движении увеличивается. Так, при падении на Землю метеоритов масса Земли увеличивается. Масса Солнца в результате лучеиспускания умень­шается, а при присоединении космической пыли возрастает.

Основоположник механики тел переменной массы И. В. Мещерский (1859—1935) в основу своих исследований положил гипотезу близкодействия отбрасываемых частиц. При этом допускалось, что при отделении от тела частицы происходит удар, при котором за весьма малый промежуток времени отбрасываемая частица получает отно­сительную скорость, и тогда дальнейшее взаимодействие отбрасы­ваемой частицы с данным телом прекращается.

Пользуясь этой гипотезой, И. В. Мещерский вывел основное урав­нение движения точки переменной массы.

Существенно подчеркнуть, что здесь речь идет о движении тел
переменной массы в пределах классической механики. При этом масса тел определяется обычным путем и изменяется по заранее задан
ному закону. Поэтому переменная масса, которая рассматривается
в данной главе, не имеет ничего общего с переменной массой, фигурирующей в теории относительности.

 

Уравнение Мещерского

При выводе уравнения Мещерского будем исходить из следующих соображений. Пусть точка, масса которой изменяется с течением вре­мени, в момент t имела массу m (t) и абсолютную скорость υ. Тогда количество движения этой точки в момент t равно

k = m(t) υ.

Пусть далее к данной точке за время dt присоединилась другая точка с массой dm (t), обладающая в момент присоединения конечной абсолютной скоростью u.

Тогда в момент t+dt образуется одна точка с массой m (t)+ dm (t), имеющая скорость υ +d υ и количество движения

Поскольку в момент t количество движения указанной системы равнялось m (t) υ + u dm, то приращение количества движения будет равно

С другой стороны, d k = d S, где d S — элементарный импульс равнодействующей силы F. Следовательно,

откуда

где u — υ = υ _r — относительная скорость присоединенной к точке
массы (рис. 138).
Тогда

 

где

называется реактивной силой.

Следовательно,

Это дифференциальное уравнение движения точки переменной мас­сы называется уравнением Мещерского. Оно было выведено в его ма­гистерской диссертации, опубликованной в 1897 г.

Основной закон движения точки переменной массы, выражаемый уравнением (111.273). может быть сформулирован следующим обра­зом: при движении точки переменной массы в любой момент времени произведение массы этой точки на ее ускорение равно геометрической сумме действующих на точку сил F и реактивной силы Ф.

Если относительная скорость υ _r= u — υ отделяющихся (или присоединяющихся) частиц будет равна нулю, т. е. тело переменной массы не отбрасывает отделяющиеся от него частицы, а просто распа­дается, то реактивная сила в этом случае будет равна нулю и из урав­нения Мещерского (111.310) видно, что движение такой точки пере­менной массы выражается уравнением

m υ = F,

которое имеет вид уравнения движения материальной точки постоян­ной массы, в котором масса m точки будет переменной величиной, заданной функцией времени.

Проектируя обе части уравнения (111.310) на оси неподвижной системы координат Охуz, получим три скалярных уравнения:

Для подавляющего числа случаев современной ракетодинамики можно принять гипотезу Циолковского, заключающуюся в том, что вектор относительной скорости υ _r отбрасываемых частиц постоянен по величине, лежит на касательной к траектории движения точки переменной массы и направлен в сторону, противоположную вектору скорости v движения излучаемой точки переменной массы, т. е.

υ _r=- υ _r τ _r

где

υ _r= =const,

τ — единичный вектор касательной к траектории движения точки переменной массы.

В этом случае уравнение движения (111.310) примет вид

mυ = F - υ _rm(t) τ.

В современной ракетодинамике большой интерес представляет случай прямолинейного восходящего движения ракеты, когда в урав­нении (111.310) равнодействующая внешних сил F представляет собой векторную сумму двух сил F ₁+ F ₂. Сила F ₁ = mа пропорциональна переменной массе движущейся точки; сила F ₂ — сила сопротивления, зависит от скорости движения точки. Эта задача впервые была по­ставлена и частично изучена И. В. Мещерским для двух случаев: когда сила сопротивления F ₂ является линейной функцией скорости точки и когда F ₂ пропорциональна квадрату скорости ее движения. Уравнение (111.311) при F = F ₁ + F ₂, F ₁ = mа примет вид

m υ =m а — υ _rm τ + F ₂.

