Условие передачи максимальной мощности

В нагрузку

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника ЭДС с внутренним сопротивлением R_в и нагрузочного резистора с сопротивлением R_н (рис. 1.11). Мощность, выделяющуюся в нагрузке, определим по формуле:

где

Тогда выражение для определения мощности имеет вид:

График зависимости мощности от величины нагрузочного сопротивления приведен на рис. 1.12. Эта функция имеет максимальное значение при сопротивлении нагрузки R_н, равном внутреннему сопротивлению источника ЭДС R_в, что видно из графика.

Можно аналитически рассчитать сопротивление нагрузки, при котором в нем будет выделяться максимальная мощность. Для этого найдем производную функции P(R_н) и определим, при каком значении сопротивления нагрузки эта производная обращается в ноль. В результате этих математических вычислений получим: R_н = R_в.

Метод контурных токов

Используя метод контурных токов (МКТ) для анализа электрических цепей полагают, что по ветвям каждого независимого контура схемы течет свой контурный ток. Токи всех ветвей схемы можно выразить через эти контурные токи, сократив таким образом количество неизвестных величин. То есть МКТ можно определить как метод расчета, при котором за неизвестные принимают контурные токи. Число контурных токов в МКТ равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить для схемы по второму закону Кирхгофа.

Рассмотрим определение токов в ветвях схемы рис. 1.6 методом контурных токов. Пусть по ветвям первого контура протекает контурный ток I₁₁, по ветвям второго – I₂₂, третьего – I₃₃(рис. 1. 13).

Уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа для выбранных контуров, имеют вид:

Причем, направления обхода контура выбрано по направлению контурного тока.

Выразим токи ветвей через контурные токи:

, , ,

, , .

Подставим полученные выражения в уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа:

Рис. 1.13

Преобразовав полученную систему уравнений, можно записать:

Полученную систему уравнений для определения контурных токов можно записать в общем виде:

где – полное или собственное сопротивление первого контура, которое определяется, как сумма сопротивлений в этом контуре;

– собственное сопротивление второго контура;

– собственное сопротивление третьего контура;

– общее сопротивление первого и второго контуров, которое определяется как сумма сопротивлений, одновременно принадлежащих первому и второму контурам, это сопротивление имеет знак «–», если направления контурных токов в общей ветви не совпадают, и знак «+» – если совпадают;

– общее сопротивление первого и третьего контуров;

– общее сопротивление второго и третьего контуров;

– алгебраическая сумма ЭДС в соответствующем контуре, причем, ЭДС, направления которых совпадает с выбранным положительным направлением контурного тока входят в сумму со знаком «+», а которых не совпадают – со знаком «–»:

Решив полученную систему уравнений, и определив контурные токи, легко рассчитать токи в ветвях схемы.

Метод узловых потенциалов

Искомыми величинами в методе узловых потенциалов (МУП) являются потенциалы узлов схемы. При этом потенциал одного из узлов принимается равным нулю, а значения потенциалов остальных узлов находятся относительно выбранного нулевого. Определив каждый из искомых узловых потенциалов, нетрудно найти напряжения между любыми парами узлов и токи в ветвях цепи.

При расчете цепей с помощью МУП, используют уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа для узлов, потенциалы которых необходимо рассчитать.

Составим уравнения для определения узловых потенциалов схемы рис. 1.13, приняв четвертый узел за опорный, то есть φ ₄=0. Для чего составим уравнения по первому закону Кирхгофа для остальных узлов:

;

Выразим токи всех ветвей через потенциалы узлов схемы с помощью закона Ома:

; ;

;

; .

