Тема: Вычисление пределов с помощью замечательных пределов, раскрытие неопределенностей

Цель: Формирование навыков вычисления пределов с помощью замечательных пределов, раскрытия неопределенностей

На выполнение практической работы отводится 2 часа.

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Число называется пределом функции при , стремящемся к , если для любого числа найдется такое число , что при всех , удовлетворяющих неравенству , будет выполнено неравенство .

Вычисление предела функции следует начинать с подстановки предельного значения аргумента , ( - число или один из символов , , ) в выражение, определяющее эту функцию. При этом приходится сталкиваться с двумя существенно различными типами примеров.

I. Если основная элементарная функция определена в предельной точке , то .

Имеют место основные теоремы, на которых основано вычисление пределов элементарных функций.

Если - постоянная величина, то .
Если - постоянная величина, то .
Если существуют конечные пределы и , то:

;

II. Функция в предельной точке не определена. Тогда вычисление предела требует в каждом случае индивидуального подхода. В одних случаях (наиболее простых) вопрос сводится к применению теорем о свойствах бесконечно малых и бесконечно больших функций и связи между ними.

Более сложными случаями нахождения предела являются такие, когда подстановка предельного значения аргумента в выражение для приводит к одной из неопределенностей:

, , , , , , .

Тогда вычисление предела заключается в раскрытии полученных неопределенностей.

Здесь могут оказаться полезными:

первый замечательный предел , ( - радианная мера угла);

второй замечательный предел .

Кроме того, при раскрытии неопределенностей используют следующие приемы:

сокращение дроби на критический множитель при ;
избавление от иррациональности в числителе или знаменателе дроби;
разложение многочленов на линейные или квадратичные множители при , .

Пример

Вычислить пределы:

Задание 1: 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Решение: 1) , при , (на ноль делить нельзя). Таким образом, есть величина бесконечно малая, а обратная ей величина - бесконечно большая. Поэтому при произведение есть величина бесконечно большая, то есть .

2) =

= .

3) ; умножим числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель .

= .

4) ; вынесем за скобки, получим (при , , - бесконечно малые величины и их пределы равны нулю).

Задание 2: 1) ; 2) .

Решение: 1) ; выполним преобразования и воспользуемся вторым замечательным пределом.

2) .

Задания для самостоятельной работы

Вычислить пределы:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) .

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется пределом функции?

2. Каким образом определяется число ?

3. Сформулируйте основные теоремы вычисления пределов.

4. Запишите формулы соответствующие первому и второму замечательным пределам.

5. Какие приемы используются при раскрытии неопределенностей?

Практическое занятие №8

Тема: Вычисление односторонних пределов, классификация точек разрыва

Цель: Формирование навыков вычисления односторонних пределов, классификации точек разрыва

На выполнение практической работы отводится 2 часа.

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть .

Функция называется непрерывной в точке , если существует конечный предел функции в этой точке, который равен значению функции в точке , то есть .

Примером непрерывной функции может служить любая элементарная функция, которая непрерывна в каждой точке своей области определения.

Точка называется точкой разрыва функции , если эта функции определена в некоторой окрестности точки , но в самой точке не удовлетворяет условию непрерывности.

Точки разрыва функции делятся два типа. К точкам разрыва I рода относятся такие точки, в которых существуют конечные односторонние пределы: (левый предел) и (правый предел). К точкам разрыва II рода относятся те точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.

Заметим, что точки разрыва I рода подразделяются в свою очередь на точки устранимого разрыва (когда ) и на точки скачка функции (когда ); в последнем случае разность называется скачком функции в точке .

Пример

Задание 1: Вычислите односторонние пределы: 1) ;

2) .

Решение: 1) Пусть . Тогда при функция , а, следовательно, и есть отрицательная бесконечно малая, поэтому функция - отрицательная бесконечно большая, то есть .

При функция , а, следовательно, и - положительная бесконечно большая функция, то есть .

2) Пусть . Тогда при имеем: - отрицательная бесконечно малая функция; следовательно, и . Отсюда .

Если , то при получим: - положительная бесконечно малая функция; следовательно, и , тогда . Имеем, .

Задание 2: Даны функции: 1) ; 2) . Найти точки разрыва и исследовать их характер.

Решение: 1) Функция определена при всех значениях , кроме . Так как эта функция является элементарной, то она непрерывна в каждой точке своей области определения, состоящей из двух промежутков и .

Следовательно, единственной точкой разрыва является точка (функция определена в окрестности этой точки, в самой же точке нарушается условие непрерывности – функция в ней неопределена). Для исследования характера разрыва найдем левый и правый пределы этой функции при стремлении аргумента к точке разрыва : , .