Анализ линейной системы автоматического регулирования

Введение

Темой работы является анализ и синтез замкнутой линейной системы автоматического регулирования САР. Выполнение курсовой работы способствует более глубокому пониманию курса и получению практических навыков расчета и проектирования систем автоматического регулирования.

При выполнении курсового проекта решаются вопросы, охватывающие почти все разделы теории стационарных непрерывных линейных систем автоматического регулирования.

Большое внимание уделено преобразованию структурных схем и составлению передаточных функций системы, различным способам исследования устойчивости, построению переходного процесса, оценке качества систем в установившемся и переходном режимах, а также синтезу корректирующего устройства, обеспечивающего заданные показатели качества регулирования.

Решение отдельных задач курсового проекта требует применения справочного материала (номограмм, диаграмм, таблиц и пр.), основная часть которого приводится в методических указаниях.

Приведенные методы расчета позволяют решать задачи с использованием электронной вычислительной техники на основе стандартных программ современных ЭВМ.

Исследование системы на устойчивость по критерию Гурвица

Получим характеристическое уравнение замкнутой АСР, путем выделения знаменателя ее передаточной функции и приравнивая его к нулю.

Передаточная функция замкнутой системы

. (1.17)

Тогда характеристическое уравнение будет иметь вид

. (1.18)

Найдем главный и определитель Гурвица и определители низших порядков

Подставив численные значения, получим

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его диагональные миноры при а₀> 0 были положительны, т.е. Δ ₁> 0, Δ ₂> 0, Δ ₃> 0, …, Δ _n> 0.

Условие Гурвица не выполняется для данной системы Δ ₂< 0, Δ ₃< 0, следовательно, делаем вывод, что система не устойчива.

Найдем критический коэффициент усиления для данной системы из условия

, (1.19)

подставляя численные значения, получим

Итак

Исследование системы на устойчивость по критерию Михайлова

Для оценки устойчивости по критерию Михайлова необходимо построить кривую, которую описывает конец вектора на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до , называемую годографом Михайлова.

Вектор получают из характеристического полинома замкнутой системы при подстановке

(1.20)

Данное выражение представим в виде

, (1.21)

где и , – вещественная и мнимая части соответственно

. (1.22)

Подставляя численные значения, получим

. (1.23)

Задавая значения от 0 до , вычисляем и . Расчет оформляем в виде таблицы 1.

Таблица 1 – Координаты годографа Михайлова


9451.0	9443.48	9420.9	9383.3	9330.6	9263.0	9180.2	9080.5
0.000	1.16	-19.76	-84.84	-216.16	--435.8	-765.84	-1228.36

По данным таблицы 1 строим годограф Михайлова (рисунок 6).

Рисунок 6 ‑ Годограф Михайлова

Для устойчивости системы необходимо, чтобы годограф Михайлова обошел в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно квадрантов (где порядок характеристического уравнения), нигде не обращаясь в нуль. Если это условие не выполняется, система не устойчива. Для данной системы условие устойчивости Михайлова не выполняется. Система не устойчива.

Синтез линейной системы автоматического регулирования по логарифмическим частотным характеристикам

Построение ЛАЧХ исходной системы

Асимптотическую ЛАЧХ построим по передаточной функции исходной системы согласно методике, рассмотренной в п. 1.4 (рисунок 8).

Построение желаемой ЛАЧХ

Желаемую ЛАЧХ построим на основании требований, предъявляемых к свойствам системы по методу В.В. Солодовникова.

Желаемую ЛАЧХ условно разделяют на три части: низкочастотную, среднечастотную и высокочастотную.

Низкочастотная часть определяет статическую точность системы ‑ точность в установившемся режиме. Требования к системе в установившемся режиме не оговариваются, поэтому низкочастотная асимптота желаемой ЛАЧХ должна совпадать с низкочастотной асимптотой исходной системы .

Высокочастотная часть желаемой ЛАЧХ незначительно влияет на динамические свойства системы. Она должна иметь такой же наклон, что и высокочастотная часть , поэтому либо совпадает, либо параллельна ей.

Среднечастотная асимптота определяет устойчивость, запас устойчивости, быстродействие системы. Ее параметрами являются частота среза , наклон, выражаемый в децибелах на декаду и диапазон частот.

Частоту среза , запасы устойчивости по модулю и по фазе выбирают по заданным значениям максимального перерегулирования и времени регулирования . в соответствии с номограммами предложенными Солодовниковым В.В. 5.24, 5.25, с.272 [3].

Выбираем , , .

Выбираем частоту среза согласно формуле

. (2.1)

Подставляя численные значения, получим

Отмечают ее на оси частот на том же рисунке, где изображена ЛАЧХ исходной системы (рисунок 9). Через точку проведем прямую линию с наклоном .

