Резонансные явления в цепи несинусоидального тока

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 10Следующая ⇒

Резонансным режимом работы электрической цепи, содержащей индуктивные и емкостные элементы, называют такой режим, при котором ток и напряжение на входе цепи совпадают по фазе.

При несинусоидальных напряжениях и токах резонансные режимы (резонанс токов или резонанс напряжений) могут возникать не только на первой гармонике, но и на высших гармониках. Условие возникновения резонансного режима в идеальных последовательных или параллельных LC контурах на любой гармонике одинаково:

, где k – номер гармоники.

Из этого условия следует, что резонансный режим работы электрической цепи при несинусоидальных ЭДС и токах может быть достигнут изменением любой из трех величин при постоянстве двух оставшихся.

Резонансы напряжений и токов для отдельных гармоник используют в так называемых резонансных фильтрах для выделения сигналов требуемых частот, а также для подавления нежелательных частот.

При последовательном соединении элементов L и C (рис. 4.6) в цепи возможен резонанс напряжений. Если для какой-либо гармоники выполняется условие , то напряжение k-той гармоники на этом участке равно нулю, так как равны реактивные напряжения . И в выходном сигнале напряжение k-той гармоники будет отсутствовать.

При параллельном соединении элементов L и C (рис. 4.7) в цепи возможен резонанс токов. И если для какой-либо гармоники выполняется условие , для k-той гармоники проводимость равна нулю и ток на входе контура отсутствует, так как равны реактивные токи параллельных ветвей . Контур представляет собой разомкнутый участок цепи и можно выделить напряжение k-той гармоники, так как оно приложено к месту разрыва.

Примеры решения задач

4.2.1 Определить показания приборов электромагнитной системы в цепи, схема которой показана на рис. 4.8, записать выражение мгновенного значения тока и построить временные зависимости напряжения u(t) и тока i(t), если:

ω L=11 Ом, R= 10 Ом.

На вход цепи подано несинусоидальное напряжение, представленное в виде ряда Фурье:

Расчет гармонических составляющих тока и напряжения проведем методом комплексных амплитуд.

Ток основной гармоники:

Действующее значение тока первой гармоники:

Ток третьей гармоники:

Действующее значение тока третьей гармоники:

Определим показания амперметра:

Показания вольтметра

где действующие значения напряжений гармоник:

Запишем выражение для мгновенного значения тока:

На рис. 4.9 и 4.10 представлены графики временных зависимостей входного напряжения и тока, а также составляющих их гармоник. При вычерчивании кривых отдельных гармоник учитываем тот факт, что период гармоники обратно пропорционален ее номеру. Так как по оси абсцисс откладываем величину ω t, то при построении графика третьей гармоники напряжения ее начальная фаза (73, 14°) разделена на номер гармоники ( ).

4.2.2 Определить показания амперметра в цепи, схема которой представлена на рис. 4.11, рассчитать активную мощность всей цепи, записать выражение мгновенного значения тока цепи и построить графики временных зависимостей входного тока i(t) и напряжения u(t), если:

11 Ом; R = 10 Ом;

а подведенное напряжение: u(t) = 310sin(ω t) + 176sin(3ω t).

Ток основной гармоники:

Действующее значение тока первой гармоники:

Ток третьей гармоники:

Действующее значение тока третьей гармоники:

Показания амперметра:

Выражение для мгновенного значения тока:

На рис. 4.12 и 4.13 представлены графики временных зависимостей входного напряжения и тока, а также составляющих их гармоник.

Активная мощность цепи:

4.2.3 Определить показания приборов электромагнитной системы в цепи, схема которой показана на рис. 4.14, записать выражение мгновенного значения тока и построить временные зависимости напряжения u(t) и тока i(t), если:

R = 50 Ом, ω L = 10 Ом, 90 Ом.

На вход цепи подано несинусоидальное напряжение, заданное в виде ряда Фурье:

u(t) = 100 + 310sin(ω t + 30°) + 106sin(3ω t – 30°).

Рассчитаем токи и напряжения нулевой гармоники.

Постоянная составляющая тока I⁽⁰⁾ в цепи отсутствует, так как сопротивление конденсатора на постоянном токе равно бесконечности Х_С = ∞, то есть конденсатор представляет собой разомкнутый участок цепи. Напряжение постоянной составляющей U⁽⁰⁾ приложено к месту разрыва цепи, то есть к конденсатору:

Постоянные составляющие напряжений на остальных участках цепи равны нулю.

