Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5

Пусть двумерная генеральная совокупность ( ) распределена нормально. Из этой совокупности извлечена выборка объема и по ней найден выборочный коэффициент корреляции Требуется проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции.

Если нулевая гипотеза принимается, то это означает, что и – некоррелированы; в противном случае – коррелированы.

Правило: Для того чтобы, при уровне значимости , проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе надо вычислить наблюдаемое значение критерия

и по таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости и числу степеней свободы найти критическую точку двусторонней критической области.

Если , то нулевую гипотезу отвергают.

Если , то нет основания отвергнуть нулевую гипотезу.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу которая противоречит нулевой.

В итоге проверки гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Вероятность ошибки первого рода называют уровнем значимости и обозначают через .

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Вероятность ошибки второго рода обозначают через .

Статистическим критерием (или просто критерием ) называют случайную величину К, которая служит для проверки гипотезы.

Наблюдаемым (эмпирическим) значением называют то значение критерия, которое вычислено по выборкам.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Областью принятия гипотезы (область допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.

Критическими точками (границами) называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством - положительное число.

Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством - отрицательное число.

Односторонней называют правостороннюю или левостороннюю критическую область.

Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, то двусторонняя критическая область определяется неравенствами (в предположении, что ).

или равносильным неравенством

Для отыскания критической области задаются уровнем значимости и ищут критические точки, исходя из следующих соотношений:

а) для правосторонней критической области

б) для левосторонней критической области

в) для двусторонней симметричной области

Пример 5.2. По выборке объема , извлеченной из двумерной нормальной совокупности ( ), найден выборочный коэффициент корреляции . Требуется, при уровне значимости 0, 05, проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции, при конкурирующей гипотезе

Решение. Найдем наблюдаемое (эмпирическое) значение критерия

По условию конкурирующая гипотеза имеет вид поэтому критическая область – двусторонняя.

По таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение 6, [ ] ) по уровню значимости помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы находим критическую точку двусторонней критической области

Так как - отвергаем нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции значимо отличается от нуля; следовательно, и коррелированны.

Криволинейная корреляция

Если график регрессии изображается кривой линией, то корреляцию называют криволинейной. В частности, в случае параболической корреляции второго порядка выборочное уравнение регрессии на имеет вид

Неизвестные параметры находят (например, методом Гаусса) из системы уравнений:

(6.1)

Аналогично находится выборочное уравнение регрессии на

Для оценки силы корреляции на служит выборочное корреляционное отношение (отношение межгруппового среднего квадратического отклонения к общему среднему квадратическому отклонению признака )

или (в других обозначениях)

Здесь где - объем выборки (сумма всех частот); - частота значения признака ; - частота значения признака ; - условная средняя признака ; - общая средняя признака .

Аналогично определяется выборочное корреляционное отношение на :

Пример 6.1. Найти выборочное уравнение регрессии по данным, приведенным в корреляционной таблице 6.1.

Оценить силу корреляционной связи по выборочному корреляционному соотношению.

Таблица 6.1

X Y
		-	-
	-
	-

Решение. Составим расчетную таблицу 6.2.

Таблица 6.2


		47, 1 108, 67

Подставив числа, содержащиеся в последней строке табл.6.2, в систему (6.1), получим систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов :

Решив эту систему (например, методом Гаусса), найдем

Подставив найденные коэффициенты в уравнение регрессии

окончательно получим

Для того чтобы вычислить выборочное корреляционное отношение , предварительно найдем общую среднюю , общее среднее квадратическое отклонение и межгрупповое среднее квадратическое отклонение :

Найдем искомое выборочное корреляционное отношение:

§ 7. Индивидуальные задания

Содержание заданий

Задания выдаются индивидуально каждому студенту в соответствии с его номером в журнале. Все шесть частей задания выполняются на едином статистическом материале, а каждая следующая часть базируется на предыдущей и является её логическим продолжением.

ЗАДАНИЕ 1

1. Определить

2. Разбить каждый из интервалов и на 5 частичных интервалов.

3. Составить распределение выборок и .

4. Найти эмпирическую функцию распределения случайной величины: (для нечетных вариантов); (для четных вариантов). Построить ее график.

5. Построить гистограмму частот распределения признака (для нечетных вариантов), (для четных вариантов).

ЗАДАНИЕ 2

1.Определить выборочные средние, выборочные и исправленные дисперсии и среднеквадратические отклонения случайных величин и .

2.Найти доверительные интервалы для оценки с надежностью 0, 95 неизвестных математических ожиданий случайных величин и .

ЗАДАНИЕ 3

1.Методом произведений вычислить выборочные среднюю, дисперсию, асимметрию и эксцесс случайной величины (для нечетных вариантов), (для четных вариантов).

