|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Соединением резистора и конденсатора
В соответствии со вторым законом Кирхгофа составим уравнение электрического состояния для рассматриваемой цепи относительно напряжения конденсатора:
Решение этого дифференциального уравнения находится как сумма свободной и принужденной составляющих: uc(t) = ucсв + ucпр = Вept + U. Характеристическое уравнение для этой схемы: pRC + 1 = 0, корень этого уравнения p = –1/RC. Постоянная времени переходного процесса Постоянную интегрирования В найдем, рассмотрев искомую функцию в момент времени t = 0. Так как схема до коммутации была отключена от источника питания, то есть конденсатор не был заряжен, то согласно второму закону коммутации начальное значение напряжения на емкости: uc(0+) = uc(0–) = 0.
Так как uc(0+)=B + U =0, то В = uc(0+) – U = –U.
Искомая переходная функция имеет вид:
Ток в цепи:
Напряжение на резистивном элементе с сопротивлением R:
Графики переходных функций тока и напряжений представлены на рис. 6.5.
Алгоритм расчета переходных процессов Классическим методом Переходные функции тока и напряжения имеют вид: i(t) = iсв(t) + iпр, u(t) = uсв(t) + uпр. При расчете переходных процессов классическим методом удобно использовать следующий алгоритм. 1 Показать положительные направления токов и напряжений на элементах рассматриваемой цепи. В дальнейшем выбранные направления должны оставаться неизменными. 2 Определить независимые начальные значения, используя законы коммутации iL(0+) = iL(0–) и uC(0+) = uC(0–). Для этого необходимо рассчитать ток индуктивной катушки iL(0–) и напряжение на конденсаторе uC(0-) в цепи до коммутации. 3 Рассчитать принужденную составляющую искомой величины. Для этого необходимо определить установившиеся значения токов и напряжений в послекоммутационном режиме. Необходимо помнить, что в цепях постоянного тока в установившемся режиме индуктивная катушка представляет собой проводник с сопротивлением равным нулю, а конденсатор – разомкнутый участок цепи. 4 Составить характеристическое уравнение и найти его корни. Для этого необходимо определить входное сопротивление Z(p) относительно любых разомкнутых зажимов пассивной части схемы после коммутации, в которой все источники электрической энергии исключены, а реактивные индуктивные и емкостные сопротивления заменены на операторные сопротивления Lp и 1/Cp. Полученное выражение приравнивается к нулю и находятся его корни. 5 Рассчитать свободную составляющую iсв(t)= 6 Построить график временной зависимости искомой функции на промежутке времени t = 0 ÷ 5τ. При расчете переходных процессов классическим методом необходимо иметь в виду, что проще всего вести расчет тех переходных функций, начальные значения которых определяются законами коммутации, то есть тока индуктивной катушки iL(t) и напряжения конденсатора uC(t). Остальные переходные функции удобно находить с помощью законов Ома и Кирхгофа, записанных в дифференциальной форме.
Примеры решения задач
6.2.1 В электрической цепи, схема которой показана на рис. 6.6, происходит коммутация. Найти зависимость токов ветвей и напряжения индуктивной катушки от времени при переходном процессе. Исходные данные U = 50 B, R1 = R2 = 100 Ом, L = 0, 5 Гн.
Покажем положительные направления токов и напряжений на элементах электрической цепи. Электрическая цепь содержит индуктивную катушку, начальное значение тока которой определяется по первому закону коммутации. Поэтому определение переходных функций начнем с нахождения тока индуктивной катушки iL(t). Остальные переходные функции найдем, используя законы Ома и Кирхгофа для мгновенных значений:
До замыкания ключа электрическая цепь была отключена от источника напряжения, и токи во всех ветвях отсутствовали. То есть в докоммутационной цепи ток индуктивной катушки iL(0-) = 0. Согласно первому закону коммутации ток индуктивной катушки в момент коммутации не может измениться скачком и в первый момент остается равным докоммутационному значению iL(0+) = iL(0-) = 0. Искомая переходная функция тока представляет собой сумму свободной и принужденной составляющей: i L(t) = iLсв(t) + iLпр. Найдем принужденное значение тока катушки. Для этого рассчитаем величину тока в установившемся режиме в цепи после коммутации (рис. 6.7). В цепи постоянного тока в установившемся режиме идеальная индуктивная катушка представляет собой участок цепи с сопротивлением равным нулю, напряжение на зажимах которого так же равно нулю uLпр = 0. Так как катушка и резистор R2 соединены параллельно, то есть напряжения на их зажимах одинаковы и равны нулю, то и принужденное значение тока второй ветви i2пр= 0.
iLпр= i1пр=U/R1=50/100=0, 5 А. Для определения свободной составляющей необходимо составить характеристическое уравнение и найти его корни.
