Тема 7. Элементы теории корреляции

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5Следующая ⇒

Выбор параметров уравнения. Оценка тесноты связи между случайными величинами. [1, с. 255-278].

Контрольные вопросы для самопроверки:

1. Как находятся параметры выборочного уравнения прямой линии регрессии?

2. Запишите выборочное уравнение прямой линии регрессии.

3. Запишите формулу для вычисления выборочного коэффициента корреляции.

4. В чем заключается смысл выборочного коэффициента корреляции.

5. Как оценивается теснота связей между случайными величинами в случае нелинейной корреляционной зависимости?

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ

Выборочный метод

Статистическое распределение выборки

Пусть для изучения количественного (дискретного или непрерывного) признака из генеральной совокупности извлечена выборка объема . Наблюдавшиеся значения признака называют вариантами , а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, - вариационным рядом.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант вариационного ряда и соответствующих им частот (сумма всех частот равна объему выборки ) или относительно частот (сумма всех относительных частот равна единице).

Статистическое распределение выборки можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты интервала принимают сумму частот вариант, попавших в этот интервал).

Пример 1.1. Выборка задана в виде распределения частот:

Найти распределение относительных частот.

Решение. Найдем объем выборки:

Найдем относительные частоты:

Напишем искомое распределение относительных частот:

Контроль: 0, 1 + 0, 3 + 0, 6 = 1.

Эмпирическая функция распределения

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения относительную частоту события :

где - число вариант, меньших ; - объем выборки.

Эмпирическая функция обладает следующими свойствами:

Свойство 1. Значения эмпирической функции принадлежат отрезку ;

Свойство 2. - неубывающая функция;

Свойство 3. Если - наименьшая варианта, а - наибольшая, то при и при .

Пример 1.2. Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

Решение. Найдем объем выборки:

Наименьшая варианта равна единице, следовательно,

при

Значение а именно наблюдалось 10 раз, следовательно,

при

Значения , а именно и , наблюдались раз, следовательно, при . Так как - наибольшая варианта, то при .

Напишем искомую эмпирическую функцию:

График этой функции изображен на рисунке.

Рис 1.1. График эмпирической функции распределения

Полигон и гистограмма

1.3.1. Дискретное распределение признака

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки ( ), ( ), …, ( ), где - варианты выборки, а - соответствующие им частоты.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки ( ), ( ), …, ( ), где - варианты выборки, а - соответствующие им относительные частоты.

1.3.2. Непрерывное распределение признака

При непрерывном распределении признака интервал, в котором заключены все наблюденные значения признака, разбивают на ряд частичных интервалом длины и находят - сумму частот вариант, попавших в интервал. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины , а высоты равны отношению (плотность частоты). Площадь частичного прямоугольника равна - сумме частот вариант, попавших в интервал. Площадь гистограммы частот равна сумме частот, всех частот, т.е. объему выборки .

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины , а высоты равны отношению (плотность относительной частоты). Площадь частичного прямоугольника равна - относительной частоте вариант, попавших в интервал. Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Пример 1.3. Построить полигон частот по данному распределению выборки:

Решение. Отложим на оси абсцисс варианты , а на оси ординат соответствующие им частоты . Соединив точки ( ) отрезками прямых, получим искомый полигон частот ( см. рисунок).

Рис. 1.2. Полигон частот.

Пример 1.4. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки объема :

Номер интервала	Частичный интервал	Сумма частот вариант интервала	Плотность частоты

	1-5 5-9 9-13 13-17 17-21		2, 5 12, 5

Решение. Построим на оси абсцисс заданные интервалы длины . Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс, и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям частоты . Например, над интервалом (1, 5) построим отрезок, параллельный оси абсцисс, на расстоянии ; аналогично строят остальные отрезки.

Искомая гистограмма частот изображена на рисунке.

Рис 1.3. Гистограмма частот.

⇐ Предыдущая 123 4 5 Следующая ⇒