![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Производная обратной функции
Пусть y = f(x) – непрерывная и возрастающая на [a; b]. Значит, на этом промежутке она имеет обратную функцию Теорема. Если функция y = f(x) определена, непрерывна и монотонна на [a; b] и в точке
Логарифмическое дифференцирование
В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать, а затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.
Дифференцирование неявных функций
Если функция задана уравнением y = f(x), разрешенным относительно y, то функция задана в явном виде. Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x; y) = 0, неразрешенного относительно y. Например, Для нахождения производной неявной функции необходимо продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом y как функцию x, и затем полученное уравнение разрешить относительно
Производная высших порядков
Производная Если функция Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n –1) порядка: Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.
Применение производной в экономике
В экономике широко применяется понятие эластичности функции. Эластичностью функции y = f(x) относительно переменной x называется величина Эластичность функции характеризует процент прироста зависимой переменной, соответствующий приращению независимой переменной на 1%.
Дифференциал функции
Дифференциалом функции y = f(x) в точке При достаточно малых
Данная формула часто используется в приближенных вычислениях.
Основные теоремы о дифференцируемых функциях
Теорема Ферма
Теорема. Пусть функция y = f(x) определена в интервале (а; b) и в некоторой точке c Î (а; b) принимает наибольшее (наименьшее) значение. Тогда, если в точке Геометрический смысл теоремы: так как
![]() 1. По условию теоремы функция определена в интервале (a; b). В этом промежутке все точки внутренние. Таким образом, точка 2. Если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение на конце промежутка, например, в точке а промежутка X = [a; b], и в этой точке существует конечная односторонняя производная, то она может не равняться нулю.
Теорема Ролля
Теорема. Пусть функция y = f(x) удовлетворяет следующим условиям: 1) непрерывна на отрезке [a; b]; 2) дифференцируема на интервале (a; b); 3) на концах интервала принимает равные значения, т. е. f(a) = f(b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка c Î (а; b), в которой производная равна нулю: Геометрический смысл теоремы: у графика непрерывной на отрезке и дифференцируемой внутри него функции, принимающей на его концах одинаковые значения, существует точка, в которой касательная к графику функции параллельна оси Ox (рисунок 30).
![]() Рисунок 30
Теорема Лагранжа
Теорема.Пусть функция y = f(x) удовлетворяет следующим условиям: 1) непрерывна на отрезке [a; b]; 2) дифференцируема на интервале (a; b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка
Геометрический смысл теоремы: на кривой y = f(x) всегда найдется хотя бы одна точка М с абсциссой, равной с, такая, что касательная, проведенная к кривой в этой точке, будет параллельна хорде, стягивающей дугу АВ (рисунок 31).
![]() ![]() ![]() ![]()
Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля. Формулу (1) называют формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений. Теорема Коши
Теорема. Пусть функции y = f(x) и 1) непрерывны на отрезке [a; b]; 2) дифференцируемы на интервале (a; b); 3) j¢ (x) ¹ 0 во всех точках интервала (a; b). Тогда существует по крайней мере одна точка с Î (а; b), в которой выполняется равенство
Формулу (2) называют формулой конечных приращений Коши. Замечание. Из условия теоремы следует, что
Правило Лопиталя
Применяется для раскрытия неопределенностей вида Теорема. Пусть имеем частное двух функций Правило Лопиталя справедливо и для случая, когда
Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-24; Просмотров: 745; Нарушение авторского права страницы