|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
В результате изучения темы специалист долженСтр 1 из 5Следующая ⇒
Математическая статистика Методические указания для самостоятельного изучения темы «Математическая статистика» для студентов всех направлений и всех форм обучения Мариуполь
УДК 519.2 (075.8)
Методические указания для самостоятельного изучения темы «Математическая статистика» для студентов всех направлений и всех форм обучения / составители В.П. Сударев, А.М. Холькин.- Мариуполь: ПГТУ, 2015.- 59 с.
В методических указаниях рассмотрено применение основных методов математической статистики к обработке результатов наблюдений. Методические указания содержат темы лекций, контрольные вопросы к изучению курса, методические указания к выполнению индивидуальных заданий, варианты заданий, список основной и дополнительной литературы.
Составители: В.П. Сударев, доктор экономических наук, професор А.М. Холькин, доктор физико-математических наук, профессор
СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………… 1.ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ ТЕМЫ……………………………………………………………………….. 2.МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИЗУЧЕНИЮ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА……………………………………………………………………………… 3.МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ § 1. Выборочный метод 1.1. Статистическое распределение выборки 1.2. Эмпирическая функция распределения 1.3. Полигон и гистограмма § 2. Статистические оценки параметров распределения 2.1. Точечные оценки 2.2. Интервальные оценки § 3. Методы расчета сводных характеристик выборки 3.1. Метод произведений вычисления выборочной средней и дисперсии 3.2. Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения § 4. Проверки гипотез о законе распределения 4.1. Применение критерия Пирсона к проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности 4.2. Применение критерия Колмогорова к проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности 4.3. Критерий В.И. Романовского 4.4. Критерий Б.С. Ястремского § 5. Регрессионный анализ 5.1. Линейная корреляция 5.2. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции § 6. Криволинейная корреляция § 7. Индивидуальные задания 7.1. Содержание заданий 7.2. Варианты заданий 7.3. 4.ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ………………………. 5. СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ…… ……………………… ВВЕДЕНИЕ Неотъемлемым условием успешного управления производством и экономикой является овладение экономико-математическими методами на строго научной основе. Выполнение заданий по математической обработке результатов наблюдения методами математической статистики является важным этапом процесса подготовки специалиста. После окончания университета в процессе работы студентам неоднократно придется столкнуться с обработкой статистических данных. Цель преподавания дисциплины: формирование системы теоретических знаний и практических навыков по основам математического аппарата, основных методов количественного измерения случайности действия факторов, которые влияют на любые процессы, основ математической статистики, которая используется во время планирования, организации и управления производством, оценивания качества продукции, системного анализа экономических структур и технологических процессов. Цель выполнения этого задания – приобретение студентами умений и навыков по математической обработке и статистическому анализу результатов наблюдений. В частности, рассмотрены вопросы определения эмпирической функции распределения, точечных и интервальных оценок параметров распределения, проверки статистических гипотез, линейной и нелинейной корреляции. Цель преподавания дисциплины заключается в изучении основных принципов и инструментария математического аппарата, который используется для решения инженерных и экономических задач, математических методов систематизации, обработки и применения статистических данных для научных и практических выводов. Задача преподавания дисциплины заключается в том, что в результате изучения дисциплины студенты должны научиться приемам исследования и решения математически формализованных заданий, научиться анализировать полученные результаты, владеть методами систематизации, обработки и анализа массовых статистических данных, приобрести навыки самостоятельной работы с литературой по математике и ее применением. Методические указания предназначены для студентов дневных и заочных факультетов и будут использованы ими в самостоятельной внеаудиторной работе при выполнению индивидуального задания по математической статистике, состоящего из шести частей. Настоящие методические указания составлены с использованием методического пособия В.П. Сударева [18]. Основное содержание темы изложено в учебниках авторов: Гмурман В.Е. [1], Вентцель Е.С. [3], Румшинский Л.З. [9], Феллер В. [10], [11] (см. список основной и вспомогательной литературы).
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ ТЕМЫ
Над изучением темы следует работать систематически, переходя к следующему вопросу после закрепления знаний предыдущего. Рекомендуется составление сжатого конспекта с выписыванием возникающих вопросов для консультаций с преподавателем кафедры. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИЗУЧЕНИЮ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА Содержательный модуль 1. Случайные процессы Тема 1. Элементы теории случайных процессов и теории массового обслуживания Простейший поток событий. Марковские процессы. Составление системы уравнений Колмогорова. Нахождение предельных вероятностей. [1, с. 380-385]. Контрольные вопросы для самопроверки: 1. Что такое поток событий? 2. В чем заключается свойство отсутствия последействия потока событий? 3. В чем заключается свойство ординарности потока событий? 4. Что такое простейший (пуассоновский) поток событий? 5. Как определяется интенсивность потока? 6. Сформулируйте определение цепи Маркова. 7. Что такое матрица перехода системы? 8. Запишите равенство Маркова.