ЗАДАНИЕ 4

1.С использованием критериев Пирсона, Колмогорова, Романовского и Ястремского, проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности для данной случайной величины (для нечетных вариантов), (для четных вариантов).

ЗАДАНИЕ 5

1.Составить корреляционную таблицу для случайных величин и .

2.Вычислить выборочный коэффициент линейной корреляции.

3.Составить уравнение прямой линии регрессии на .

4.Проверить гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции (при уровне значимости ).

ЗАДАНИЕ 6

1.Найти выборочное уравнение регрессии на в виде:

2.Вычислить выборочное корреляционное отношение

Варианты заданий

№ варианта	Случайные величины

Значения случайных величин

№ п/п
	0, 18	0, 13	0, 51	0, 017	0, 031	8, 30	35, 99	48, 00	30, 99	13, 00
	0, 18	0, 13	0, 51	0, 017	0, 031	8, 30	35, 99	48, 00	30, 99	13, 99
	0, 16	0, 16	0, 52	0, 025	0, 024	8, 80	35, 99	46, 99	33, 00	13, 50
	0, 16	0, 16	0, 52	0, 025	0, 024	8, 80	35, 99	46, 99	33, 00	13, 00
	0, 18	0, 16	0, 52	0, 017	0, 031	9, 00	34, 00	45, 99	27, 99	11, 00
	0, 18	0, 16	0, 52	0, 017	0, 031	9, 00	34, 00	45, 99	27, 99	11, 00
	0, 14	0, 16	0, 48	0, 032	0, 024	8, 70	34, 50	45, 99	33, 00	16, 00
	0, 14	0, 16	0, 48	0, 032	0, 024	8, 70	34, 50	45, 99	33, 00	19, 50
	0, 16	0, 17	0, 48	0, 023	0, 035	8, 80	35, 99	48, 00	30, 99	17, 00
	0, 16	0, 17	0, 48	0, 023	0, 035	8, 80	35, 99	48, 00	30, 99	16, 00
	0, 15	0, 16	0, 53	0, 027	0, 034	8, 80	35, 99	48, 00	35, 00	16, 00
	0, 15	0, 16	0, 53	0, 027	0, 034	8, 80	35, 99	48, 00	35, 00	13, 50
	0, 20	0, 16	0, 56	0, 032	0, 023	9, 40	41, 00	55, 00	30, 99	12, 20
	0, 20	0, 16	0, 56	0, 032	0, 023	9, 40	41, 00	55, 00	30, 99	11, 49
	0, 15	0, 16	0, 51	0, 019	0, 030	8, 50	37, 00	48, 00	30, 00	14, 50
	0, 15	0, 16	0, 51	0, 019	0, 030	8, 50	37, 00	48, 00	30, 00	13, 99
	0, 18	0, 17	0, 51	0, 025	0, 030	9, 00	36, 60	49, 00	29, 00	14, 50
	0, 18	0, 17	0, 51	0, 025	0, 030	9, 00	35, 50	49, 00	29, 00	13, 99
	0, 16	0, 15	0, 52	0, 038	0, 035	9, 50	33, 49	46, 99	30, 99	12, 50
	0, 16	0, 15	0, 52	0, 038	0, 036	9, 50	33, 49	46, 99	30, 99	13, 00
	0, 15	0, 15	0, 47	0, 039	0, 026	9, 90	36, 50	48, 49	32, 00	13, 00
	0, 15	0, 15	0, 47	0, 039	0, 026	9, 90	36, 50	48, 49	32, 00	15, 49
	0, 18	0, 17	0, 48	0, 034	0, 031	9, 20	36, 50	50, 00	30, 99	11, 49
	0, 18	0, 17	0, 48	0, 034	0, 031	9, 20	36, 50	50, 00	30, 99	11, 00
	0, 17	0, 16	0, 47	0, 036	0, 036	9, 00	34, 00	46, 99	30, 00	13, 50
	0, 17	0, 16	0, 47	0, 036	0, 036	9, 00	34, 00	46, 99	30, 00	14, 50
	0, 13	0, 17	0, 52	0, 023	0, 031	9, 00	36, 00	45, 50	32, 00	14, 50
	0, 13	0, 17	0, 52	0, 023	0, 031	9, 00	36, 00	45, 50	32, 00	15, 90
	0, 17	0, 18	0, 53	0, 022	0, 035	9, 10	36, 00	44, 99	32, 00	13, 99
	0, 17	0, 18	0, 53	0, 022	0, 035	9, 10	36, 00	44, 99	32, 00	14, 50
	0, 16	0, 17	0, 52	0, 025	0, 034	8, 80	32, 00	46, 99	32, 00	13, 99
	0, 16	0, 17	0, 52	0, 025	0, 034	8, 80	32, 00	46, 99	32, 00	13, 99
	0, 15	0, 18	0, 50	0, 023	0, 036	9, 90	35, 00	46, 99	30, 99	13, 99
	0, 15	0, 18	0, 50	0, 023	0, 036	9, 90	35, 00	46, 99	30, 99	13, 50
	0, 13	0, 17	0, 46	0, 023	0, 026	9, 80	35, 00	45, 99	25, 00	12, 50
	0, 13	0, 17	0, 46	0, 023	0, 026	9, 80	35, 00	45, 99	25, 00	13, 50
	0, 13	0, 17	0, 52	0, 023	0, 031	10, 00	32, 00	44, 00	32, 00	17, 99
	0, 13	0, 17	0, 52	0, 023	0, 031	10, 00	32, 00	44, 00	32, 00	18, 99