Рассчитаем токи и напряжения первой гармоники.

Комплексное сопротивление первой гармоники:

Комплексная амплитуда входного напряжения первой гармоники:

Ток основной гармоники:

Действующее значение тока первой гармоники:

Комплексная амплитуда напряжения первой гармоники на зажимах индуктивной катушки:

Комплексная амплитуда напряжения первой гармоники на конденсаторе:

Действующие значения напряжений первой гармоники:

Выполним расчет тока и напряжений третьей гармоники.

Комплексное сопротивление третьей гармоники:

Комплексная амплитуда входного напряжения третьей гармоники:

Ток третьей гармоники:

Действующее значение тока третьей гармоники:

Комплексная амплитуда напряжения третьей гармоники на зажимах индуктивной катушки:

Комплексная амплитуда напряжения третьей гармоники на конденсаторе:

Действующие значения напряжений третьей гармоники:

Амперметр измеряет действующее значение входного тока:

Показания первого и второго вольтметров, также измеряющих действующие значения напряжений:

Выражение для мгновенного значения тока можно записать в виде:

На рис. 4.15 и 4.16 представлены графики временных зависимостей входного напряжения и тока, а также составляющих их гармоник.

При вычерчивании кривых отдельных гармоник учитываем тот факт, что период гармоники обратно пропорционален ее номеру. То есть период третьей гармоники в три раза меньше периода первой гармоники. А так как по оси абсцисс откладываем величину ω t, то при построении графиков третьей гармоники напряжения и тока их начальные фазы необходимо разделить на номер гармоники.

4.2.4 На вход электрической цепи, схема которой приведена на рис. 4.17, подано несинусоидельное напряжение, аналитически заданное в виде разложения в ряд Фурье:

Определить показания приботов электромагнитной системы и мощность, потребляемую цепью.

Параметры элементов цепи: R = 50 Ом, L = 0, 00625 Гн, L₁ = 0, 05 Гн, С = 2·10^-5Ф, ω = 1000 рад/с.

Токи в цепи рассчитываем методом наложения. Расчет для каждой из гармоник будем выполнять в комплексной форме.

Определим постоянную составляющую токов в каждой из ветвей. Так как в цепи постоянного тока конденсатор представляет собой разомкнутый участок цепи, а идеальная катушка короткозамкнутый участок, то нулевая гармоника тока второй ветви отсутствует, а входной ток равен току первой ветви и определяется:

Постоянная составляющая напряжения на зажимах параллельных ветвей равна нулю.

Выполним расчет для первой гармоники.

Сопротивления реактивных элементов для первой гармоники:

Реактивные опротивления параллельных ветвей равны, то есть в цепи наблюдается резонанс токов и комплексное сопротивление параллельных ветвей:

Тогда первая гармоника входного тока равна нулю

Все входное напряжение первой гармоники приложено к параллельному контуру:

Можно определить комплексные амплитуды токов параллельных ветвей:

Действующие значения напряжения и токов параллельных ветвей:

Рассчитаем токи и напряжения для третьей гармоники.

С увеличением намера гармоники индуктивные сопротивления увеличиваются, а емкостные уменьшаются:

Комплексное сопротивление параллельных ветвей для третьей гармоники:

Входное сопротивление для третьей гармоники:

Входной ток:

Его действующее значение;

Напряжение на параллельных ветвях:

Третья гармоника токов параллельных ветвей:

Действующие значения напряжения и токов парал-лельных ветвей:

Определим показания приборов. Измерительные приборы электромагнитной системы измеряют действующие значения несинусоидальных токов и напряжений.

В рассматриваемой цепи активная мощность будет выделяться только в резисторе с сопротивлением R, и она может быть определена:

4.2.5 На вход электрической цепи, схема которой представлена на рис. 4.18, подано несинусоидальное напряжение:

Подобрать емкости конденсаторов С₁ и С₂ так, чтобы в нагрузку не проходила постоянная составляющая и третья гармоника напряжения, а первая гармоника проходила без искажения. Параметры цепи: L = 10 мГн, R_Н = 100 Ом.

Рассчитать мгновенные значения токов и показания приборов электродинамической системы.

Для того, чтобы в нагрузку не проходила постоянная составляющая, необходимо последовательно с нагрузочным сопротивлением включить конденсатор любой емкости, который, как известно, не пропускает постоянный ток. Поэтому постоянные составляющие тока нагрузки и напряжения на его зажимах будут отсутствовоть.

