Непрерывные функции одной переменной

 

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x₀, если она определена в некоторой окрестности точки x₀ и f(x) = f(x₀).

Это определение содержит следующие четыре условия непрерывности:

1) y = f(x) должна быть определена в некоторой окрестности точки x₀;

2) должны существовать конечные пределы f(x₀ + 0) = f(x) и f(x₀ – 0) = f(x) (пределы справа и слева − односторонние пределы);

3) односторонние пределы должны быть одинаковыми;

4) эти пределы должны быть равны f(x₀).

Если не выполняется хотя бы одно из условий 1–4, то функция имеет разрыв в точке x₀.

Функция непрерывна в точке x₀ справа, если выполняется условие

=

В противном случае функция имеет разрыв в точке справа.

Функция непрерывна в точке слева, если имеет место равенство

=

В противном случае функция имеет разрыв в точке слева.

Из условий 2–4 следует, что если функция непрерывна в точке x₀, то она непрерывна в этой же точке справа и слева.

 

Критерий непрерывности функции

 

Функция y = f(x) непрерывна в точке x₀ тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции

=

 

Точки разрыва функции и их классификация

 

Если условия непрерывности функции в точке x₀ не выполнены,
т. е. в точке x₀ существует конечный предел, не равный значению функции в этой точке, либо равный бесконечности, либо вообще не существует, то говорят, что функция имеет разрыв в этой точке.

Различают точки разрыва первого рода и точки разрыва второго рода. Если функция в точке x₀ имеет конечные пределы слева и справа, из которых хотя бы один не равен f(x₀), то точка x₀ называется точкой разрыва первого рода функции f(x), а величина – скачком функции в точке x₀. Если при этом то точка x₀ называется устранимой точкой разрыва функции f(x), так как, заменяя ее значение x₀ в точке x₀ общим значением получим непрерывную функцию.

Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует, то x₀ называется точкой разрыва второго рода функции f(x).

 

Производная и дифференциал функции одной переменной

 

Определение и геометрический смысл производной

 

Пусть функция y = f(x)определена и непрерывна в некоторой окрестности точки x. Тогда приращению Dx независимой переменной соответствует приращение функции

Производной функции y = f(x)в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю. Обозначение производной: или или

=

Операция нахождения производной называется дифференцированием. Функция y = f(x), которая имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на этом промежутке.

 

Теорема. Если функция y = f(x) в точке x имеет производную f ¢ (x), то она непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывна в точке, но не иметь в ней производной. Например, функция в точке x = 1 непрерывна, но не имеет в ней производной.

 

Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции y = f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Правила дифференцирования и таблица производных

 

Пусть и − две дифференцируемые в некотором интервале функции.

 

Теорема 1. Производная алгебраической суммы двух дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций

 

Теорема 2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений каждой функции на производную другой

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной

 

Теорема 3. Производную частного двух дифференцируемых функций можно найти по формуле

где

 

Все основные элементарные функции являются дифференцируемыми и имеют производные:

 

1) – постоянная;	9)
2)	10)
3) , − постоянная;	11)
4)	12)
5)	13)
6)	14)
7)	15)
8)

 

 

Производная сложной функции

 

Есть функция y = f(u), где и = j(x).

Функция, заданная формулой y = f(j(x)), называется сложной функцией.

 

Теорема. Производную сложной функции y = f(j(x)) можно найти по формуле

 

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. E) Физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи и определяющая ее инерционные и гравитационные свойства.
2. Hекоторые стандартные функции
3. I. Интегральное исчисление функции одной переменной
4. I. Спинной мозг: строение и функции
5. II. Ценности и функции культуры. Человек как творец и продукт культуры.
6. III. 41. Стратегия и функции управления.
7. IV. РАБОТА МЕЖДУНАРОДНОЙ КОНФЕРЕНЦИИ
8. V1: Культурология как наука. Понятие, сущность, формы и функции культуры.
9. Авторские жанровые наименования в составе заголовочного комплекса, их функции
10. Аттестация государственных служащих: понятие, цели, задачи, функции, принципы.
11. Бесконечно большие функции и их связь с
12. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.