На оси ординат отметим точки с координатами , через которые проведем пунктиром горизонтальные прямые до пересечения их с линией .

Частоты, которым соответствуют точки пересечения прямых определяют нижнюю и верхнюю границы среднечастотного диапазона (на рисунке 9 это и ).

Отметим, что ,

Среднечастотную асимптоту желаемой ЛАЧХ сопрягаем с низкочастотной и высокочастотной асимптотами.

Сопряжение осуществляем асимптотами с наклоном –40 дБ/дек. Так как исходная система является статической.

Заключение

В данной курсовой работе проведен анализ и синтез линейной системы автоматического регулирования.

В результате анализа преобразована структурная схема и определена передаточная функцию системы в разомкнутом состоянии, передаточная функция замкнутой системы по заданному каналу, передаточная функция замкнутой системы по ошибке.

Система исследована на устойчивость по критериям Гурвица, Михайлова, Найквиста. В результате исследований установлено, что система не устойчива, определен критический коэффициент усиления.

Выполнить анализ устойчивости исходной системы по логарифмическим частотным характеристикам, оценен запас устойчивости по модулю и фазе.

Выполнен синтез системы автоматического регулирования на основе заданных показателей качества.

Составлены передаточные функции скорректированной системы и корректирующего устройства.

Построен переходный процесс в линейной скорректированной системе при единичном задающем воздействии.

Определены основные показатели качества скорректированной системы автоматического регулирования.

Выбрана схема и рассчитаны параметры корректирующего устройства.

Введение

Анализ линейной системы автоматического регулирования

1.1 Преобразование структурной схемы и определение передаточных функций системы

Приведем заданную структурную схему к одноконтурной с помощью последовательных преобразований (рисунок 2).

Рисунок 2 – Преобразование исходной структурной схемы

На рисунке 2 приняты следующие обозначения:

‑ передаточные функции элементов прямой цепи;

‑ передаточная функция возмущающего воздействия;

‑ входной и выходной сигналы соответственно.

Передаточные функции элементов прямой цепи

, , (1.1)

Передаточная функция возмущающего воздействия

. (1.2)

Передаточная функция прямой цепи

, (1.3)

где ‑ общий коэффициент усиления прямой цепи;

‑ коэффициенты собственного оператора.

Подставив численные значения, получим

. (1.4)

Передаточная функция разомкнутой системы

, (1.5)

где ‑ общий коэффициент усиления прямой цепи;

‑ коэффициенты собственного оператора.

Подставив численные значения, получим

(1.6)

Передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию для выходной величины

, (1.7)

где ‑ общий коэффициент усиления замкнутой системы;

‑ коэффициенты собственного оператора.

Подставив численные значения, получим

. (1.8)

При получении передаточной функции по возмущающему воздействию полагаем, что задающее воздействие . Для получения передаточной функции по возмущающему воздействию для выходной величины преобразуем структурную схему к виду, показанному на рисунке 3

Рисунок 3 – Структурная схема по возмущающему воздействию для выходной величины

Далее, используя правило переноса сумматора через звено, получим эквивалентную структурную схему (рисунок 4).

Рисунок 4 – Эквивалентная схема по возмущающему воздействию для выходной величины

На рисунке 4 принято следующее условное обозначение:

‑ передаточная функция дополнительного звена.

Тогда передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию для выходного сигнала запишется в виде

. (1.9)

Раскрыв, данное соотношение, получим

, (1.10)

где ‑ общий коэффициент усиления по возмущающему воздействию;

‑ коэффициенты

собственного оператора;

‑ коэффициенты оператора возмущающего воздейст-

вия.

Подставив численные значения, получим

. (1.11)

Передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию для ошибки

, (1.12)

где ‑ передаточная функция разомкнутой системы.

Преобразуя данное отношение, получим

, (1.13)

где ‑ коэффициенты собственного оператора;

‑ коэффициенты оператора по ошибке воздействия.

Подставив численные значения, получим

. (1.14)

При получении передаточной функции по возмущающему воздействию полагаем, что задающее воздействие . Для получения передаточной функции по возмущающему воздействию для ошибки преобразуем структурную схему к виду, показанному на рисунке 5.

Рисунок 5 – Эквивалентная структурная схема по возмущающему воздействию для ошибки

Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию для ошибки

Раскрыв, данное соотношение, получим

, (1.15)

где ‑ общий коэффициент усиления по возмущающему воздействию;

‑ коэффициенты

собственного оператора;

‑ коэффициенты оператора возмущающего воздейст-

вия.

Подставив численные значения, получим

. (1.16)

12 3 4 Следующая ⇒