Производная обратной функции

Пусть y = f(x) – непрерывная и возрастающая на [a; b]. Значит, на этом промежутке она имеет обратную функцию

Теорема. Если функция y = f(x) определена, непрерывна и монотонна на [a; b] и в точке [a; b] имеет производную то обратная функция x = j(y) имеет производную в точке y₀ = f(x₀) которую можно найти по формуле т. е. производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Логарифмическое дифференцирование

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать, а затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

Дифференцирование неявных функций

Если функция задана уравнением y = f(x), разрешенным относительно y, то функция задана в явном виде.

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x; y) = 0, неразрешенного относительно y. Например,
y + 2x + cos y – 1 = 0 или

Для нахождения производной неявной функции необходимо продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом y как функцию x, и затем полученное уравнение разрешить относительно

Производная высших порядков

Производная функции y = f(x) есть также функция x и называется производной первого порядка.

Если функция дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается или

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается или

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n –1) порядка:

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Применение производной в экономике

В экономике широко применяется понятие эластичности функции. Эластичностью функции y = f(x) относительно переменной x называется величина

Эластичность функции характеризует процент прироста зависимой переменной, соответствующий приращению независимой переменной на 1%.

Дифференциал функции

Дифференциалом функции y = f(x) в точке называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy или или
dy = f ¢ (x)dx, так как dx = Dx. Из второй формулы следует, что

При достаточно малых справедлива приближенная формула

или

Данная формула часто используется в приближенных вычислениях.

Основные теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Ферма

Теорема. Пусть функция y = f(x) определена в интервале (а; b) и в некоторой точке c Î (а; b) принимает наибольшее (наименьшее) значение. Тогда, если в точке существует производная, то она равна нулю:

Геометрический смысл теоремы: так как то касательная к графику функции в точке М, абсцисса которой равна с, параллельна оси Ox (рисунок 29).

f(c)

Замечания:

1. По условию теоремы функция определена в интервале (a; b). В этом промежутке все точки внутренние. Таким образом, точка взята внутри промежутка Х.

2. Если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение на конце промежутка, например, в точке а промежутка X = [a; b], и в этой точке существует конечная односторонняя производная, то она может не равняться нулю.

Теорема Ролля

Теорема. Пусть функция y = f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке [a; b];

2) дифференцируема на интервале (a; b);

3) на концах интервала принимает равные значения, т. е. f(a) = f(b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка c Î (а; b), в которой производная равна нулю:

Геометрический смысл теоремы: у графика непрерывной на отрезке и дифференцируемой внутри него функции, принимающей на его концах одинаковые значения, существует точка, в которой касательная к графику функции параллельна оси Ox (рисунок 30).

f(c)

f(a) = f(b)

Рисунок 30

Теорема Лагранжа

Теорема.Пусть функция y = f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке [a; b];

2) дифференцируема на интервале (a; b).

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка
c Î [a; b], в которой выполняется равенство

. (1)

Геометрический смысл теоремы: на кривой y = f(x) всегда найдется хотя бы одна точка М с абсциссой, равной с, такая, что касательная, проведенная к кривой в этой точке, будет параллельна хорде, стягивающей дугу АВ (рисунок 31).

f(c)

Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля.

Формулу (1) называют формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений.

Теорема Коши

Теорема. Пусть функции y = f(x) и удовлетворяют следующим условиям:

1) непрерывны на отрезке [a; b];

2) дифференцируемы на интервале (a; b);

3) j¢ (x) ¹ 0 во всех точках интервала (a; b).

Тогда существует по крайней мере одна точка с Î (а; b), в которой выполняется равенство

(2)

Формулу (2) называют формулой конечных приращений Коши.

Замечание. Из условия теоремы следует, что

Правило Лопиталя

Применяется для раскрытия неопределенностей вида и

Теорема. Пусть имеем частное двух функций , где функции f(x) и j(x) определены в промежутке X = (a; b), имеют конечные производные и в этом промежутке, причем Тогда, если обе функции бесконечно малые или бесконечно большие при х ® а + 0, т. е. если частное при х ® а + 0 представляет собой неопределенность и то при условии, что предел отношения производных существует (конечный или бесконечный).

Правило Лопиталя справедливо и для случая, когда

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 678 Следующая ⇒