Основные виды уравнения прямой

Всякое уравнение первой степени относительно декартовых координат изображает прямую линию и, обратно, всякая прямая линия изображается в декартовых координатах уравнением первой степени.

Уравнение прямой по угловому коэффициенту k = tg j, где угол, образованный прямой с положительным направлением оси абсцисс, и величине отрезка b, отсекаемого данной прямой на оси ординат, считая от начала координат, имеет вид y = kx + b.

Если φ = , то tg φ = tg не существует. Поэтому уравнение примет вид x = a.

 

 

Кривые второго порядка

 

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a, и большая чем расстояние между фокусами, равное 2c (рисунок 6).

Рисунок 6

 

Простейшее каноническое уравнение эллипса получается в системе координат, в которой за ось абсцисс выбрана прямая, соединяющая фокусы, начало координат 0 − середина отрезка, концами которого служат фокусы, ось ординат – прямая, проходящая перпендикулярно оси ОX через точку 0. Тогда уравнение эллипса примет следую-
щий вид:

где

 

При таком выборе системы координат оси координат совпадают с осями симметрии эллипса, а начало координат − с центром симметрии. Точки А₁(a; 0), А₂(–a; 0), В₁(0; b), В₂(0; –b) называются вершинами эллипса. Отрезки, заключенные между вершинами, называются осями эллипса: большая (фокальная) ось А₁А₂ = 2a, малая ось В₁В₂ = 2b. Параметры a и b уравнения равны полуосям эллипса. Эксцентриситетом (e) эллипса называется отношение расстояния (2c) между фокусами к большей оси (2a), т. е. ; очевидно, что e< 1. Директрисами эллипса называются две прямые, параллельные малой оси и отстоящие от нее на расстоянии, равном . Уравнения директрис сле-
дующие:

Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a, и меньшая чем расстояние между фокусами, равное 2c (рисунок 7).

 

y

a

b

F2 –a

x

–b

F1

 

Простейшее каноническое уравнение гиперболы имеет вид

(1)

где b² = c² – a².

 

Прямая, соединяющая фокусы F₁, F₂ гиперболы, служит осью абсцисс, начало координат находится в середине между фокусами; при этом оси координат совпадают с осями симметрии гиперболы, начало координат – с ее центром симметрии (оси и центр гиперболы).

Гипербола имеет две действительные вершины А₁(a; 0), А₂(–a; 0) на фокальной оси; отрезок А₁А₂ = 2a называется действительной осью гиперболы, отрезок В₁В₂ = 2b – мнимой осью гиперболы. Таким образом, параметры a и b в уравнении гиперболы равны длинам действительной и мнимой полуосей соответственно.

Если a = b, то гипербола называется равносторонней.

Если мнимая ось гиперболы имеет длину 2a и направление по оси x, а действительная ось, длиной 2b, совпадает с осью y, то уравнение такой гиперболы имеет следующий вид:

(2)

где

 

Гиперболы (1) и (2) называются сопряженными гиперболами.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к действительной оси: e = и при этом e > 1. Директрисами гиперболы называются прямые, перпендикулярные к фокальной оси и отстоящие на расстоянии, равном Уравнения директрис следующие: Асимптоты гиперболы определяются равенствами

Если точка, двигаясь по гиперболе, неограниченно удаляется, то расстояние ее от одной из асимптот стремится к нулю. Асимптоты являются диагоналями прямоугольника со сторонами 2a, 2b (рисунок 7).

 

Парабола

 

Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом параболы, и данной прямой, называемой директрисой параболы (рисунок 8).

Рисунок 8

 

Если за ось абсцисс принять перпендикулярную прямую, проведенную из фокуса к директрисе, а начало координат поместить посередине между фокусом и директрисой, то уравнение параболы примет вид

у² = 2рх,

где р – параметр параболы, расстояние от фокуса параболы до ее директрисы.

 

Парабола имеет одну ось симметрии, которая совпадает при таком выборе системы координат с осью X. Единственная вершина параболы совпадает с началом координат и является единственной точкой пересечения параболы с осями.

 

Векторная алгебра

 

При изучении различных разделов экономики, механики, физики, других учебных дисциплин приходится иметь дело с величинами, для характеризации которых в выбранной системе единиц достаточно указать их численные значения. Эти величины называются скалярными. К числу скалярных величин можно отнести длину, площадь, объем, массу, температуру и т. п. Встречаются, тем не менее, такие величины, для определения которых необходимо знать их направления в пространстве. Указанные величины будем называть векторными. Примерами векторных величин являются сила, скорость, ускорение.

Геометрические векторные величины изображаются с помощью направленных отрезков.