Для того, чтобы в нагрузке отсутствовала третья гармоника напряжения, необходимо, чтобы в нее не проходила третья гармоника тока, а для этого нужно параллельный контур настроить в резонанс токов на частоте 3ω = 9000 рад/с.

Для того, чтобы резонансный контур LС₁ был настроен в резонанс на частоте 3ω, необходимо выполнение условия:

или , откуда

Сопротивление резонансного контура для третьей гармоники будет равно бесконечности и все напряжение этой гармоники будет приложено к параллельному контуру.

Рассчитаем токи третьей гармоники в параллельных ветвях, учитывая, что ток индуктивности отстает от напряжения на 90^°, а ток конденсатора опережает напряжение на такой же угол:

Рассчитаем токи первой гармоники. Расчет будем выполнять в комплексной форме.

Сопротивление параллельного контура первой гармоники:

Для того, чтобы первая гармоника входного напряжения передавалась без искажения, необходимо цепь настроить в резонанс напряжений, то есть чтобы Ом, тогда:

Входное сопротивление первой гармоники:

Ток нагрузки: .

Токи параллельных ветвей:

Запишем мгновенные значения токов первой гармоники;

Мгновенные значения несинусоидальных токов ветвей:

Показания измерительных приборов, измеряющих действующие значения токов и напряжений:

Четырехполюсники

Основы теории

Системы автоматического регулирования энергетических систем, ЭВМ, другие сложные электрические устройства имеют в своем составе блоки, которые связаны с внешней цепью четырьмя зажимами - двумя входными и двумя выходными.

При анализе работы системы в целом такие блоки, зачастую имеющие достаточно сложную внутреннюю структуру, могут рассматриваться как четырехполюсники, служащие для передачи или преобразования энергии или электрических сигналов. Если четырехполюсник не содержит в своем составе источники энергии или содержит источники энергии, но действие их не обнаруживается на входных и выходных зажимах, то такие четырехполюсники называют пассивными. Например, трансформаторы, электрические фильтры, линии электропередач, линии связи и т.д.

Уравнения четырехполюсника

Зависимости между двумя напряжениями и двумя токами, определяющими режим на первичных и вторичных выводах, могут быть записаны в различных формах. Если считать две из указанных величин заданными, то две другие величины будут связаны с ними системой из двух уравнений, которые называются уравнениями четырехполюсника. Существует несколько форм записи уравнений четырехполюсника.

В том случае, если на входные зажимы четырехполюсника подается напряжение источника питания, а к выходным зажимам подключается нагрузка, то такое включение четырехполюсника называется прямым (рис. 5.2, а). Если же напряжение источника подается на выходные зажимы четырехполюсника, а нагрузка подключается к входным, то такое включение называется обратным (рис. 5.1, б). Положительные направления токов и напряжений при прямом и обратном включении

показаны на рис. 2.1.

а) б)

Рис. 5.1

При прямом включении четырехполюсника входные напряжение и ток можно связать с выходными напряжением и током уравнениями четырехполюсника в А-форме (5.1). При обратном включении можно связать выходные режимные параметры с входными с помощью уравнений в В-форме (5.2):

(5.1) (5.2)

Коэффициенты А, В, С и D в этих уравнениях в общем случае являются комплексными величинами. Они зависят от внутренней структуры рассматриваемого четырехполюсника и частоты источника питания.

Коэффициенты уравнений взаимного четырехполюсника в А- и В-формах записи связаны зависимостью:

AD – BC = 1.

Коэффициент В имеет размерность сопротивления [Ом], коэффициент С – размерность проводимости [1/Ом], коэффициенты А и D – безразмерные.

Выражения, связывающие напряжения на входе и выходе четырехполюсника с токами, называются Z-формой записи уравнений четырехполюсника и все коэффициенты в этой системе уравнений имеют размерность сопротивлений [Ом]:

Y-формой записи называются уравнения четырехполюсника, связывающие токи на входе и выходе четырехполюсника с напряжениями на его зажимах:

Все коэффициенты этой формы записи имеют размерность проводимости [1/Ом].

Кроме этого существуют Н- и G- формы записи уравнений четырехполюсника:

Для Z, Y, Н и G – форм записи уравнений четырехполюсников принято положительное направление токов и напряжений, как показано на рис. 5.2

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 678 9 10 Следующая ⇒