Подставим значения токов в уравнения, составленные по закону Кирхгофа, и после преобразования получим:

Полученную систему уравнений для определения узловых потенциалов можно записать в общем виде:

где – сумма проводимостей ветвей подходящих к первому узлу;

– сумма проводимостей ветвей подходящих ко второму узлу;

– сумма проводимостей ветвей, подходящих к третьему узлу;

– сумма проводимостей ветвей, включенных непосредственно между первым и вторым узлами;

– сумма проводимостей ветвей, включенных непосредственно между первым и третьим узлами;

– сумма проводимостей ветвей, включенных непосредственно между вторым и третьим узлами; причем, все диагональные коэффициенты в этой системе уравнений имеют положительный знак, а все недиагональные - отрицательный;

– алгебраическая сумма условных узловых токов, создаваемых ЭДС ветвей, подходящих к k-тому узлу; в том случае если ЭДС направлена к узлу, то создаваемый ею узловой ток входит в сумму с положительным знаком, если же от узла, то с отрицательным:

Определив по полученной системе уравнений потенциалы узлов схемы, по закону Ома определяют токи ветвей.

Метод двух узлов

В том случае, если схема (рис. 1.14) имеет только два узла, удобно применять метод двух узлов, который является частным случаем метода узловых потенциалов.

Примем потенциал второго узла равным нулю . И определим потенциал первого узла. Согласно МУП необходимо составить одно уравнение:

или

Рис. 1.14

Откуда потенциал первого узла и напряжение на зажимах параллельных ветвей можно определить:

или в общем виде:

где – алгебраическая сумма условных узловых токов, создаваемых ЭДС, подходящих к узлу k;

– сумма проводимостей ветвей, подходящих к этому узлу.

Метод наложения

Метод наложения, вытекающий из принципа наложения (суперпозиции), справедлив для линейной цепи любой сложности, содержащей несколько источников электрической энергии.

Принцип наложения формулируется следующим образом: ток в k-той ветви сложной линейной электрической цепи, содержащей несколько источников электрической энергии, равен алгебраической сумме частичных токов, вызываемых каждым источником энергии в отдельности.

Рассчитаем токи в электрической цепи, схема которой приведена на рис. 1.15 методом наложения. Расчет выполняется в следующей последовательности.

Определим частичные токи от действия первого источника ЭДС Е₁.

Для этого составим схему (рис. 1.16, а), содержащую только источник ЭДС Е₁, а источник ЭДС Е₂ из схемы исключим. При этом зажимы источника ЭДС Е₂ закорачиваются, а его внутреннее сопротивление R_В2 остается в схеме.

Необходимо заметить, что в схеме с одним источником электрической энергии мы можем сразу правильно показать положительные направления токов во всех ветвях схемы.

Рис. 1.16

Токи в цепи, содержащей один источник ЭДС удобнее всего определять методом эквивалентных преобразований.

Путем постепенного упрощения схемы найдем ее эквивалентное сопротивление относительно зажимов источника ЭДС, что позволит определить ток I₁'в неразветвленной части схемы.

Сопротивления второй и третьей ветвей соединены параллельно, поэтому их эквивалентное сопротивление, найденное относительно зажимов 1-2, может быть записано:

Сопротивление первой ветви и найденное сопротивление R₂₃´ соединены последовательно, поэтому эквивалентное сопротивление относительно зажимов источника ЭДС Е₁ находится как:

Ток в неразветвленной части схемы определяем по закону Ома:

Напряжение между точками 1-2:

Тогда по закону Ома можно определить ток и с помощью первого закона Кирхгофа ток .

Определим частичные токи от действия второго источника ЭДС Е₂.

Расчет этих токов выполняется аналогично расчету токов от действия первого источника. При этом рассматривается схема (рис. 1.16, б), в которой действует только источник Е₂, зажимы источника ЭДС Е₁ закорачиваются, но его внутреннее сопротивление R_B₁ остается в схеме.

Входное сопротивление для определения частичных токов от действия второго источника ЭДС находится относительно зажимов 5-6 этого источника.

Сопротивления первой и третьей ветвей относительно зажимов 1-2 соединены в рассматриваемой схеме параллельно:

Входное сопротивление относительно зажимов источника ЭДС находим, как последовательное соединение сопротивления второй ветви и сопротивления R₁₂":

Ток в неразветвленной части цепи:

Напряжение между точками 1 и 2:

Тогда можно определить токи: и

Определим действительные токи в ветвях схемы путем алгебраического суммирования частичных токов. Причем, частичные токи, направление которых совпадает с выбранным ранее положительным направлением действительных токов, берем в этой сумме со знаком «плюс», а те которые не совпадают со знаком «минус»:

, , .