Приравняв полученное выражение нулю, получим характеристическое уравнение:
Свободную составляющую тока катушки запишем iL(t) = iLсв(t) + iLпр = iL(0+)=А+0, 5. Так как согласно закону коммутации iL(0+) = 0, то получим уравнение А + 0, 5 = 0, откуда найдем значение постоянной интегрирования А = –0, 5 (А). Переходная функция тока катушки iL(t) = –0, 5е-100t+0, 5 (А). Напряжение индуктивной катушки:
Ток второй ветви:
Входной ток: = (–0, 5е-100t + 0, 5) + 0, 25е-100t = –0, 25e-100t + 0, 5 (A).
Временные зависимости токов и напряжения индуктивной катушки показаны на рис. 6.9, 6.10, 6.11. График переходного процесса строится на промежутке времени t = 5τ, так как за это время свободная составляющая переходной функции практически становится равной нулю и переходный процесс завершается. Постоянная времени τ = 1/|р| = 1/100 = 0, 01 с.
6.2.2 В электрической цепи, схема которой показана на рис. 3.12, происходит коммутация. Найти зависимость от времени токов ветвей и напряжения конденсатора при переходном процессе. Исходные данные: U = 100 B, R1 = R2 = 100 Ом, С = 10 мкФ.
Электрическая цепь содержит конденсатор, начальное значение напряжения на котором определяется по второму закону коммутации. Поэтому определение переходных функций начнем с нахождения напряжения конденсатора uC(t). Остальные переходные функции найдем, используя законы Ома и Кирхгофа для мгновенных значений:
До замыкания ключа электрическая цепь была отключена от источника напряжения, токи во всех ветвях отсутствовали и конденсатор не был заряжен. То есть в докоммутационной цепи напряжение конденсатора uC(0-) = 0. Согласно второму закону коммутации напряжение конденсатора в момент коммутации не может измениться скачком и в первый момент остается равным докоммутационному значению uC(0+)=uC(0-)=0. Искомая переходная функция напряжения конденсатора представляет собой сумму свободной и принужденной составляющей: u C(t) = uCсв(t) + uCпр.
В ветви с конденсатором ток не протекает iСпр = 0, входной ток равен току второй ветви и определяется по закону Ома: i1пр= i2пр= Напряжение конденсатора равно напряжению второй ветви, которая соединена с ним параллельно:
Приравняв полученное выражение к нулю,
получим характеристическое уравнение: 105 + 50р = 0. Полученное уравнение имеет один корень р = –2000 1/с. Свободная составляющая состоит из одного слагаемого и находится как Определим постоянную интегрирования В. Для этого, рассмотрим искомую функцию напряжения: u C(t)=uCсв(t)+uCпр= u C(0+)= Согласно закону коммутации начальное значение напряжения конденсатора uC(0+) = 0. Получим уравнение Искомая переходная функция: u C(t) = Определим переходные функции токов ветвей:
Временные зависимости полученных переходных функций построены на рис. 6.15 и 6.16. Время переходного процесса: tпп = 5τ = 5/|р| = 5/2000 = 0, 0025 с.
Когда переключатель находился в положении Ι , в цепи протекал постоянный ток После коммутации, то есть перевода переключателя в положение II, катушка отключается от источника питания и поэтому принужденное значение её тока будет равно нулю. Переходная функция тока катушки имеет только свободную составляющую: где постоянная времени:
Найдем постоянную интегрирования А. Так как согласно первому закону коммутации, ток в катушке не может изменяться скачком, то в момент переключения t = 0:
Выражение для переходного тока имеет вид:
При t = 1 с ток катушки График переходного тока катушки показан на рис. 6.18.
