Тема: Полное исследование функции. Построение графиков

Цель: Формирование навыков исследования функции и построения графиков

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Общая схема построения графиков функций

1. Найти область определения функции.
2. Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической.
3. Найти точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений).
4. Найти асимптоты графика функции.
5. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы.
6. Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.
7. Построить график, используя полученные результаты исследования.

Пример

Построить график функции .

Решение:

1. Функция определена на всей числовой оси, то есть .
2. Данная функция не является ни четной, ни нечетной; кроме того, она не является периодической.
3. Найдем точку пересечения графика с осью : полагая , получим . Точки пересечения графика с осью в данном случае найти затруднительно.
4. Очевидно, что график функции не имеет асимптот.
5. Найдем производную: . Далее, имеем Точки и делят область определения функции на три промежутка: , и . В промежутках и , то есть функция возрастает, а в промежутке , то есть функция убывает. При переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку - с минуса на плюс. Значит, , .
6. Найдем вторую производную: ; , . Точка делит область определения функция на два промежутка и . В первом из них , а во втором , то есть в промежутке кривая выпукла вверх, а в промежутке выпукла вниз. Таким образом, получаем точку перегиба .
7. Используя полученные данные, строим искомый график (рис. 1).

 

 

Задания для самостоятельной работы

Исследуйте следующие функции и постройте их графики:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) .

Вопросы для самоконтроля:

1. Дайте определение возрастания и убывания функции.

2. Дайте определение экстремума функции.

3. Как найти наибольшее и наименьшее значения функции?

4. Сформулируйте определение асимптоты. Перечислите основные виды асимптот.

5. Сформулируйте общую схему исследования функции для построения графика.

Практическое занятие №13

Тема: Интегрирование заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле

Цель: Формирование навыков нахождения неопределенных интегралов методами замены переменной и по частям

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Проинтегрировать функцию - значит найти ее неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании основных свойств неопределенного интеграла и таблицы простейших интегралов.

В основе интегрирования способом подстановки (или замены переменной) лежит свойство инвариантности формул интегрирования, которое заключается в следующем: если , то , где - произвольная дифференцируемая функция от .

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок следующих двух типов:

1) - где - новая переменная, а - непрерывно дифференцируемая функция. В этом случае формула замены переменной такова:

(1)

Функцию стараются выбирать таким образом, чтобы правая часть формулы (1) приобрела более удобный для интегрирования вид;

2) , где - новая переменная. В этом случае формула замены переменной имеет вид

(2)

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

, (3)

где и - непрерывно дифференцируемые функции от . С помощью формулы (3) отыскание интеграла сводится к нахождению другого интеграла , ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.

При этом в качестве берется функция, которая при дифференцировании упрощается, а в качестве - та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Так, при нахождении интегралов вида

за следует принять многочлен , а за - соответственно выражения , ; при отыскании интегралов вида

за принимаются соответственно функции , , , а за - выражение .

Примеры

Найти интегралы: 1) ; 2) .

Решение: 1) Данный интеграл окажется табличным, если под знаком дифференциала будет находиться аргумент подынтегральной функции . Так как , то . Следовательно, подстановка приводит рассматриваемый интеграл к табличному: . Возвращаясь к старой переменной , окончательно получим .

2) Предполагая , , найдем , . Следовательно,

.

Задания для самостоятельной работы

Найти интегралы методом непосредственного интегрирования:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9)

Найти интегралы способом подстановки:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) .

Найдите интегралы при помощи интегрирования по частям:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется первообразной? Перечислите свойства первообразной функции.

2. Что называется неопределенным интегралом?

3. Какие свойства неопределенного интеграла вы знаете?

4. Перечислите основные формулы интегрирования.

5. Какие методы интегрирования вы знаете? В чем заключается их сущность?

Практическое занятие №14

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. II. Исследование дактилокарт
2. II. Сравнительное исследование
3. III. 1.-ПОСТРОЕНИЕ ТЕХНИКИ ПЛАВАНИЯ С УЧЕТОМ ОСНОВНЫХ ЗАКОНОВ ДИНАМИКИ
4. III. 3. ПОСТРОЕНИЕ ТЕХНИКИ ПЛАВАНИЯ С УЧЕТОМ АНАТОМИЧЕСКИХ ОСОБЕННОСТЕЙ СТРОЕНИЯ ТЕЛА ЧЕЛОВЕКА
5. XI. ПОСТРОЕНИЕ И ПРОЦЕСС ПСИХОДРАМЫ. КОНСТИТУЕНТЫ (ИНСТРУМЕНТЫ); ФАЗЫ И ФОРМЫ
6. В КАКИХ СЛУЧАЯХ ПРОИЗВОДИТСЯ ПОЛНОЕ ОПРОБОВАНИЕ АВТОТОРМОЗОВ?
7. В каком случае происходит более полное всасывание?
8. В то же время, для динамического подхода было характерным построение вертикальных связей, объединяющих первичное с вторичным (функциональная связь) и высшее с низшим (иерархическая связь).
9. В том, что любой живой организм состоит из клеток, но клетки выполняют разные функции.
10. Вопрос 1. Понятие чека и его функции.
11. Вопрос 4. Построение логической модели данных
12. Вопрос 68. Правовая система: понятие и структура, критерии классификации правовых систем.