Содержательный модуль 2. Элементы математической статистики Тема 2. Первичная обработка статистических данных Задачи математической статистики. Способы отбора и группировки статистических данных. Генеральная и выборочная совокупности. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения и ее свойства. Гистограмма и полигон статистических распределений. Выборочная средняя. Дисперсия выборки. Среднеквадратическое отклонение. [1, с. 187-196, с. 197-207] Контрольные вопросы для самопроверки: 1. Сформулируйте задачи математической статистики. 2. Что такое объем совокупности? 3. Сформулируйте определение повторной и бесповторной выборок. 4. Какие вы знаете способы отбора? 5. Что такое эмпирическая функция распределения? 6. Сформулируйте свойства эмпирической функции распределения. 7. Что такое полигон частот и полигон относительных частот? 8. Что такое гистограмма частот и гистограмма относительных частот? 9. Сформулируйте определение несмещенной, эффективной и состоятельной оценок. 10. Запишите формулу для вычисления выборочной средней. 11. Запишите формулы для вычисления выборочной дисперсии и среднеквадратического отклонения.
Содержательный модуль 3. Статистическая проверка статистических гипотез Содержательный модуль 3. Элементы теории корреляции Тема 5. Элементы теории регрессии Условные средние. Выборочное уравнение регрессии. Отыскивание параметров выборочного уравнения регрессии. [1, с. 253-255]. Контрольные вопросы для самопроверки: 1. Что такое функциональная, статистическаяи корреляционная зависимости двух случайных величин? 2. Что такое условная средняя? 3. Сформулируйте определение выборочного уравнения регрессии. 4. Как находятся параметры выборочного уравнения регрессии?
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ Выборочный метод Полигон и гистограмма 1.3.1. Дискретное распределение признака Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки ( Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки ( 1.3.2. Непрерывное распределение признака При непрерывном распределении признака интервал, в котором заключены все наблюденные значения признака, разбивают на ряд частичных интервалом длины Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины Пример 1.3. Построить полигон частот по данному распределению выборки:
Решение. Отложим на оси абсцисс варианты
Рис. 1.2. Полигон частот. Пример 1.4. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки объема
Решение. Построим на оси абсцисс заданные интервалы длины Искомая гистограмма частот изображена на рисунке.
Рис 1.3. Гистограмма частот.
Точечные оценки Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом. Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки. Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру. Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя
где Замечание 2.1. Если первоначальные варианты
Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия
Эта оценка является смещенной, так как
Более удобна формула
Замечание 2.2. Если первоначальные варианты
Замечание 2.3. Если первоначальные варианты являются десятичными дробями с
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия
Более удобна формула
В условных вариантах она имеет вид
причем, если Замечание 2.4. При большом числе данных используют метод произведений или метод сумм. Пример 2.1. В итоге пяти измерений длины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм ): 92; 94; 103; 105; 106. Найти: а) выборочную среднюю длину стержня; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора. Решение. а) Найдем выборочную среднюю:
б) Найдем выборочную дисперсию:
Найдем исправленную дисперсию:
2.2. Интервальные оценки Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр. Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью γ покрывает оцениваемый параметр. Для нормально распределенного количественного признака
где При неизвестном
где Для оценки среднего квадратического отклонения
где Пример 2.2. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0, 95 неизвестного математического ожидания Решение. Требуется найти доверительный интервал
Здесь все величины, кроме
Пример 2.3. Произведено 12 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой физической величины, причем исправленное среднее квадратическое отклонение Решение. Точность прибора характеризуется средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений. Поэтому задача сводится к отысканию доверительного интервала для среднего квадратического отклонения, покрывающего оцениваемый параметр с заданной надежностью
По данным
Таблица 3.1
3.1.2. Неравноотстоящие варианты Если первоначальные варранты не являются равноотстоящими, то интервал, в котором заключены все варианты выборки, делят на несколько равных, длины При вычислении выборочной дисперсии для уменьшения ошибки, вызванной группировкой (особенно при малом числе интервалов), делают поправку Шепарда, а именно вычитают из вычисленной дисперсии одну двенадцатую квадрата длины частичного интервала. Таким образом, с учетом поправки Шепарда дисперсия вычисляется по формуле Таблица 3.2
Контроль:
Совпадение контрольных сумм свидетельствует о правильности вычислений. Найдем условные моменты третьего и четвертого порядков (условные моменты первого и второго порядков вычислены в примере 3.1:
Найдем центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков:
Подставляя Найдем искомые асимметрию и эксцесс, учитывая, что
Таблица 4.3.