Связанным вектором (или направленным отрезком) называется любой отрезок прямой, если только указано, какая из двух ограничивающих его точек является начальной, какая – конечной. Если точка А – начало отрезка, а точка В – его конец, то связанный вектор будем обозначать Его направление будем указывать стрелкой, идущей от начала А к концу В.

Длиной (или модулем) связанного вектора называется длина отрезка АВ. Связанный вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым. Нулевой вектор обозначается 0, его длина равна 0: он направления не имеет.

Связанные векторы и называются сонаправленными, если являются сонаправленными лучи и противоположно направленными – если противоположно направлены эти лучи.

Два ненулевых связанных вектора и назовем равными (это обозначается = ), если они сонаправлены и имеют одинаковую длину.

Свободным вектором а (или просто вектором) назовем множество равных между собой связанных векторов. При дальнейшем из контекста будет ясно, какой вектор имеется в виду (связанный или свободный). Для задания вектора достаточно указать какой-либо один вектор из всего множества {AB, CD, MN, ¼ } равных связанных векторов, например, (рисунок 9).

 

Рисунок 9

 

Рассмотренные понятия (длина, направление и т. п.), которые введены для связанных векторов, имеют аналоги также и для свободных. Часто векторы обозначают одной жирной строчной буквой: = а (рисунок 10).

 

9.Линейные операции над векторами

 

Определим для свободных векторов операции их сложения, вычитания, умножения вектора на действительное число.

Суммой двух векторов a и b по правилу треугольника называется такой третий вектор с, что начало его совпадает с началом вектора а, а конец – с концом вектора b.

Иногда вместо с = а + b пишут Суммой а ₁ + а ₂ +…
… + а _n конечного числа векторов называется такой вектор а, который замыкает ломаную линию, построенную из данных векторов а ₁, а ₂, …, а _n таким образом, что начало каждого последующего вектора совпадает с концом предыдущего. Указанный вектор а направлен из начала первого вектора суммы в конец последнего (правило многоугольника) (рисунок 10).

c = a + b

Рисунок 10

На рисунке 11 изображена сумма а = а ₁ + а ₂ + а ₃ + а ₄ + а ₅ векторов а ₁, а ₂, а ₃, а ₄, а ₅.

Произведением вектора а на число a называется вектор b = a а, длина которого равна направление которого совпадает с направлением а, если a > 0, и противоположно направлению а, если
a < 0. По определению a а × 0 = 0 для любого a и 0 × а = 0 для любого а. На рисунке 12 изображены векторы а, 3 а, –2 а.

 

Рисунок 11

Рисунок 12

 

Векторы а, b, с называются коллинеарными, еслиих соответ-
ствующие связанные векторы параллельны одной и той же прямой. На рисунке 12 изображены коллинеарные векторы а, –2 а, 3 а.

Векторы а, b, с называют компланарными, если их соответствующие связанные векторы параллельны одной и той же плоскости (рисунок 13).

Углом jмежду векторами а и b называется величина наименьшего угла между связанными векторами и (рисунок 14). Понятно, что 0 £ j £ 0. Если , то векторы а и b называются ортогональными (перпендикулярными, это обозначается а ^ b ).

Разностью а – b называется вектор с , равный сумме векторов а и
–1 b = – b, т. е. с = а – b = а +(– b ). Итак, по определению, чтобы вычесть из вектора а вектор b, необходимо к вектору а прибавить вектор – b, который называется противоположным вектору b. Из рисунка 15 следует, что если на векторах а и b, приведенных к общему началу, построить параллелограмм как на сторонах и провести диагонали, то диагональ параллелограмма, исходящая из общего начала векторов а и b, равна их сумме а + b, а другая диагональ – их разности а – b.

Рисунок 15

 

Данный способ нахождения суммы а + b векторов а и b называется правилом параллелограмма.

Вектор, длина которого равна единице, будем называть единичным вектором, или ортом. Через а ⁰ будем обозначать единичный вектор, имеющий направление вектора а.

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Different Kinds of Money. Различные виды денег
2. I. 49. Основные принципы разработки системы применения удобрений.
3. I. Основные подходы к определению и изучению культуры.
4. I. Основные физические явления и процессы в электрических аппаратах
5. I. Основные черты и особенности западноевропейской культуры XIX века
6. I. Основные черты и особенности западноевропейской культуры XIX века.
7. I. ХАРАКТЕРИСТИКА ТЕКУЩЕГО СОСТОЯНИЯ, ОСНОВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ СФЕРЫ КУЛЬТУРЫ И ИСКУССТВА
8. II. 36. Основные задачи семеноводства.
9. II. Дифференциальные уравнения
10. II. Основные электромеханические процессы
11. II. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ВКР
12. II. ЦЕЛИ, ЗАДАЧИ И ВИДЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ОРГАНИЗАЦИИ.