Векторами и комплексными числами

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 10Следующая ⇒

Синусоидальные ЭДС, напряжения и токи, имеющие частоту ω, можно изображать векторами на плоскости декартовых координат, вращающимися с угловой скоростью, равной ω, причем длина вектора определяется в соответствующем масштабе амплитудой ЭДС, напряжения или тока.

Пусть мы имеем две синусоидальные ЭДС:

и .

Изобразим их в виде векторов в момент времени равный нулю (рис. 2.2). Начальные фазы этих синусоидальных ЭДС откладываются от горизонтальной оси против часовой стрелки, если они положительны, и по часовой стрелке, если они отрицательны. Длины векторов равны соответствующим амплитудным значениям.

Найдем ЭДС е, равную сумме ЭДС е₁и е₂. Тогда эта ЭДС е будет изображаться вращающимся вектором, равным геометрической сумме векторов, изображающих ЭДС е₁ и е₂.

В любой момент времени взаимное расположение этих вращающихся векторов будет оставаться неизменным, поэтому достаточно построить векторы в момент времени равный нулю, и все операции выполнять над ними.

Совокупность векторов, характеризующих процессы, происходящие в той или иной цепи синусоидального тока, и построенных с соблюдением правильной ориентации их друг относительно друга для момента времени равного нулю, называют векторной диаграммой.

Так как обычно мы интересуемся действующими значениями синусоидальных функций, которые в раз меньше их амплитуд, то целесообразно на векторной диаграмме длину векторов выбирать равной, в избранном масштабе, действующим значениям ЭДС, напряжений или токов. На рис. 2.3 изображена векторная диаграмма напряжения u и тока i, причем ток отстает от напряжения на угол φ, который на векторной диаграмме всегда показывается стрелкой, направленной от вектора тока к вектору напряжения.

Синусоидальную функцию можно изобразить вектором (рис. 2.4) на комплексной плоскости или записать в виде комплексного числа в показательной форме:

, где – модуль комплексного числа, равный действующему значению синусоидальной функции, который на векторной диаграмме соответствует длине вектора в выбранном масштабе напряжений; ψ – аргумент комплексного числа, соответствующий начальной фазе синусоидальной функции, которая на комплексной плоскости откладывается от положительного направления оси действительных чисел;

j = – мнимая единица.

Комплексная величина в соответствии с формулой Эйлера может быть записана также в тригонометрической и алгебраической формах записи:

где - действительная часть комплексного числа;

- мнимая часть комплексного числа.

Для обратного перехода от алгебраической к показательной форме записи необходимо найти модуль этого комплексного числа с помощью теоремы Пифагора (рис. 2.4) и аргумент путем определения тангенса соответствующего угла:

, .

Тогда полностью все формы записи комплексной величины и связь между ними можно записать:

Тогда векторная диаграмма представляет собой совокупность векторов токов и напряжений, построенных на комплексной плоскости.

Действия с комплексными числами

Пусть мы имеем два комплексных числа, записанных в показательной и алгебраической формах записи:

и .

Рассмотрим основные действия, выполняемые над комплексными числами.

Алгебраическое сложение комплексных чисел выполняется при записи их в алгебраической форме. При этом мы суммируем отдельно действительные части комплексных величин, отдельно – мнимые:

Умножение комплексных чисел удобнее всего выполнять в показательной форме записи. При этом модуль нового комплексного числа получается путем перемножения модулей комплексных величин, а аргумент – путем сложения фаз:

Деление комплексных величин выполняется аналогично, то есть для получения модуля новой комплексной величины модуль числителя необходимо разделить на модуль знаменателя, а для получения аргумента необходимо из фазы числителя вычесть фазу знаменателя:

Линейные элементы R, L, C в цепи

Синусоидального тока

Резистивный элемент. Резистивный элемент с сопротивлением R как элемент схемы учитывает необратимые преобразования электрической энергии в другие виды энергии (тепловую, механическую и т.д.).

Такой элемент называют идеальным в том случае, если мы пренебрегаем энергиями магнитных и электрических полей, всегда имеющихся в реальном элементе.

При синусоидальном токе, протекающем по резистивному элементу i(t)= I_m sin(ω t + ψ _i), напряжение между зажимами резистивного элемента и ток связаны законом Ома:

u_R (t) = R i(t)= R I_m sin(ω t + ψ _i) = U_Rm sin(ω t + ψ _u).

Амплитудные и действующие значения тока и напряжения на резистивном элементе также связаны законом Ома:

U_Rm = RI_m, U_R = RI.

Из полученного выражения для мгновенного значения напряжения видно, что начальные фазы напряжения и тока одинаковы, то есть напряжение и ток резистивного элемента совпадают по фазе. На рис. 2.5, а представлены их временные диаграммы. При построении временных диаграмм начальная фаза тока принята положительной ψ _i > 0.

Если синусоидальную функцию времени i(t)=I_m sin(ω t+ψ _i) заменить изображающей ее комплексной величиной, то закон Ома в комплексной форме запишется следующим образом: где , – комплексные амплитуды.

Рис.2.5

Для действующих комплексных величин будем иметь:

Векторы, изображающие синусоидальные функции времени, представлены на векторной диаграмме рис. 2.5, б.

