Тема: Вычисление определенных интегралов

Цель: Формирование навыков вычисления определенного интеграла при помощи формулы Ньютона – Лейбница

На выполнение работы отводится 2 часа

Требования к выполнению работы:

1. Ответить на теоретические вопросы.
2. Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Функция, интегрируемая на промежутке , если при любых разбиениях промежутка , таких, что при произвольном выборе точек (где ), сумма при стремится к пределу .

Предел называют определенным интегралом от функции на промежутке и обозначают , то есть .

Число называется нижним пределом интеграла, - верхним. Промежуток называется промежутком интегрирования, - переменной интегрирования.

Для вычисления определенного интеграла от функции в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл , служит формула Ньютона – Лейбница: . То есть определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Примеры

Вычислить следующие определенные интегралы:

1) ; 2) ; 3) .

Решение: 1) ;

2) ;

3) .

Задания для самостоятельной работы

Вычислить определенные интегралы:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ;

12) ; 13) ; 14) ;

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется интегральной суммой для функции на отрезке?

2. Дайте определение определенного интеграла.

3. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

4. В чем заключается суть формулы Ньютона – Лейбница?

Практическое занятие №15

Тема: Вычисление площадей фигур с помощью определенных интегралов

Цель: Формирование навыков вычисления площадей фигур с помощью определенных интегралов

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Определенный интеграл широко применяется при вычислениях различных геометрических фигур и физических величин.

Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью и двумя прямыми и , где , (рис. 1).

Так как дифференциал переменной площади есть площадь прямоугольника с основанием и высотой , то есть , то, интегрируя это равенство в пределах от до , получим .

Если криволинейная трапеция прилегает к оси так, что , (рис. 2), то дифференциал переменной площади равен , откуда .

 

В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой , осью и прямыми и , лежит под осью (рис.3), площадь находится по формуле .

Если фигура, ограниченная кривой , осью и прямыми и , расположена по обе стороны от оси

x

(рис. 4), то .

 

 

 

 

Пусть фигура ограничена двумя пересекающимися кривыми и , и прямыми и , где и (рис. 5). Тогда ее площадь находится по формуле .

Примеры

Задание: Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями:

1) , , и ;

2) , , и .

Решение: 1) Строим прямую по двум точкам и .

 

 

Выразим через , получим . Найдем площадь полученной фигуры:

Ответ:

2) - квадратичная функция; ; график – парабола, ветви направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы: , отсюда следует, что . Таким образом, вершина параболы имеет координаты: . Найдем площадь полученной фигуры:

 

.

Ответ:

Задания для самостоятельной работы

1. Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми , , и осью абсцисс.
2. Найти площадь фигуры, заключенной между осями координат и прямыми и .
3. Найти площадь фигуры, ограниченной ветвью гиперболы и прямыми , .
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой , прямыми , и осью абсцисс.
5. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой , осями координат и прямой .
6. Найти площадь фигуры, заключенной между прямыми , , и .
7. Найти площадь фигуры, отсекаемой от параболы прямой .
8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .
9. Найти площадь фигуры, заключенной между параболами и .
10. Вычислить площадь фигуры, заключенной между кривыми и .

Вопросы для самоконтроля:

1. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, находящейся над осью ?

2. По какой формуле вычисляется площадь фигуры прилегающей к оси ?

3. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, находящейся под осью ?

4. По какой формуле вычисляется площадь фигуры расположенной по обе стороны оси ?

5. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, ограниченной двумя пересекающимися кривыми?

Практическое занятие №16

Тема: Нахождение области определения и вычисление частных значений для функции нескольких переменных

Цель: Формирование навыков нахождения области определения и вычисления частных значений для функции нескольких переменных

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Уравнение

(неявная форма) (1)

или

(явная форма) (2)

определяет переменную как функцию независимых переменных . Областью определения функции переменных является множество точек -мерного пространства, в которых функция принимает определенное действительное значение.

При уравнение (1) определяет функцию трех переменных

или ,

Областью определения которой является множество точек трехмерного пространства .

При уравнение (1) определяет функцию двух переменных

или .

Частным значением функции называется такое ее значение, которое соответствует системе значений .

 

Примеры

Задание 1: Найти области определения функций:

1) ; 2) .

Решение: 1) Область определения функции состоит из всех точек плоскости, для которых , то есть . Таким образом, искомая область есть круг с центром в начале координат и радиусом 1. она является замкнутой, так как включает свою границу – окружность .

2) Так как логарифм определен только при положительных значениях аргумента, то , откуда . Следовательно, областью определения данной функции служит внутренняя часть круга с центром в начале координат и радиусом 3. эта область открытая, поскольку она не включает свою границу – окружность .

Задание 2: Найти частное значение функции в точке .

Решение: Подставляя в выражение функции значения и , получим .

Задания для самостоятельной работы

1. На плоскости построить область изменения переменных и , заданные нижеследующими неравенствами. Указать тип области.

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

 

1. Найти области определения функций:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

 

1. Вычислить частные значения функций:

1) при и ;

2) в точке ;

3) при и .

 

1. Дана функция . Вычислить , , , , , , .

 

1. Доказать, что для функции выполняется равенство .

 

1. Периметр треугольника равен 18. Выразить площадь треугольника как функцию двух его сторон и . Определить и построить область возможных значений и .

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется функцией нескольких переменных?

2. Что называется областью определения функции переменных?

3. Что называется частным значением функции двух переменных?

4. Что называется границей области?

5. Какая область называется замкнутой, а какая открытой?

Практическое занятие №17

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Вопрос 68. Правовая система: понятие и структура, критерии классификации правовых систем.
2. Вычисление ДПФ конечной последовательности.
3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЕДИНИЧНОЙ МАТРИЦЫ
4. Вычисление определенных интегралов
5. Вычисление статистической вероятности
6. ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММЫ (СУММИРОВАНИЕ) ЭЛЕМЕНТОВ ВЕКТОРА
7. Запрос с вычислением значения в каждой записи
8. Лекция 10. Тема: ЕВРОПА В ПЕРИОД НОВОГО ВРЕМЕНИ (XVIІ-XVIIІ вв.)
9. Лекция 18. Тема: Семинар 17. Тема: РОССИЯ ВО ВТОРОЙ ПОЛОВИНЕ ХХСТОЛЕТИЯ. СТАНОВЛЕНИЕ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОСТИ НА РУБЕЖЕ ТЫСЯЧЕЛЕТИЙ (1991-2015 гг.)
10. Лекция 6. Тема: Теория поэтапного формирования умственных действий и понятий П.Я. Гальперина
11. Лекция 8. Тема: Психологические особенности преподавательской деятельности
12. Лекция по гистологии №18. Пищеварительная система: источники и эмбриональное развитие, общая морфо-функциональная характеристика, общий принцип строения