Перемещение будет определяться разностью конечного и начального радиус-векторов

Рис. 12. Изменение вектора скорости по величине и направлению

∆ v = ∆ v_τ + ∆ v _n – изменение вектора скорости за время ∆ t.

УСКОРЕНИЕ

Ускорение — это вектор, характеризующий изменение величины и направления скорости с течением времени. Среднее < a> и мгновенное a ускорения определяются как:

< a> = Dv/Dt, a = lim(∆ v/∆ t) = dv/dt = d²s/dt², при ∆ t → 0. (3.9).

А модуль ускорения a = dv/dt = d²s/dt². (3.10).

Модуль вектора мгновенного ускорения легко находится по теореме Пифагора. При двумерном движении a = √ a_х² +.a²_у. (3.11).

При криволинейном движении вектор полного ускорения целесообразно разложить по двум составляющим — тангенциальному ускорению a_t, направленному по касательной к траектории в сторону изменения скорости, и перпендикулярному нормальному (центростремительному) ускорению a_n, направленному по радиусу к центру траектории.

Рис.13. Касательное и нормальное ускорения.

Полное ускорение будет геометрической суммой тангенциальной и нормальной составляющих a = a_τ + a_n. (3.12).

Тангенциальное ускорение отвечает за изменение модуля скорости, а нормальное ускорение — за изменение направления скорости. Величина тангенциального ускорения равна производной от модуля вектора скорости по времени: a_τ = dv/dt. (3.13).

Составляющая ускорения, характеризующая быстроту изменения скорости по направлению, называется нормальным ускорением. Она связана с приращением вектора скорости, направленным перпендикулярно касательной к траектории и равна a_n = v²/R, (3.14).

где R - радиус кривизны траектории. Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории. Вектор полного ускорения

(3.15).

Его модуль легко найти по теореме Пифагора: a = √ a_τ ² +.a²_n (3.16).

Дело в том, что и а_τ , и а_n – каждый имеет свою " специализацию": а_τ отвечает за изменение скорости по величине, а а_n отвечает за изменение скорости по направлению. Если скорость тела меняется только по величине и, следовательно, сохраняет свое направление, то, в соответствии с определением скорости, мы имеем дело с прямолинейным движением, и его ускорение будет только тангенциальным: a_τ = dv/dt. (3.17).

Если же скорость меняется лишь по направлению, а ее величина остается постоянной, то при таком криволинейном движении ускорение все равно будет, но оно полностью нормальное a_n = v²/R, (3.18).

и в любой момент направлено к центру кривизны траектории:

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ.

z: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gif Простейшим видом механического движения является движение тела вдоль прямой линии с постоянной по модулю и направлению скоростью (равномерное прямолинейное движение ). При равномерном движении тело за равные промежутки времени проходит равные пути. Зависимость координаты x от времени t выражается при равномерном прямолинейном движении линейным математическим уравнением: X (t) = x₀ + vt, (3.19)

где v = const – скорость движения тела, x₀ – координата точки, в которой тело находилось в момент времени t = 0.

На графике закон движения x(t) прямая линия. Чем больше угол α, который образует прямая с осью времени, т.е. чем больше наклон графика, тем больше скорость тела. Скорость тела равна тангенсу угла α наклона прямой x(t), так как стороны BC и AC треугольника ABC имеют разные размерности: сторона BC измеряется в метрах, а сторона AC – в секундах. a = a_t = a_n = 0; (3.20).

v = const. (3.21).

s = vt. (3.22).

Путь, пройденный телом, можно тоже определить из графика. Т.к. при равномерном прямолинейном движении, s = v_xt, (3.23).

то путь численно равен площади под графиком v_x(t):

Равноускоренным прямо линейным движением z: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\content\chapter1\section\paragraph2\theory.htmlz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\ring_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gif называют движение, при котором вектор ускорения a остается неизменным по модулю и направлению. В случае прямолинейного движения векторы скорости v и ускорения a направлены вдоль прямой движения. Поэтому скорость v и ускорение a можно рассматривать в проекциях на направление движения как алгебраические величины. a_n = 0; (3.24).

a = a_t = const. (3.25).

График такой зависимости – отрезок прямой. Его наклон к оси времени говорит о величине ускорения: a_х = tg α. (3.26).

Как и в случае с равномерным движением, площадь под графиком v_х(t) численно равна пути, пройденным телом.

Рис. 15. Графики скорости равноускоренного движения.

Перемещение Δ s за время Δ t будет равно Δ s = vΔ t. (3.27).

Перемещение за время t при равноускоренном прямолинейном движении равно площади трапеции ODEF. Перемещение s тела при равномерно ускоренном движении на промежутке времени от 0 до t:.s = v₀t + (at²)/2. (3.28).

Для нахождения координаты y тела в любой момент времени t к начальной координате y₀ прибавляют перемещение за время t:

y = y₀ + v₀t + (at²)/2. (3.29).

График зависимости координаты тела от времени – парабола.

