Тема: Операции над векторами. Вычисление модуля и скалярного произведения

Цель: Формирование навыков выполнения операций над векторами и вычисления модуля и скалярного произведения векторов.

На выполнение практической работы отводится 2 часа.

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Отрезок называется направленным, если один из его концов считается началом отрезка, а другой – его концом.

Вектором называется направленный отрезок. Вектор, заданной парой несовпадающих точек, обозначается символом . Точка называется началом, а точка - концом вектора.

Расстояние | | называется диной (модулем) вектора .

Вектор , концы которого совпадают, называется нулевым вектором. Длина нулевого вектора равна нулю.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: .

Скалярное произведение векторов и выражается через их координаты по формуле .

Угол между двумя векторами и находится по формуле .

Если отрезок разделен точкой в отношении , то координаты точки находятся по формулам

, .

Если , то получаются формулы для нахождения координат середины отрезка:

, .

Пример

Задание: Отрезок, концы которого А(-11; 1) и В(9; 11), разделен в отношении 2: 3: 5 (от А к В). Найти точки деления.

Решение: Обозначим точки деления от А к В через С и D. По условию , , , и АС: СD: DВ=2: 3: 5. тогда С делит АВ в отношении ; значит ; ; таким образом точка С имеет координаты (-7; 3).

Точка D служит серединой АВ, поэтому ; . Тогда D(-1; 6).

Задания для самостоятельной работы

1. Найдите координаты вектора , если , .
2. Точка делит АВ в отношении 1: 4 (от А к В). Найдите точку А, если В(-6; -1).
3. Найдите точку М, равноудаленную от осей координат и от данной точки А(4; -2).
4. Вычислите угол между векторами и .
5. Даны векторы , и . Определите координаты вектора: а) ;

б) .

1. Найдите скалярное произведение векторов и .
2. Вычислите и , если:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

1. Найдите скалярное произведение векторов:

1) и ;

2) и ;

3) и ;

4) и .

Вопросы для самоконтроля:

1. Дайте определение вектора.

2. Что понимается под длиной или модулем вектора?

3. Какие векторы называются коллинеарными?

4. Что мы понимаем под произведением вектора на число?

5. Что называется суммой векторов? Какие правила нахождения сумм векторов существуют?

6. Что называется разностью двух векторов? Как построить разность двух векторов?

7. Дайте определение скалярного произведения двух векторов?

8. По какой формуле вычисляется скалярное произведение в координатах?

9. По какой формуле вычисляется угол между двумя векторами в координатах?

Практическое занятие №6

Тема: Составление уравнений прямых и кривых второго порядка, их построение

Цель: Формирование навыков составления уравнений прямых и кривых второго порядка, их построения

На выполнение практической работы отводится 2 часа.

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Уравнение первой степени относительно переменных и , то есть уравнение вида при условии, что коэффициенты и одновременно не равны нулю, называется общим уравнением прямой.

Уравнение вида называется векторным уравнением прямой. Если его переписать в координатной форме, то получится уравнение .

Каноническое уравнение прямой записывается в следующем виде , где и - координаты направляющего вектора прямой.

Уравнение прямой в отрезках на осях имеет вид , где и - соответственно абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями и .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид , где - угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к оси , а - ордината точки пересечения прямой с осью .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид , где - угловой коэффициент прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и , имеет вид . Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки и , находится из соотношения .

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки этой плоскости, называемой центром.

Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом имеет вид .

Уравнение окружности с центром в точке и радиусом имеет вид .

Уравнение окружности в общем виде записывается так: , где , , и - постоянные коэффициенты.

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная , большая расстояния между фокусами .

Уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси , имеет вид , где - длина большей полуоси; - длина малой полуоси.

Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная , меньшая расстояния между фокусами .

Уравнение гиперболы, фокусы которого лежат на оси , имеет вид , где - длина действительной полуоси; - длина мнимой полуоси.

Параболой называется множество точек на плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось и ветви направлены вверх, имеет вид , где (параметр параболы) – расстояние от фокуса до директрисы. Уравнение ее директрисы .

Пример

Задание 1: Построить прямую .

Решение: Найдем точки пересечения прямой с осями и .

Пусть .

Пусть .

Изобразим найденные точки на координатной плоскости и соединим их, таким образом, получим прямую заданную уравнением (рис. 1).

 

Задание 2: Построить прямую .

Решение: Перепишем уравнение в виде: , то есть и . Таким образом, получаем точки и , прямая проходящая через точки и является искомой (рис. 2).

 

 

Задание 3: Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку .

Решение: Вектор коллинеарен искомой прямой. Для составления уравнения прямой используем каноническое уравнение прямой: . Таким образом, подставив в данное уравнение , , , получим искомое уравнение прямой проходящей через начало координат и точку :

.

Задание 4: Составить уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору .

Решение: Пусть - произвольная точка искомой прямой. Вектор перпендикулярен вектору . Так как векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, то есть . Записав произведение этих векторов в координатной форме, получим:

. Уравнение искомой прямой имеет вид .

Задания для самостоятельной работы

1. Проверить принадлежат ли точки , , и прямой .
2. Построить прямые:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .

1. Построить фигуру, ограниченную линиями , , и . Вычислить площадь этой фигуры.
2. Преобразуйте уравнения следующих прямых к уравнениям в отрезках на осях:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

1. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку : 1) ;

2) .

1. Составить уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору :

1) ; ;

2) ; .

1. Составить уравнение окружности, проходящей через точки:

1) , , ;

2) , , ;

3) , , .

1. Составьте уравнение эллипса, если две его вершины находятся в точках и , а фокусы в точках и :

1) , , , ;

2) , , , ;

3) , , , .

Вопросы для самоконтроля:

1. Какое уравнение называется общим уравнением прямой?

2. Какой вид имеет векторное уравнение прямой?

3. Какое уравнение называется каноническим уравнением прямой?

4. Запишите уравнение прямой в отрезках на осях и уравнение прямой с угловым коэффициентом.

5. Какой вид имеют уравнения прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении и прямой, проходящей через две данные точки?

6. Что называется окружностью, эллипсом, гиперболой, параболой?

Практическое занятие №7

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Абстрактные законы операций над множествами
2. Активны операции центрального банка.
3. АНАЛИЗ СИЛЬНЫХ И СЛАБЫХ СТОРОН, ВОЗМОЖНОСТЕЙ И УГРОЗ организации (предприятия) системы потребительской кооперации
4. АННАЛЫ И НАДПИСИ АССИРИЙСКИХ ЦАРЕЙ. № 44. БИТВА ПРИ КАРКАРЕ
5. Арифметические операции (АО)
6. Артикулирование звуков, работа над дикцией
7. Асимметричная федерация, которая характеризуется разностатусностью субъектов. Асимметричными федерациями являются Индия, Танзания, Россия, Бразилия, Канада.
8. БАРЬЕРЫ НА ПУТИ К НАДЕЛЕНИЮ ПОЛНОМОЧИЯМИ
9. Безопасность технических систем: критерии и уровни. Надежность технических систем.
10. Блоки модуля методологических оснований концептуальной модели педагогической системы вузовского формирования функциональных компетентностей будущих учителей физической культуры
11. Больной оперируется по поводу острой кишечной непроходи-мости через 12 часов с момента заболевания. На операции об-
12. Британские доминионы. Канада