Расчет случайной погрешности

При обработке прямых измерений результаты наблюдений и вычислений удобно оформлять в виде таблицы 2. Таблица 2

№ пп	ai		Dai	Dai2	S	P	tPn	Daсл

В колонке 1 указывается номер опыта по порядку (обычно проводится 3-7 измерений).

В колонке 2 записываются значения измеряемой величины.

В колонку 3 вносится среднее значение измеряемой величины, рассчитанное по формуле:

. (1)

В колонке 4 представлены отклонения каждогозначения измеряемой величины от среднего:

. (2)

Каждый результат, полученный по последней формуле, возводится в квадрат и заносится в колонку 5.

В колонке 6 следует расположить среднеквадратичную погрешность S, рассчитанную по формуле:

. (3)

Она характеризует разброс средних значений измеряемой величины. Среднеквадратичная погрешность тем больше, чем сильнее измеренные величины отличаются друг от друга.

В колонку 7 заносится значение доверительной вероятности (или надежности) Обычно достаточно выбрать значение Р = 0, 95 (или, что то же самое, 95%).

Коэффициент Стьюдента, учитывающий заданную доверительную вероятность и число измерений t_Pnнаходится по таблице 1 и располагается в колонке 8.

Случайная погрешность рассчитывается по формуле:

Da_сл = t_Pn× S (4)

и заносится в колонку 9.

Учет систематических погрешностей

К учитываемым систематическим погрешностям относятся инструментальные погрешности.

Инструментальная погрешность - составляющая погрешности измерения, вносимая измерительным прибором.

В форме абсолютных погрешностей задаются погрешности линеек, штангенциркулей, секундомеров, термометров и т.п. Абсолютная погрешность инструмента в этом случае может быть вычислена по формуле

, (5)

где W - цена деления прибора.

В форме приведенных погрешностей задаются пределы допускаемых погрешностей электроизмерительных приборов, манометров. Этим приборам присваиваются классы точности. Класс точности равен пределу допускаемой приведенной погрешности, выраженной в процентах, которая определяется по формуле:

,

где а_п - нормирующее значение прибора или предел измерений;

g - предел допускаемой приведенной погрешности прибора в процентах от нормирующего значения;

Dа_п - абсолютная погрешность прибора.

Пользуясь этой формулой, можно определить абсолютную погрешность измерительного прибора:

. (6)

Полная абсолютная погрешность прямых измерений рассчитывается по формуле:

. (7)

Чаще всего случайная и инструментальная погрешности - величины разных порядков; в таких случаях меньшей погрешностью пренебрегают. Например, если , то

 

Обработка результатов косвенных измерений

Постановка задачи

Пусть в результате обработки результатов прямых измерений a, b, c получены их средние значения , а также их абсолютные погрешности Da, Db, Dc. Требуется найти наилучшее значение (наиболее близкое к истинному) величины А, связанной с измеряемыми величинами a, b, c функциональной зависимостью (расчетной формулой)

.

а также ее абсолютную и относительную погрешности.

Наиболее близкое к истинному значение величины А (его также называют средним значением) получается при подстановке в расчетную формулу средних значений измеряемой величины:

. (8)

На погрешность величины А влияют погрешности, связанные с измерением каждой из величин a, b, c . Обозначим через DА_а , DА_b , DA_c вклады в полную погрешность DА, связанные с погрешностями измерения величин a, b и c соответственно. Методы математической статистики дают следующую формулу для расчета абсолютной погрешности DА косвенно измеренной величины А:

. (9)

Расчет погрешности косвенных измерений можно осуществить различными способами.

Метод приращения функции

Если в расчетную формулу подставить не , а значение, измененное на величину абсолютной погрешности , оставляя прежними остальные величины , то мы получим новое значение величины А, отличающееся от на величину DА_а:

. (10)

Видно, что DА_а, представляет собой приращение функции при приращении аргумента а на величину Da.

Аналогично можно вычислить и DА_b, DA_c:

,

.

Полученные значения подставляются в формулу (9).

Этот метод расчета особенно удобен при проведении расчета на компьютере с помощью программ типа Excel

Метод частных производных

Приращение функции всегда можно выразить через приращение аргумента, используя определение частной производной. Частной производной функции называют производную этой функции по соответствующему аргументу, когда остальные аргументы считаются фиксированными. В данном случае под функцией понимается рассчитываемая величина А, а под независимыми переменными - измеряемые величины a, b, c. Тогда, ограничиваясь членами первого порядка малости выражение (10) можно переписать так:

; ; . (11)

Отметим, что производные , , рассчитываются при средних значениях .

Полная погрешность DА получается путем подстановки выражений (11) в формулу (9):

. (12)

Этот метод расчета применяется, если выражения производных значительно проще, чем сама функция (например, если расчетная формула представляет сумму слагаемых, являющихся громоздкими выражениями).

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Виды распределений непрерывной случайной величины.
2. Вычисление погрешности измерения
3. Гамма-распределение непрерывной случайной величины и его разновидность - распределение Пуассона непрерывной случайной величины.
4. Законом распределения случайной величины и называют соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
5. Измерение и интерпретация случайной составляющей.
6. Измерения ослаблений методом отношения мощностей. Погрешности инструментальные. Погрешность рассогласования.
7. Имущества. Риск случайной гибели или порча имущества.
8. МИ 2246-93. “ГСИ. Погрешности измерений. Обозначения”.
9. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ЭКСПЕРИМЕНТА
10. Переход риска случайной гибели товара
11. Погрешности ГК, их источники, методы компенсации и учет в различных условиях плавания.
12. Погрешности средств измерений. Классификация погрешностей средств измерений.