Необходимые условия экстремума

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8

Если точка M₀(x₀; y₀) является точкой локального экстремума функции f(x; y), то ее частные производные в этой точке равны нулю

или хотя бы одна из этих производных не существует.

Точки, для которых эти условия выполнены, называются стационарными, или точками возможного экстремума.

Достаточные условия экстремума

Пусть в стационарной точке (x₀; y₀) и некоторой ее окрестности функция z = f(x; y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (x₀; y₀) значения

Обозначим:

Тогда:

1) если D > 0, то функция z = f(x; y) в точке (x₀; y₀) имеет экстремум:

· локальный максимум, если А < 0(или С < 0);

· локальный минимум , если А > 0(или С > 0);

2) если D < 0, то функция z = f(x; y) в точке (x₀; y₀) экстремума не имеет ;

3) если D = 0, то экстремум в точке (x₀; y₀) может быть, может и не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Исследование функции двух переменных на локальный экстремум рекомендуется проводить по следующей схеме:

1. Найти частные производные функции и

2. Решить систему уравнений и найти стационарные точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой стационарной точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Условный экстремум

Рассмотрим задачу, специфическую для функций нескольких переменных, когда ее экстремум ищется не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию.

Пусть рассматривается функция z = f(x; y), аргументы х и у которой удовлетворяют условию j(x; y) = 0.

Экстремум функции z = f(x; y), найденный при условии j(x; y) = 0, называется условным. Уравнение j(x; y) = 0 называется уравнением связи.

Если из уравнения связи j(x; y) = 0 найти y = y(x) и подставить в функцию z = f(x; y), то задача отыскания условного экстремума сводится к нахождению экстремума функции одной переменной z = f(x; y(x)).

Наибольшее и наименьшее значения функции
в замкнутой области (глобальный экстремум)

Множество называется замкнутым, если оно включает все свои граничные точки, т. е. точки, окрестности которых содержат точки как принадлежащие множеству, так и не принадлежащие ему.

Пусть функция z = f(x; y) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области Тогда она достигает в некоторых точках своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области или в точках, лежащих на границе области.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в необходимо:

1. Найти стационарные точки функции, принадлежащие и вычислить значения функции в них.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x; y) на границах области.

Добавим, что, как правило, граница состоит из совокупности отдельных участков, на каждом из которых задача сводится к исследованию на экстремум функции одной переменной , где i – номер участка, а t – независимая переменная на этом участке, которая может совпасть с x или y либо быть отдельным параметром.

3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Эмпирические формулы

При анализе экономических процессов часто приходится решать задачу приближенного представления (аппроксимации) заданных функций другими, более простыми.

Пусть зависимость между двумя переменными x и y выражается в виде таблицы 1, полученной опытным путем. Это могут быть результаты опыта или наблюдений, статистических данных за ряд лет и т. п.

Таблица 1

x	x₁	x₂	…	x_i	…	x_n
y	y₁	y₂	…	y_i	…	y_n

Требуется наилучшим образом сгладить экспериментальную зависимость между переменными x и y, т. е. по возможности точно отразить общую тенденцию зависимости y от x, исключив при этом случайные отклонения, связанные с неизбежными погрешностями измерений или статистических наблюдений. Такую сглаженную зависи-
мость стремятся представить в виде формулы y = f(x).

Формула y = f(x), полученная на основании экспериментальных данных, называется эмпирической.

Выбор эмпирической функции зависит от теоретических исследований и характера расположения на плоскости Oxy экспериментальных точек

Обычно для экономических исследований достаточно одной из шести следующих формул:

1) – линейная;

2) – параболическая;

3) – гиперболическая;

4) – показательная;

5) – экспоненциальная.

Выбранная для приближения формула называется теоретической.

После выбора вида формулы требуется найти значения определяющих ее параметров таким образом, чтобы отклонения значений функции от экспериментальных значений были минимальными (a, b, c).

Суть метода наименьших квадратов изложим на примере линейной зависимости где параметры подлежат определению из системы нормальных уравнений

(5)

В случае квадратичной зависимости параметры определяют из нормальной системы

(6)

2.8. Первообразная и неопределенный интеграл

Множество вопросов математического анализа и приложений в разнообразных науках приводят к задаче отыскания для данной функции f(x) такой функции F(x), производная которой равна f(x).

Определение. Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной по отношению к функции f(x) на некотором интервале
(а; b), если при F¢ (x) = f(x).

Определение. Общее выражение F(x) + C множества всех первообразных функций для данной функции f(x) называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается т. е. где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, – знак неопределенного интеграла, х – переменная интегрирования.

Операция нахождения первообразной по ее производной или неопределенного интеграла по заданной подынтегральной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование является операцией, обратной дифференцированию.

Основные свойства неопределенного интеграла следующие:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т. е.

2. Постоянный множитель можно вынести за знак неопределенного интеграла, т. е.

3. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен соответствующей алгебраической сумме от функций-слагаемых, т. е.

Таблица неопределенных интегралов включает следующие формулы:

1) (

2) |x| + C;

10)

Приведенные выше интегралы принято называть табличными.

Как известно, операция дифференцирования не выводит функцию из класса элементарных. С операцией интегрирования обстоит иначе: первообразные от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями. Укажем некоторые из них:

· – интеграл Пуассона (интеграл ошибок);

· – интеграл Френеля;

· – интегральный логарифм;

· – интегральный синус;

· – интегральный косинус.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78