Примеры решения задач

1.2.1 Определить входное сопротивление относительно зажимов 1-1' цепи (рис. 1.17) при холостом ходе (зажимы 2-2' разомкнуты) и при коротком замыкании (зажимы 2-2' замкнуты). Значения сопротивлений указаны на схеме.

Рис. 1.17

В режиме холостого хода, когда зажимы 2-2' разомкнуты, схему можно представить в виде, как показано на рис. 1.18, а.

По схеме видно, что сопротивления R₁ и R₃ соединены последовательно, и их общее сопротивление определяется, как сумма сопротивлений:

Сопротивление R₁₃ и резистор с сопротивлением R₂ присоединены к одной паре узлов, то есть соединены параллельно

и их эквивалентное сопротивление может быть определено:

Ом.

Рис. 1.18

Входное сопротивление определяем как сумму сопротивлений четвертой ветви и полученного сопротивления R₁₂₃, так как эти элементы соединены последовательно:

Ом.

В режиме короткого замыкания, когда зажимы 2-2' замкнуты, схему можно представить в виде, как показано на рис. 1.18, б.

В этом случае третья и четвертая ветви соединены параллельно, так как присоединены к одной паре узлов, и их эквивалентное сопротивление будет определяться:

Ом.

Резистор с сопротивлением R₂ и полученное сопротивление R₃₄ соединены последовательно:

Ом.

Первая ветвь соединена параллельно с полученным эквивалентным резистором R₂₃₄:

Ом.

1.2.2 Определить токи в ветвях электрической цепи, схема которой показана на рис. 1.19. Параметры элементов цепи: Е = 40 В, R₁ = 2 Ом, R'₁ = 3 Ом, R₂ = 10 Ом, R₃ = 6 Ом, R₄ = 8 Ом, R₅ = 5 Ом, R₆ = 3 Ом.

Цепь содержит один источник ЭДС. Токи в такой цепи направлены от точки с самым высоким потенциалом (1) к точке с самым низким потенциалом (5), и мы можем сразу показать правильные положительные направления токов ветвей.

Задачу будем решать методом эквивалентных преобразований.

Путем последовательных преобразований необходимо определить входное сопротивление цепи относительно зажимов источника, то есть привести схему к виду рис. 1.20. В такой цепи, содержащей один источник и один приемник электрической энергии, напряжение на зажимах приемника равно ЭДС и ток, протекающий по цепи, может быть определен с помощью закона Ома:

Рассчитаем входное сопротивление цепи относительно зажимов 1-5.

Найдем сопротивление пятой ветви, содержащей последовательное соединение сопротивлений R₅ и R₆:

Ом.

Сопротивления пятой и четвертой ветвей соединены параллельно, поэтому их эквивалентное сопротивление, найденное относительно зажимов 3-4, может быть записано:

Ом.

Сопротивление третьей ветви и найденное сопротивление R₄₅ соединены последовательно:

Ом.

Относительно зажимов 2-4 сопротивления второй ветви и сопротивление R₃₄₅ соединены параллельно:

Ом.

Относительно зажимов источника ЭДС сопротивление R₂₃₄₅ и сопротивление первой ветви соединены последовательно, поэтому входное сопротивление можно рассчитать:

Ом.

Ток ветви, содержащей источник ЭДС, определим по закону Ома:

А.

Ток второй ветви определим из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для контура, образованного первой и второй ветвями:

откуда: А.

Ток третьей ветви найдем с помощью уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа для узла 2:

откуда:

Для определения тока четвертой ветви составим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, образованного второй, третьей и четвертой ветвями:

тогда ток четвертой ветви найдем как:

А.

Ток пятой ветви найдем с помощью уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа для узла 3:

откуда:

1.2.3 Найти неизвестные токи и напряжение на зажимах источника ЭДС в электрической цепи, схема которой приведена на рис. 1.19, если известен ток четвертой ветви I₄ = 0, 5 А.