Напряжение на разрядном реpиcторе R1 в начальный момент после коммутации 6.2.4 Построить зависимость переходного напряжения на конденсаторе от времени в цепи рис. 6.19 при поочередном переключении выключателя в положения I и II. Напряжение UBX = 5 В, R1 = 75 Ом, R2 = 25 Ом, С = 1 мкФ. Коммутация начинается с установки выключателя в положение I, время зарядки и разрядки конденсатора t = 4τ. При установке переключателя в положение I в цепи возникает ток и конденсатор заряжается в течение времени tзар = 4τ 1 = 4R1C = 300 мкс.
и через 300 мкс, то есть к моменту переключения выключателя в положение II, напряжение достигнет значения:
После установки выключателя в положение II начинается разрядка конденсатора от значения
Через 100 мкс оно снизится до 0, 088 В. Кривая изменения напряжения на конденсаторе показана на рис. 6.20. 6.2.5 В цепи, схема которой приведена на рис. 6.21, происходит коммутация. Построить переходные функции напряжения и тока конденсатора. Данные для расчета Е = 20 В, R1 = R2 = R3 = 10 Ом, R4 = 30 Ом, С = 10 мкФ.
Ток конденсатора рассчитаем по закону Ома, записанному для мгновенных значений: В установившемся докоммутационном режиме в ветви с конденсатором ток отсутствует и в цепи (рис. 6.22) в параллельных ветвях протекают токи:
Напряжение конденсатора в докоммутационной цепи найдем по второму закону Кирхгофа:
uC(0+) = uC(0-)= –5 В.
Тогда напряжение конденсатора:
Откуда Характеристическое уравнение имеет один корень: р = –2857 1/с, поэтому свободную составляющую напряжения запишем как:
Определим постоянную интегрирования В. Для этого, рассмотрим искомую функцию напряжения: u C(t) = uCсв(t) + uCпр = u C(0+) = Начальное значение напряжения конденсатора uC(0+) = –5 В. Получим уравнение Искомая переходная функция напряжения: u C(t) = Определим переходную функцию тока в ветви с конденсатором:
Графики переходных функций напряжения и тока конденсатора представлены на рис. 6.25.
6.2.6 В цепи, схема которой приведена на рис. 6.26, происходит коммутация. Построить переходные функции напряжения и тока индуктивной катушки. Данные для расчета Е = 30 В, R1 = R2 = R3 = 10 Ом, L = 1 мГн. Определение переходных функций начнем с нахождения тока индуктивной катушки iL(t). Напряжение на ее зажимах найдем, с помощью закона Ома для мгновенных значений:
Учитывая, что в цепи постоянного тока в установившемся режиме идеальная индуктивная катушка представляет собой участок с сопротивление равным нулю, легко определить ток катушки в схеме до коммутации (рис. 6.27):
Согласно первому закону коммутации ток индуктивной катушки в момент коммутации не может измениться скачком и в первый момент остается равным докоммутационному значению iL(0+) = iL(0-) = 3 А.
Найдем принужденное значение тока катушки. Для этого рассчитаем величину тока в установившемся режиме в цепи после коммутации (рис. 6.28). Так как индуктивная катушка представляет собой короткозамкнутый участок цепи, то ток в резисторе R3 отсутствует, а ток катушки определим, как:
Составим характеристическое уравнение путем определения входного сопротивления Z(p) пассивной части цепи после коммутации (рис. 6.29). В рассматриваемой цепи источник напряжения заменяется короткозамкнутым участком, а индуктивная катушка операторным сопротивлением Lp. Находим входное сопротивление относительно разомкнутых входных зажимов цепи:
Характеристическое уравнение 1, 5·10-2р + 50 = 0 имеет один корень: р = –3333 1/с. Свободную составляющую тока катушки запишем:
Для нахождения постоянной интегрирования А рассмотрим искомую функцию тока: iL(t)=iLсв(t)+iLпр= iL(0+)=А+6. Так как согласно закону коммутации iL(0+) = 3 А, то получим уравнение А + 6 = 3, откуда найдем значение постоянной интегрирования А = –3 (А). Переходная функция тока катушки: iL(t)= –3е-3333t+6 А. Напряжение индуктивной катушки:
Графики переходных функций напряжения и тока конденсатора представлены на рис. 6.30.
Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-05-30; Просмотров: 2196; Нарушение авторского права страницы
Рассмотрим переходный процесс при включении цепи R, C на постоянное напряжение (рис. 6.4). После замыкания ключа в цепи возникает ток и конденсатор заряжается до величины напряжения источника U, после чего ток становится равным нулю. Это физическое понимание переходного процесса. Опишем теперь этот процесс математически.
.
.
.
Рис. 6. 5
или uсв(t) = 
, то есть определить постоянные интегрирования АК и ВК. Для этого необходимо рассмотреть искомую функцию в момент времени t = 0+ и, используя известные значения независимых и зависимых начальных условий, определить постоянные интегрирования.
Расчет переходных процессов в цепи будем выполнять согласно алгоритму, приведен-ному выше.
, 
, 
.
Принужденный ток катушки: 
Составим характеристическое уравнение путем определения входного сопротивления Z(p) пассивной части цепи после коммутации (рис. 6.8). В рассматриваемой цепи источник напряжения заменяется короткозамкнутым участком, а индуктивная катушка операторным сопротивлением Lp. Наиболее целесообразно размыкать цепь на участке, который содержит реактивный элемент. В нашем случае находим входное сопротивление относительно разомкнутых зажимов ветви, содержащей индуктивную катушку: 
.
, которое имеет один корень 
.
. Для нахождения постоянной интегрирования А рассмотрим искомую функцию тока
в момент времени t = 0+: 
(А).
На схеме указаны положительные направления токов и напряжений на всех элементах электрической цепи.
, 
, 
.
Для определения принужденной составляющей рассчитаем установившееся значение напряжения конденсатора в схеме после коммутации (рис. 6.13). При составлении схемы для расчета принужденных значений необходимо помнить, что в установившемся режиме в цепи постоянного тока конденсатор представляет собой разомкнутый участок цепи.
.
.
Для составления характеристического уравнения найдем входное сопротивление Z(p) пассивной части схемы относительно любых разомкнутых зажимов. Источник напряжения заменим короткозамкнутым участком цепи, конденсатор – операторным сопротивлением 1/рС, а цепь разомкнем в той ветви, которая содержит конденсатор (рис. 6.14). Найдем операторное сопротивление: 
.
, 
.
в момент времени t=0+: 
.
(В).
6.2.3 Катушка, индуктивность которой LК = 5 Гн и активное сопротивление RК = 4 Ом, отключается от источника постоянной ЭДС, напряжение которого UЕ = 110 В и замыкается на разрядный резистор сопротивлением R1 = 6 Ом (рис. 6.17). Найти значение тока для момента времени t=1с после отключения катушки. Определить напряжение на резисторе R1 в начальный момент после коммутации.
, 
то есть оно оказалось выше напряжения источника питания, так как R1 > RК. Указанное обстоятельство следует иметь в виду при коммутации цепей, содержащих индуктивные элементы, так как возникающие при этом перенапряжения могут вывести из строя аппаратуру.
Переходное напряжение на конденсаторе увеличивается по экспоненциальному закону: 
, которая будет продолжаться в течении времени tзар = 4τ 2 = 4R2C = 100 мкс. При этом напряжение на конденсаторе будет изменяться в соответствии с экспоненциальной зависимостью 
.
Определим, пользуясь заданным алгоритмом расчета переходных процессов, функцию изменения во времени напряжения конденсатора u C(t)=uCсв(t)+uCпр.
Согласно второму закону коммутации напряжение конденсатора не может измениться скачком, поэтому начальное значение этого напряжения будет равно его докоммутационному значению: 
Принужденное значение напряжения конденсатора определим, рассчитав токи и напряжения в установившемся режиме в цепи после коммутации (рис. 6.23). Ток в четвертом резисторе отсутствует и в цепи протекает только ток: 
Составим характеристическое уравнение. Для этого найдем входное сопротивление пассивной части схемы после коммутации относительно разомкнутых зажимов ab (рис. 6.24). В рассматриваемой цепи источник напряжения заменяется короткозамкнутым участком, а конденсатор операторным сопротивлением 1/Сp: 
.
.
в момент времени t = 0+: 
.
(В).
Искомая переходная функция тока представляет собой сумму свободной и принужденной составляющей i L(t) = iLсв(t) + iLпр.
.
в момент времени t = 0+: 