Если найденному значению По данным таблицы 4.1 (см. столбцы 8, 9 и 10) имеем
По таблице вероятностей Критерий В.И. Романовского Видный советский математик В.И. Романовский предложил более удобную форму использования критерия По найденным значениям
Так как
4.4. Критерий Б.С. Ястремского Критерий крупнейшего советского статистика Б.С. Ястремского выражается отношением
где При
Критерий Ястремского имеет тот же смысл, что и критерий Романовского. По данному
) Так как Регрессионный анализ Линейная корреляция Если обе линии регрессии Выборочное уравнение прямой линии регрессии
где
Выборочное уравнение прямой регрессии Х на Y имеет вид
Если данные наблюдений над признаками
где В этом случае выборочный коэффициент корреляции
прилагаем слагаемое Величины
Зная эти величины, можно определить входящие в уравнения регрессии (5.1) и (5.2) величины по формулам:
Для оценки линейной корреляционной связи служит выборочный коэффициент корреляции Пример 5.1. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Таблица 5.1
Решение. Составим корреляционную таблицу 5.2 в условных вариантах, выбрав в качестве ложных нулей Найдем
Найдем вспомогательные величины
Найдем
Таблица 5.2
Найдем Суммируя числа последнего столбца таблицы 5.3, находим
Для контроля вычислений находим сумму чисел последней строки:
Таблица 5.3 Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-06-04; Просмотров: 796; Нарушение авторского права страницы
), ( 
), …, ( 
), где 
- варианты выборки, а 
- соответствующие им частоты.
), ( 
), …, ( 
), где 
- соответствующие им относительные частоты.
и находят 
интервал. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины 
(плотность частоты). Площадь частичного 
прямоугольника равна 
- сумме частот вариант, попавших в 
.
(плотность относительной частоты). Площадь частичного 
- относительной частоте вариант, попавших в 
) отрезками прямых, получим искомый полигон частот ( см. рисунок).
: 
. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс, и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям частоты 
; аналогично строят остальные отрезки.
- объем выборки.
, т.е. перейти к условным вариантам 
(в качестве С выгодно принять число, близкое к выборочной средней; поскольку выборочная средняя неизвестна, число С выбирают «на глаз»). Тогда
.
(дисперсия при этом не изменится). Тогда
десятичными знаками после запятой, то чтобы избежать действий с дробями, умножают первоначальные варианты на постоянное число 
, т.е. переходят к условным вариантам 
. При этом дисперсия увеличится в 
раз. Поэтому, найдя дисперсию в условных вариантах, надо разделить ее на 
: 
.
то 
если 
то 
оценка математического ожидания 
генеральной совокупности по выборочной средней 
осуществляется с использованием доверительного интервала
- точность оценки; 
есть такое значение аргумента функции Лапласа, что 
.
)
- исправленное среднее квадратическое отклонение, 
- находят по таблице «Таблица значений 
» по заданным 
находят по таблице «Таблица значений 
» по заданным 
и 
.
выборочная средняя 
и объем выборки 
(2.1)
, известны. Найдем 
получим 
. По таблице «Таблица значений функции 
» находим 
. Подставим 
в формулу (2.1), окончательно получим искомый доверительный интервал
.
: 
(2.2)
по таблице «Таблица значений 
Подставив 
в неравенство (2.2), окончательно получим 
): 
, 
получим 
(см. пример 3.1): 
(4.10)
, следовательно, распределение данных о продолжительности периода полировки весьма близко к нормальному распределению.
, введя в рассмотрение величину 
где 
и 
определим величину
(4.11)
, то расхождение между эмпирическим и теоретическим распределениями данных о продолжительности периода полировки является несущественным.
(4.12)
- число групп, 
- параметр, зависящий от числа групп.
величина 
(4.13)
(4.14
, то гипотеза о нормальном распределении данных о продолжительности периода полировке противоречит результатам наблюдения.
на 
(5.1)
- условная средняя; 
- выборочные средние признаков 
- выборочные средние квадратические отклонения; 
- выборочный коэффициент корреляции, причем
(5.2)
- «ложный ноль» варианты 
- шаг, т.е. разность между двумя соседними вариантами 
- ложный нуль варианты Y; 
- шаг варианты 
удобно вычислять, используя расчетную таблицу 5.3.
могут быть найдены либо методом произведений (при большом числе данных), либо непосредственно по формулам
к единице, тем связь сильнее; чем ближе 
(каждая из этих вариант расположена в середине соответствующего вариационного ряда).
и 
: 
: 
, для чего составим расчетную таблицу 5.3.