Мгновенная мощность резистивного элемента:

p(t) = u_R·i = U_Rm sin(ω t + ψ _u)·I_m sin(ω t + ψ _i) =

= U_Rm I_m sin²(ω t + ψ _i)= U_Rm I_m =

= .

Временная диаграмма мгновенной мощности представлен на рис. 2.5, а. Из графика хорошо видно, что вся энергия, поступающая в резистивный элемент, расходуется в нем и не возвращается к генератору.

Среднее значение мгновенной мощности за время, равное периоду синусоидального тока, называется активной мощностью:

Индуктивный элемент. Идеальный индуктивный элемент с индуктивностью L учитывает энергию магнитного поля и явление самоиндукции. В этом случае пренебрегают потерями электромагнитной энергии и наличием энергии электрического поля.

Напряжение на зажимах индуктивного элемента при протекании синусоидального тока i(t) = I_m sin(ω t + ψ _i) будет определяться:

где – индуктивное реактивное сопротивление синусоидальному току;

– амплитудное значение напряжения на индуктивном элементе;

– начальная фаза напряжения, то есть напряжение на индуктивном элементе опережает свой ток на угол π /2.

При переходе к действующим значениям имеем:

В комплексной форме записи:

Для действующих комплексных значений:

здесь – индуктивное реактивное сопротивление в комплексной форме записи ( ).

На рис. 2.6, а представлена временная диаграмма тока и напряжения индуктивного элемента. На рис. 2.6, б построена векторная диаграмма для действующих комплексных значений тока и напряжения.

а) б)

Рис. 2.6

Угол сдвига фаз φ на векторной диаграмме показывается стрелкой, направленной от вектора тока к вектору напряжения.

Мгновенная мощность индуктивного элемента может быть определена:

Как видно из полученного выражения мгновенная мощность изменяется по синусоидальному закону с частотой в два раза большей, чем частота тока. График мгновенной мощности для индуктивного элемента представлен на рис. 2.6, а. Среднее значение мгновенной мощности за период равно нулю. В те промежутки времени, когда значение мгновенного тока увеличивается, мощность имеет положительное значение, то есть энергия передается от генератора к индуктивному элементу и накапливается в нем. Когда же мгновенный ток уменьшается, мощность имеет отрицательное значение, энергия возвращается от индуктивного элемента к генератору.

Для того чтобы количественно охарактеризовать обменные процессы магнитной энергией между источником и индуктивным элементом, вводят понятие индуктивной реактивной мощности, величина которой принимается равной амплитудному значению мгновенной мощности: (ВАр – вольт-ампер реактивный – единица измерения реактивной мощности).

Емкостный элемент. Емкостный элемент схемы с емкостью С учитывает только энергию электрического поля , пренебрегая при этом необратимым расходом энергии в диэлектрике и наличием энергии магнитного поля.

Ток ветви с емкостью определяется:

или

В приведенных выражениях:

– амплитудное значение напряжения на конденсаторе;

– реактивное емкостное сопротивление синусоидальному току;

ψ _u = (ψ _i – π /2) – начальная фаза напряжения, то есть напряжение на емкостном элементе отстает от своего тока на угол π /2.

Для действующих значений:

В комплексной форме записи:

здесь – реактивное емкостное сопротивление в комплексной форме записи ( ).

На рис. 2.7, а и б представлены временная и векторная диаграммы тока и напряжения емкостного элемента.

Мгновенная мощность емкостного элемента будет определяться:

Временная диаграмма мгновенной мощности построена на рис. 2.7, а. Из графика мгновенной мощности следует, что среднее значение мощности за период так же, как и у индуктивного элемента, равна нулю. В промежутки времени, когда напряжение на емкостном элементе увеличивается, конденсатор заряжается, то есть энергия поступает от генератора к элементу (мощность положительна). В промежутки времени, когда напряжение уменьшается, емкостный элемент возвращает генератору накопленную энергию (мощность отрицательна). Для того чтобы количественно охарактеризовать эти обменные процессы, вводят понятие реактивной емкостной мощности, величина которой принимается равной амплитудному значению мгновенной мощности:

а) б)

Рис. 2.7

Как видно из временных диаграмм (рис. 2.6 и 2.7) в каждый момент времени индуктивная и емкостная мгновенные мощности находятся в противофазе. Поэтому при расчете суммарной реактивной мощности значение индуктивной реактивной мощности берется положительным, а емкостной реактивной мощности – отрицательным.

Комплексный метод расчета

Для расчета цепей синусоидального тока используется комплексный метод расчета. Он основан на изображении действительных синусоидальных функций времени комплексными числами. Соответственно дифференциальные и интегральные зависимости между напряжениями и токами в цепях синусоидального тока, мы заменяем линейными зависимостями между комплексными токами и напряжениями:

→

Далее расчеты в цепях синусоидального тока выполняются теми же методами, что и расчеты в цепях постоянного тока (метод эквивалентных преобразований, законов Кирхгофа, контурных токов, узловых потенциалов и т.д.), только все сопротивления, токи и напряжения записываются в комплексной форме записи.

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