Параметры элементов цепи: R₁ = 70 Ом, R'₁ = 30 Ом, R₂ = 100 Ом, R₃ = 50 Ом, R₄ = 80 Ом, R₅ = 20 Ом, R₆ = 60 Ом.

Решение этой задачи можно полностью выполнить с помощью законов Ома и Кирхгофа.

Четвертая и пятая ветви соединены параллельно, то есть напряжение на зажимах этих ветвей одно и то же. По закону Ома определим это напряжение, зная ток и сопротивление четвертой ветви: В.

Тогда ток пятой ветви: А.

Ток третьей ветви найдем из уравнения составленного по первому закону Кирхгофа:

тогда: А.

Для определения тока второй ветви составим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, образованного второй, третьей и четвертой ветвями:

откуда А.

Ток первой ветви находим, составив уравнение по первому закону Кирхгофа для узла 2:

откуда: А.

ЭДС рассчитаем, составив уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, образованного первой и второй ветвями: В.

1.2.4 Рассчитать токи в ветвях электрической цепи, схема которой показана на рис. 1.21, используя метод наложения.

Параметры элементов цепи: E₁ = 24 B, E₂ = 96 B, E₃ = 48 B, R₁ = 8 Ом, R₂ = 16 Ом, R₃ = 8 Ом, R₄ = 16 Ом.

Рис. 1.21

Выберем произвольно положительные направления токов в ветвях схемы. Согласно принципу наложения действительные токи в ветвях электрической цепи, возникающие от действия нескольких источников электрической энергии, равны алгебраической сумме токов от действия каждого источника энергии.

Определим частичные токи от действия первого источника ЭДС Е₁. Для этого оставим в цепи только источник Е₁, а остальные исключим, оставив их внутренние сопротивления.

Так как цепь содержит только идеальные источники ЭДС, внутреннее сопротивление которых равно нулю, то источники Е₂и Е₃ заменим короткозамкнутыми участками (рис. 1.22, а). Полученная схема содержит один источник энергии, поэтому в ней можно сразу правильно показать положительные направления частичных токов.

Токи в полученной схеме будем определять методом эквивалентных преобразований. Для того, чтобы определить ток I₅' в ветви с источником ЭДС, пользуясь законом Ома, необходимо найти эквивалентное сопротивление относительно зажимов «а» и «с» источника Е₁. Вторая и четвертая ветви присоединены к одной паре узлов «с» и «b», то есть, соединены параллельно и общее сопротивление этих ветвей будет равно:

Сопротивления первой и третьей ветвей относительно узлов «а» и «b» также соединены параллельно, и их эквивалентное сопротивление найдем как:

Сопротивления R₁₃ и R₂₄ соединены между собой последовательно, поэтому эквивалентное сопротивление относительно зажимов источника определяется:

Определим ток

Для второй и четвертой ветвей, соединенных параллельно, можно записать:

откуда можно определить ток второй и четвертой ветвей:

Для первой и третьей ветвей можно записать аналогичное выражение:

откуда найдем токи этих ветвей:

Определим частичные токи от действия второго источника ЭДС Е₂. Оставим в схеме только источник ЭДС Е₂, зажимы всех остальных источников закоротим (рис. 1.22, б). Покажем положительные направления частичных токов от действия второго источника ЭДС.

Для определения тока I₂" по закону Ома, найдем эквивалентное сопротивление относительно зажимов источника Е₂.

В рассматриваемой схеме потенциалы узлов «а» и «с» одинаковы, сопротивления первой, третьей и четвертой ветвей присоединены к этим узлам, то есть, соединены параллельно:

Полученное сопротивление включено последовательно с сопротивлением второй ветви, и тогда эквивалентное сопротивление найдем:

Определим ток:

Токи в параллельных ветвях можно определить, составив уравнения по второму закону Кирхгофа для контуров образованных второй и первой и второй и четвертой ветвями:

откуда найдем токи:

Ток третьей и пятой ветвей можно рассчитать, составив уравнения для узлов «с» и «а» по первому закону Кирхгофа:

Определим частичные токи от действия третьего источника ЭДС Е₃. Оставим в схеме только источник ЭДС Е₃, зажимы всех остальных источников закоротим (рис. 1.22, в). Покажем положительные направления частичных токов от действия третьего источника ЭДС.