 

Если пренебречь силами сопротивления F ₂ и представить массу тела в виде m = m₀ ƒ (t), где m₀ — масса точки вначале, т. е. при t = 0; ƒ (0) = 1, то это уравнение примет вид

где a — известная функция, зависящая как от времени t, так и от расстояния.

В настоящее время функцию ƒ (t) в большинстве случаев принимают при линейном законе изменения массы в виде

ƒ (t)= 1 — α t,

а при показательном законе изменения массы в виде

ƒ (t)=e^{-α t}.

Таким образом, массу движущейся точки выражают в двух видах:

m(t)= m₀(1 — α t),

m(t)= m₀ e^{-α t}.

В этом случае реактивная сила Ф = υ _rm будет равна

Ф ⁽¹⁾= - α m₀ υ _r

либо

Ф ⁽²⁾= - α m₀ e^{-α t} υ _r.

Так как по гипотезе К. Э. Циолковского υ _r = соnst, то величина реактивной силы Ф ⁽¹⁾ будет постоянной, а силы Ф ⁽²⁾ — переменной, уменьшающейся по тому же закону, что и масса движущейся точки.

Таким образом, ускорение вызванное

силой Ф ⁽¹⁾, действующей на точку, переменной массы, будет стечением

времени численно возрастать, а ускорение бу­дет оставаться постоянным.

Если F = 0, то υ = υ ₀. Отсюда получаем закон инерции для точки переменной массы.

Когда отсутствуют внешние силы, точка переменной массы будет двигаться прямолинейно и равномерно со скоростью υ ₀ (при υ ₀≠ 0) или находиться в покое (при υ ₀= 0), если относительная скорость отделения ее частиц равна нулю, т. ё. υ _r = 0.

Если F = 0 и абсолютная скорость отделяющихся частиц и так­же равна нулю, т. е. при υ _r = — υ получим

m υ = - υ m, или (m υ )=0.

Интегрируя и обозначая постоянную интегрирования С = m₀ υ ₀,

получим m υ = m₀ υ ₀, откуда

где m₀ и υ ₀ — масса точки и скорость ее в момент t = 0, принятый за начальный.

Видим, что при отсутствии внешних сил и абсолютной скорости отделения частиц, равной нулю, скорость υ излучающей точки переменной массы увеличивается обратно пропорционально умень­шению массы излучаемой точки.

⇐ Предыдущая45678910111213

Поделиться:

Популярное:

1. E) Теория государства и права
2. I. Древнерусское государство и право (IX–XII вв.)
3. I. Принятие нормативных актов органами государства.
4. II. ЭВОЛЮЦИЯ ДВУХ РАЗНЫХ ПОДХОДОВ
5. IV. Государственная политика в области управления и развития рынка недвижимости
6. IV. Математическая двухзонная модель пожара в здании
7. IV.4. ПОСТАНОВЛЕНИЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА РФ О ПОРЯДКЕ ВЫПЛАТЫ ГОСУДАРСТВЕННЫХ единовременных пособий и ежемесячных денежных компенсаций гражданам при возникновении у них ПОСТВАЦИНАЛЬНЫХ ОСЛОЖНЕНИЙ
8. IX – XIII вв. – раннефеодальное государство» ?
9. V. О предметах ведения Государственной Думы
10. XIII. ГОСУДАРСТВО КАК ВЫСШАЯ УГРОЗА
11. а, г – пресс канты с двухсторонней «прибылью», б – пресс-канты с односторонней «прибылью», в – пресс-канты без «прибыли»
12. А, г – пресс канты с двухсторонней «прибылью», б – пресс-канты с односторонней «прибылью», в – пресс-канты без «прибыли»