Тема: Вычисление частных производных и дифференциалов функций нескольких переменных

Цель: Формирование навыков вычисления частных производных и дифференциалов функций нескольких переменных

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Частная производная (первого порядка) функции нескольких переменных по одному из независимых аргументов определяется как производная этой функции по соответствующему аргументу при условии, что остальные переменные считаются постоянными. При вычислении частных производных используются обычные формулы дифференцирования.

Частной производной функции двух независимых переменных и по аргументу называется производная этой функции по при постоянном . Аналогично, частной производной функции по аргументу называется производная этой функции, вычисленная при постоянном . Частные производные обозначаются следующим образом: , , , .

Полный дифференциал дифференцируемой функции в некоторой точке есть выражение вида:

, (1)

где и вычисляются в точке , а дифференциалы независимых переменных равны их приращениям: , .

Формула (1) для дифференциала остается в силе, если и являются функциями каких-либо других аргументов – в этом заключается свойство инвариантности полного дифференциала первого порядка.

Аналогично определяется и вычисляется полный дифференциал функции любого числа независимых переменных.

Теоремы и формулы для дифференциалов функций двух, трех и так далее аргументов аналогичны соответствующим теоремам и формулам для функции одного аргумента.

Примеры

Задание 1: Найти частные производные следующих функций:

1) ;

2) ;

3) .

Решение: 1) При нахождении частной производной по будем рассматривать как величину постоянную. Тогда получим

Аналогично, рассматривая как величину постоянную, найдем частную производную по :

2) Имеем

;

3) Здесь есть функция трех независимых переменных , и . При вычислении частной производной по каждой из этих переменных две другие следует считать постоянными величинами. Следовательно,

; ;

(так как при дифференцировании по и по берется производная от показательной функции, а при дифференцировании по - от степенной функции).

Задание 2: Вычислить полный дифференциал функции в точке .

Решение: Находим частные производные:

;

Таким образом, по формуле (1) получим .

Задания для самостоятельной работы

Найти частные производные следующих функций:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ;

12) ; 13) .

Найти полные дифференциалы заданных функций:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) 9) .

Вычислить значения полных дифференциалов функций:

1) при , , , ;

2) при , , , ;

3) при , , , ;

4) при , , , , , .

Проверить, что функция удовлетворяет уравнению .

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется частной производной функции по аргументу ?

2. Что называется частной производной функции по аргументу ?

3. Дайте определение полного дифференциала функции в некоторой точке.

4. В чем заключается свойство инвариантности полного дифференциала первого порядка?

Практическое занятие №18

Тема: Вычисление двойных интегралов

Цель: Формирование навыков вычисления двойных интегралов

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Пусть в некоторой ограниченной замкнутой области плоскости задана непрерывная функция , где точка . Разобьем эту область произвольным образом на частичных плоских ячеек , имеющие площади . В каждой такой ячейке выберем по одной произвольной точке и вычислим значения функции во взятых точках. Составим так называемую интегральную сумму функции по области :

. (1)

Двойным интегралом от функции по области называется предел интегральной суммы (1) при стремлении к нулю наибольшего из диаметров всех ячеек данного разбиения:

(2)

Диаметром фигуры называется наибольшее из расстояний между ее точками.

Основные свойства двойного интеграла

Двойной интеграл по области от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме двойных интегралов от слагаемых функций по этой же области:

Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла:

Область интегрирования двойного интеграла можно разбить на части, то есть если область состоит из двух непересекающихся областей и , то

Примеры

Задание 1: Вычислить повторный интеграл .

Решение: Вычислим сначала внутренний интеграл по переменной , считая постоянным:

Задание 2: Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной прямыми , , и .

Решение: Область является простой относительно осей и (рис. 1), поэтому для вычисления интеграла можно использовать любую из формул или . Сначала вычислим двойной интеграл по первой формуле: . Вычислив внутренний интеграл по переменной при постоянном , находим

. Подставив это выражение во внешний интеграл, получим .

Теперь вычислим двойной интеграл по второй формуле . Найдем внутренний интеграл: . Далее найдем внешний интеграл: , то есть получили тот же ответ.

Задания для самостоятельной работы

Вычислить повторные интегралы:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

Вычислить двойные интегралы по областям, ограниченным указанными линиями:

1) , , ;

2) , , ;

3) , , , , ;

4) , , , ;

5) , , ;

6) , , , .

Вопросы для самоконтроля:

Что называется интегральной суммой функции в области ?
Дайте определение двойного интеграла.
Перечислите основные свойства двойного интеграла.
Какие случаи расположения области относительно осей координат возникают при вычислении двойных интегралов? Запишите формулы вычисления двойных интегралов для каждого из этих случаев.
Какие интегралы называются повторными или двукратными?

Практическое занятие №19

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 7 8 91011 12 Следующая ⇒