Найдем входное сопротивление относительно зажимов источника Е₃. Сопротивления первой, второй и четвертой ветвей относительно узлов «а» и «b» (узлы «а» и «с» имеют одинаковый потенциал, как и в предыдущей схеме) соединены параллельно:

Полученное сопротивление и сопротивление третьей ветви соединены последовательно:

Определим ток в ветви с источником ЭДС:

Токи в параллельных ветвях определим, используя уравнения, записанные на основании второго закона Кирхгофа:

Тогда:

Ток пятой ветви найдем, составив уравнения по первому закону Кирхгофа для узла «с»:

Определим действительные токи в ветвях схемы путем алгебраического суммирования частичных токов. Причем, частичные токи, направление которых совпадает с выбранным ранее положительным направлением действительных токов, берем в этой сумме со знаком «плюс», а те, которые не совпадают, со знаком «минус»:

;

В результате расчета значения некоторых токов получились отрицательными, это означает, что в исходной схеме эти токи направлены в противоположную сторону.

1.2.5 Определить токи в ветвях электрической цепи, схема которой представлена на рис. 1.23 на основе законов Кирхгофа. Параметры элементов цепи: Е₁=100 В, Е₂=180 В, Е₃=90 В, R₁=75 Ом, R₂=60 Ом, R₃=40 Ом, R₄=90 Ом, R₅=50 Ом.

Прежде чем составлять систему уравнений по законам Кирхгофа, произвольно покажем условно положительные направления токов в ветвях и проведем топологический анализ цепи.

Рассматриваемая цепь имеет пять ветвей с неизвестными токами (I₁ ÷ I₅ ), три узла (узлы 3-3' можно объединить в один, так как они соединены проводником с сопротивлением, равным нулю), три линейно независимых контура (I, II, III).

Так как в цепи имеется пять неизвестных токов, то необходимо составить систему из пяти уравнений по законам Кирхгофа для определения этих токов.

Количество уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа на одно меньше, чем количество узлов в цепи. Для рассматриваемой цепи, имеющей три узла, составляем два уравнения по первому закону Кирхгофа:

Рис. 1.23

узел 1:

узел 2:

Остальные три необходимые уравнения составляем по второму закону Кирхгофа для трех линейно независимых контуров. Перед составлением уравнений по второму закону Кирхгофа выберем произвольно направления обхода каждого из контуров, и покажем эти направления на схеме:

контур I (1-3-1):

контур II (1-3-2-1):

контур III (2-3-2):

Запишем эти уравнения в виде системы алгебраических уравнений:

Полученную систему уравнений можно записать в матричной форме:

Элементами матрицы [R] являются коэффициенты при неизвестных токах в алгебраической системе уравнений.

Подставив числовые значения, рассчитаем ток в каждой из ветвей цепи по формуле: где Δ – главный определитель системы

Δ _i – дополнительные определители, которые получают путем замены i- того столбца главного определителя на столбец свободных членов.

В настоящее время существует ряд программных систем (MATLAB, MathCAD), которыми можно воспользоваться для решения данной системы уравнений.

Решив эту систему, получим значения токов в ветвях цепи:

Ток пятой ветви в результате расчета получился со знаком «минус», это означает, что в рассматриваемой цепи нами было неверно выбрано его положительное направление. На самом деле ток I₅ направлен в противоположную сторону.

1.2.6 Рассчитать токи в ветвях электрической цепи, схема которой приведена на рис. 1.23 методом контурных токов. Исходные данные для расчета такие же, как в задаче 1.2.5.

Пусть по ветвям каждого из независимых контуров протекает свой контурный ток. Направления контурных токов выберем по направлению движения часовой стрелки (рис. 1.24).

