Тема: Вычисление производных функций по определению производной

Цель: Формирование навыков вычисления производных функций по определению производной

На выполнение практической работы отводится 2 часа.

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Производной функции в точке (производной первого порядка) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда последнее стремится к нулю: .

Если этот предел конечен, то функция называется дифференцируемой в точке ; в противном случае (то есть если он не существует или равен бесконечности) – не дифференцируемой. В том случае, когда предел есть бесконечность, говорят, что функция имеет в точке бесконечную производную.

Дифференциалом функции (дифференциалом первого порядка) называется главная часть ее приращения, пропорциональная приращению независимой переменной .

Дифференциал независимой переменной равен ее приращению :

Дифференциал любой дифференцируемой функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной:

. (1)

Соотношение (1) остается в силе и тогда, когда есть функция другого аргумента – в этом заключается инвариантность формы первого дифференциала.

Из соотношения (1) получаем , то есть производная первого порядка функции равна отношению первого дифференциала функции к дифференциалу ее аргумента.

Пример

Задание: Пользуясь определением производной, найти производную и дифференциал функции . Вычислить .

Решение: Найдем приращение функции , соответствующее данному приращению аргумента :

Тогда

По формуле (1) находим дифференциал функции:

Подставляя в выражение для значение , получим

Задания для самостоятельной работы

Найдите производные и дифференциалы от указанных функций, пользуясь непосредственно определением производной:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .

Дана функция . Найти .
Дана функция . Найти .
Дана функция . Найти , а затем вычислить , .
Дана функция . Найти , .
Дана функция . Найти , .
Дана функция . Показать, что .
Показать, что функция не дифференцируема в точке .

Вопросы для самоконтроля:

1. Дайте определение производной первого порядка.

2. Какая функция называется дифференцируемой? Какая функция называется не дифференцируемой?

3. Что называется дифференциалом первого порядка?

4. Сформулируйте определение дифференциала функции.

5. В чем заключается инвариантность формы первого дифференциала.

6. Сформулируйте общее правило нахождения производной функции.

Практическое занятие №10

Тема: Вычисление производных сложных функций

Цель: Формирование навыков вычисления производных сложных функций

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Пусть и - дифференцируемые функции. Тогда сложная функция есть также дифференцируемая функция, причем

, или (1)

Это правило распространяется на цепочку из любого количества дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, ее составляющих.

Пример

Задание: Найдите производные функций: 1) ;

2) .

Решение: 1) Предположим, что , где . Тогда по формуле (1) найдем

2) Предполагая, что , , , получим

Задания для самостоятельной работы

Вычислить производные заданных функций:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) .

Вопросы для самоконтроля:

1. Дайте определение производной функции.

2. Перечислите правила нахождения производной функции.

3. Какие функции называются дифференцируемыми?

4. Какая функция называется сложной?

5. Как найти производную сложной функции?

Практическое занятие №11

Тема: Вычисление производных и дифференциалов высших порядков

Цель: Формирование навыков вычисления производных и дифференциалов высших порядков

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Производная второго порядка (вторая производная) от функции есть производная от ее первой производной: .

Производная третьего порядка (третья производная) от функции есть производная от ее второй производной: .

Производная n – го порядка (n – я производная) от функции есть производная от ее (n – 1) – ой производной: .

Дифференциал второго порядка (второй дифференциал) функции есть дифференциал от ее первого дифференциала: .

Дифференциал третьего порядка (третий дифференциал) функции есть дифференциал от ее второго дифференциала: .

Дифференциал n – го порядка (n – ый дифференциал) функции есть дифференциал от ее (n – 1) – ого дифференциала: .

Примеры

Задание 1: Найти , , , …, если .

Решение: ,

, , .

Задание 2: Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функции .

Решение: ,

Задания для самостоятельной работы

Найти производные второго порядка:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) .

Дана функция . Найти , , .
Найти производные третьего порядка:

1) ; 2) ; 3) .

Найти дифференциалы первого и второго порядков функции .
Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функций:

1) ; 2) ;

3) .

Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется производной второго порядка?

2. Что называется производной n – го порядка?

3. Что называется дифференциалом функции?

4. Что называется дифференциалом второго порядка?

5. Что называется дифференциалом n – го порядка? По какой формуле он вычисляется?

Практическое занятие №12

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 678 9 10 11 Следующая ⇒