Статистические оценки параметров распределения

Точечные оценки

Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом.

Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя

где - варианта выборки, - частота варианты , - объем выборки.

Замечание 2.1. Если первоначальные варианты - большие числа, то для упрощения расчета целесообразно вычесть из каждой варианты одно и то же число , т.е. перейти к условным вариантам (в качестве С выгодно принять число, близкое к выборочной средней; поскольку выборочная средняя неизвестна, число С выбирают «на глаз»). Тогда

Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия

.

Эта оценка является смещенной, так как

Более удобна формула

Замечание 2.2. Если первоначальные варианты - большие числа, то целесообразно вычесть из всех вариант одно и то же число , равное выборочной средней или близкое к ней, т.е. перейти к условным вариантам (дисперсия при этом не изменится). Тогда

Замечание 2.3. Если первоначальные варианты являются десятичными дробями с десятичными знаками после запятой, то чтобы избежать действий с дробями, умножают первоначальные варианты на постоянное число , т.е. переходят к условным вариантам . При этом дисперсия увеличится в раз. Поэтому, найдя дисперсию в условных вариантах, надо разделить ее на :

.

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия

Более удобна формула

В условных вариантах она имеет вид

причем, если то если то

Замечание 2.4. При большом числе данных используют метод произведений или метод сумм.

Пример 2.1. В итоге пяти измерений длины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм ): 92; 94; 103; 105; 106. Найти: а) выборочную среднюю длину стержня; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

Решение. а) Найдем выборочную среднюю:

б) Найдем выборочную дисперсию:

Найдем исправленную дисперсию:

 

2.2. Интервальные оценки

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью γ покрывает оцениваемый параметр.

Для нормально распределенного количественного признака при известном среднем математическом отклонении оценка математического ожидания генеральной совокупности по выборочной средней осуществляется с использованием доверительного интервала

где - точность оценки; - объем выборки; есть такое значение аргумента функции Лапласа, что .

При неизвестном (и объеме выборки )

где - исправленное среднее квадратическое отклонение, - находят по таблице «Таблица значений » по заданным и γ.

Для оценки среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака с надежностью γ по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению служат доверительные интервалы

где находят по таблице «Таблица значений » по заданным и .

Пример 2.2. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0, 95 неизвестного математического ожидания нормально распределенного признака генеральной совокупности, если даны генеральное среднее квадратическое отклонение выборочная средняя и объем выборки

Решение. Требуется найти доверительный интервал

(2.1)

Здесь все величины, кроме , известны. Найдем . Из соотношения получим . По таблице «Таблица значений функции » находим . Подставим , в формулу (2.1), окончательно получим искомый доверительный интервал

.

Пример 2.3. Произведено 12 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой физической величины, причем исправленное среднее квадратическое отклонение случайных ошибок измерений оказалось равным 0, 6. Найти точность прибора с надежностью 0, 99.

Решение. Точность прибора характеризуется средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений. Поэтому задача сводится к отысканию доверительного интервала для среднего квадратического отклонения, покрывающего оцениваемый параметр с заданной надежностью :

(2.2)

По данным и по таблице «Таблица значений » найдем Подставив в неравенство (2.2), окончательно получим

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. C. межотраслевой баланс производства, распределения и использования продукции в народном хозяйстве
2. Алгоритмы распределения памяти
3. Аналитический метод расчета параметров разноритмичных потоков
4. Б. Заголовок процедуры со списком формальных параметров.
5. Бурение нефтяных и газовых скважин. Система контроля технологических параметров бурения. Конструкция скважин.
6. Вертикальные маркетинговые схемы распределения
7. Вопрос. Стратегии охвата рынка. Виды распределения
8. Вопрос. Сущность распределения как элемента комплекса маркетинга
9. Вход в информационно-поисковую систему, определение параметров поиска
10. Выбор теплоносителя и его параметров.
11. Генеральная и выборочная совокупность. Способы отбора. Статическая функция распределения. Статические оценки параметров распределения.
12. Глава VI. 10 ПАРАМЕТРОВ И 70 ОЧКОВ