Рис. 1.24

Система уравнений для определения контурных токов в общем виде записывается:

где R₁₁, R₂₂, R₃₃ – собственные сопротивления контуров, которые определяются как сумма сопротивлений, входящих в соответствующий контур:

;

, , – взаимные сопротивления контуров, которые определяются как сумма сопротивлений одновременно принадлежащих двум смежным контурам, причем эти сопротивления имеют знак «–», если направления контурных токов в общей ветви не совпадают, и знак «+» – если совпадают:

– взаимное сопротивление первого и второго контуров, знак «минус» обусловлен противоположным направлением контурных токов в сопротивлении R₄;

– взаимное сопротивление второго и третьего контуров, знак «минус» обусловлен противоположным направлением контурных токов в сопротивлении R₅;

– взаимное сопротивление первого и третьего контуров, оно равно нулю, так как эти контуры не имеют ни одного общего сопротивления;

– алгебраическая сумма ЭДС в соответствующем контуре:

– алгебраическая сумма ЭДС в первом контуре, знак минус обусловлен несовпадением направления контурного тока и направления ЭДС Е₂;

– алгебраическая сумма ЭДС во втором контуре, в этом контуре направление контурного тока и ЭДС совпадают;

– алгебраическая сумма ЭДС третьего контура.

Система уравнений для определения контурных токов в матричной форме записи имеет вид:

Контурные токи определяются по формуле: .

Главный определитель системы:

Дополнительные определители получаем путем замены k-го столбца главного определителя на столбец свободных членов:

;

Рассчитаем контурные токи:

Токи в ветвях цепи будут определяться наложением контурных токов. Причем контурные токи, направления которых совпадает с выбранным ранее положительным направлением тока ветви, берутся со знаком «плюс», а те, которые не совпадают, со знаком «минус»:

1.2.7 Рассчитать токи в ветвях электрической цепи, схема которой представлена на рис. 1.23 методом узловых потенциалов, используя данные задачи 1.2.5.

При расчете электрических цепей методом узловых потенциалов, неизвестной величиной являются потенциалы узлов рассматриваемой цепи, при условии, что потенциал одного из узлов цепи принимают равным нулю.

Рассматриваемая цепь имеет три узла, примем равным нулю потенциал третьего узла φ ₃ = 0, тогда необходимо будет составить систему из двух уравнений для определения потенциалов остальных узлов. В общем виде эта система имеет вид:

где G_kk – узловая проводимость k-того узла, которая определяется как сумма проводимостей ветвей, подходящих к соответствующему узлу:

– междуузловая проводимость, определяемая как сумма проводимостей ветвей, включенных непосредственно между первым и вторым узлами, которая в методе узловых потенциалов всегда берется со знаком «минус»;

– алгебраическая сумма условных узловых токов, создаваемых ЭДС ветвей, подходящих к k-тому узлу, в том случае если ЭДС направлена к узлу, то создаваемый ею узловой ток входит в сумму с положительным знаком, если же от узла, то с отрицательным:

Запишем полученную систему уравнений для определения потенциалов узлов в матричной форме:

Определим главной и дополнительные определители этой системы уравнений:

Определим неизвестные потенциалы узлов:

Токи в ветвях схемы найдем по закону Ома для участка цепи с ЭДС:

где U_ab = (φ _a – φ _b) – напряжение на зажимах всего участка цепи, и направление этого напряжения должно совпадать с направлением искомого тока; Е – ЭДС участка цепи, которая берется со знаком «+», если ее направление совпадает с направлением искомого тока или со знаком «–», если не совпадает;

– сумма сопротивлений данного участка цепи.

Если сравнить между собой методы определения токов в рассматриваемой цепи (рис. 1.23), то наиболее целесообразным окажется метод узловых потенциалов, так как для расчета токов этим методом необходимо решить систему уравнений всего лишь второго порядка. Расхождения в результатах расчета токов в одной схеме различными методами объясняется погрешностями, возникающими в результате округлений.

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