При анализе равноускоренного движения иногда возникает задача определения перемещения тела по заданным значениям начальной v₀ и конечной v скоростей и ускорения a. s = (v² – v₀²)/2a. (3.30).

Из этой формулы можно получить выражение для определения конечной скорости v тела, если известны начальная скорость v₀, ускорение a и перемещение s: v = √ v₀² + 2as. (3.31).

Если начальная скорость v₀ равна нулю то. s = v²/2a., (3.32).

v = √ 2as. (3.33).

a_n = 0; (3.34).

a = a_t = const. (3.35).

v = v₀ + at; (3.36).

s = s₀ + v₀t + at²/2,. (3.37).

СВОБОДНОЕ ПАДЕНИЕ ТЕЛ.

z: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gif Ускорение, с которым падают на Землю тела, называется ускорением свободного падения, обозначается символом g и направлен по вертикали вниз. В зависимости от географической широты числовое значение g оказывается неодинаковым, изменяясь от 9, 83 м/с² на полюсах до 9, 78 м/с² на экваторе. Свободное падение является прямолинейным движением с постоянным ускорением. y = h – gt²/2. (3.38).

Время падения t_п тела на Землю найдется из условия y = 0: (3.39).

.t_n = √ 2h/g. (3.40.

Скорость тела в любой точке составляет: v =√ 2g(h – y). (3.41).

При y = 0 скорость v_n падения тела на землю равна.v = √ 2gh. (3.42).

Отсюда можно вычислить время падения тела с высоты, скорость падения тела в любой момент после начала падения и в любой точке его траектории и т.д..

y = v₀ –gt. (3.43).

Рис. 16. Проекции векторов скорости v и ускорения a на координатные оси. ax = 0, ay = –g.

Через время v₀/g скорость тела v обращается в нуль, т.е. тело достигает высшей точки подъема. y = v₀t – gt²/2. (3.44).

Тело возвращается на землю (y = 0) через время 2v₀/g, т.е., время подъема и время падения одинаковы. Во время падения на землю скорость тела равна – v ₀, т.е. тело падает на землю с такой же по модулю скоростью, с какой оно было брошено вверх.. h = y_мах. = v₀²/2g. (3.45).

Если тело, брошено под некоторым углом к горизонту, то для кинематического описания движения тела удобно одну из осей системы координат направить вертикально вверх (ось OY), а другую (ось OX) - расположить горизонтально.

Рис. 17. Движение тела, брошенного под углом ά к горизонту. Разложение вектора v0 начальной скорости тела по координатам.

Тогда движение тела можно представить как сумму двух движений, протекающих независимо друг от друга – движения с ускорением свободного падения вдоль оси OY и равномерного прямолинейного движения вдоль оси OX. Таким образом, для движения вдоль оси OX имеем следующие условия:

x₀ =0, v_0x=v₀cosά, a_x = 0. (3.46).

а для движения вдоль OY: y₀=0, (3.47)

v_0y=v₀sinά, (3.48)

a_v = -g. (3.49).

Время полета: t=(2v₀sinά )/g. (3.50).

Дальность полета: L=(v₀²sin2ά )/g, (3.51).

L =L_мач.=v₀²/g. при ά =45⁰ (3.52).

Максимальная высота подъема: h = (v₀²sin²ά )/2g. (3.53).

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, происходит по параболической траектории.

ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ.

Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. Наряду с вектором перемещения Δ s удобно рассматривать угловое перемещение ∆ φ (или угол поворота ), измеряемое в радианах. Длина дуги связана с углом поворота соотношением Δ l = RΔ φ. (3.54)

При равномерном движении тела по окружности величины v и ω остаются неизменными, а изменяется только направление вектора v.

Равномерное движение тела по окружности является движением с ускорением. Ускорение. a = Δ v/Δ t, (Δ t → 0). (3.55) направлено по радиусу к центру окружности. Его называют нормальным или центростремительным ускорением. Модуль центростремительного ускорения связан с линейной v, и угловой ω скоростями: a_n = v²/R = ω ²R. (3.56)

. R/(vΔ t) ≈ v/Δ v. (3.57).

или Δ v/Δ t ≈ v²/R. (3.58).

a = a_n = const. (3.59).

a_t = 0; (3.60).

v = const; (3.61).

v = 2pR/T; (3.62).

a_n= v²/R = (2pR)²/RT² = (4p²R)/T². (3.63)

Рис. 18. Центростремительное ускорение тела an при равномерном движении по окружности.

Если тело движется по окружности неравномерно, то появляется также тангенциальная составляющая ускорения. a_τ = Δ v_τ /Δ t, (Δ t → 0). (3.64).

В этой формуле Δ v_τ = v₂ – v₁ – изменение модуля скорости за промежуток времени Δ t. Направление вектора полного ускорения a = a_τ – a_n (3.65). определяется в каждой точке круговой траектории величинами нормального и касательного ускорений. a_t = dv/dt = R.dw/dt = Re; (3.66).

a_n = v²/R = w²R; (3.67).

a² = a_t² + a_n² = (dv/dt)² + (v²/R)² = R(e² + w²). (3.68).