	0, 18	0, 18	0, 58	0, 035	0, 039	9, 90	34, 00	45, 99	30, 00	15, 49
	0, 18	0, 18	0, 58	0, 035	0, 039	9, 90	34, 00	45, 99	30, 00	12, 50
	0, 20	0, 18	0, 59	0, 035	0, 039	9, 80	30, 99	48, 00	30, 99	13, 00
	0, 20	0, 18	0, 59	0, 035	0, 039	9, 80	30, 99	48, 00	30, 00	13, 00
	0, 15	0, 17	0, 48	0, 023	0, 031	9, 90	34, 00	44, 99	34, 00	15, 49
	0, 15	0, 17	0, 48	0, 023	0, 031	9, 90	34, 00	44, 49	34, 00	15, 00
	0, 14	0, 18	0, 48	0, 025	0, 024	13, 29	32, 00	46, 99	35, 00	17, 00
	0, 14	0, 18	0, 48	0, 025	0, 024	13, 29	32, 00	46, 99	35, 00	16, 50
	0, 16	0, 17	0, 48	0, 020	0, 024	12, 20	32, 00	46, 00	30, 00	17, 50
	0, 16	0, 17	0, 48	0, 020	0, 024	12, 20	32, 00	45, 99	30, 00	17, 50
	0, 18	0, 20	0, 51	0, 020	0, 033	11, 10	34, 00	49, 00	35, 00	16, 50
	0, 18	0, 20	0, 51	0, 020	0, 033	11, 10	34, 00	49, 00	35, 00	17, 00
	0, 17	0, 18	0, 48	0, 021	0, 033	12, 39	33, 00	45, 99	27, 99	15, 00
	0, 17	0, 18	0, 48	0, 021	0, 033	12, 39	33, 00	45, 99	27, 99	14, 50
	0, 18	0, 16	0, 51	0, 027	0, 035	11, 79	33, 00	48, 00	30, 00	16, 20
	0, 18	0, 16	0, 51	0, 027	0, 035	11, 79	33, 00	48, 00	30, 00	17, 00
	0, 13	0, 16	0, 42	0, 024	0, 039	11, 49	30, 00	48, 00	33, 00	15, 00
	0, 13	0, 16	0, 42	0, 024	0, 039	11, 49	30, 00	48, 00	33, 00	15, 00
	0, 19	0, 16	0, 53	0, 023	0, 035	11, 79	36, 00	48, 49	29, 00	15, 00
	0, 19	0, 16	0, 53	0, 023	0, 035	11, 79	36, 00	48, 49	29, 00	13, 50
	0, 13	0, 16	0, 38	0, 021	0, 041	13, 20	39, 00	41, 50	35, 00	16, 00
	0, 13	0, 16	0, 38	0, 021	0, 041	13, 20	39, 00	41, 50	35, 00	16, 20

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

1. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Способы отбора.

2. Вариационный ряд. Статистическое распределение частот и относительных частот. Эмпирическая функция и ее свойства.

3. Гистограмма, полигон частот и относительных частот.

4. Точечные оценки: выборочная средняя, выборочная дисперсия, исправленная дисперсия.

5. Интервальные оценки. Точность оценки, доверительная вероятность, доверительная интервал. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном .

6. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном . Оценка истинного значения измерительной величины.

7. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения. Оценка точности измерения.

8. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Условные средние, выборочное уравнение регрессии.

9. Нахождение параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии.

10. Влияние выборочного коэффициента корреляции на тесноту связи.

11. Статистические гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Статистические критерии проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемые значения критерия.

12. Критическая область. Нахождение правосторонней, левосторонней и двусторонней критических областей.

13. Эмпирические и выравнивающие частоты. Построение нормальной кривой по опытным данным.

14. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.

15. Сравнению двух средних нормальных генеральных совокупностей.

16. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей.

17. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности.

18. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей. Критерий Кочрена.

19. Оценка резко выделяющихся данных.

⇐ Предыдущая 1 2 3 45