Предел функции одной переменной

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 8Следующая ⇒

Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств. Под множествами будут пониматься числовые множества, т. е. множества, состоящие из действительных чисел.

Определение. Если каждому элементу х из некоторого множества Х поставлен в соответствие по определенному правилу f некоторый единственный элемент у из множества У (рисунок 23), то говорят, что на множестве Х задана функция у = f(х), х Î Х.

Рисунок 23

Элемент х называется независимой переменной, или аргументом, а у – зависимой, или функцией.

Множество Х называется областью определения данной функции и обозначается D(f ), а У – множеством (областью) значений функции и обозначается Е(f).

Задать функцию f – значит указать, как по каждому значению аргумента х находить соответствующее ему значение функции f(х). Существуют три основных способа задания функций: аналитический, графический, табличный.

Аналитический способ заключается в том, что зависимость между переменными величинами определяется с помощью формулы, указывающей, какие действия нужно выполнить, чтобы получить значение функции, соответствующее данному значению аргумента.

При графическом способе задается график функции.

Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции у,
соответствующие тем или иным значениям аргумента х, непосредственно находятся из этого графика.

Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком – его неточность.

При табличном способе функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции (например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы).

Определение. Графиком функции у = f(х) в прямоугольной системе координат Оху называется множество всех точек, плоскости с координатами (х; у), х Î D( f ).

Основными элементарными функциями называют следующие:

1. Постоянная функция y = c, c – const.

2. Степенная функция y = x^a, a – любое действительное число.

3. Показательная функция y = a^x (0 < a ¹ 1).

4. Логарифмическая функция y = log_a x (0 < a ¹ 1).

5. Тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.

6. Обратные тригонометрические функции у = arcsin x, y = arcos x, y = arctg x, y = arcctg x.

Функцию, аналитическое выражение которой можно получить при помощи конечного числа арифметических операций над основными элементарными функциями, а также при помощи операции взятия функции от функции, назовем элементарной функцией.

Определение. Число называется пределом функции y = f(x) при x, стремящемся к a (или в точке a), если для любого наперед заданного положительного числа e[1] (хотя бы и сколь угодно малого) можно найти такое положительное число d[2] (вообще говоря, зависящее от e; d = d(e)), что для всех значений x, входящих в область определения функции, отличных от a и удовлетворяющих неравенству

(1)

имеет место неравенство

(2)

Определение. Число называется пределом функции y = f(x) при x, стремящемся к бесконечности, если для любого (сколь угодно малого) положительного числа e > 0 найдется такое положительное число S > 0 (зависящее от e), что для всех x, таких, что верно неравенство

(3)

Предел функции f(x) в бесконечности обозначается

f(x) = А или f(x) ® А при

С помощью логических символов определение имеет вид

Смысл определения состоит в том, что при достаточно больших по модулю значениях x значения функции f(x) как угодно мало отличаются от числа A (по абсолютной величине).

Свойства пределов следующие:

1) предел постоянной равен самой постоянной, т. е.

2) если и существуют;

3) если и существуют;

4) если и существуют и

5) постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е.

Теорема. Предел элементарной функции в точке а, принадлежащей ее области определения, равен значению данной функции в рассматриваемой точке, т. е.

Теорема.Если то предел сложной функции

Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Функция f(x) называется бесконечно малой при х ® а, если .

Функция f(x) называется бесконечно большой при х ® а, если

Аналогично формулируются определения при х ® ¥.

Заметим, что если функция a(х) является бесконечно малой (бесконечно большой) при х ® а (х ® ¥ ), то – бесконечно большая (бесконечно малая) при х ® а (х ® ¥ ).

Неопределенности. Если вычисление пределов приводит к неопределенным выражениям вида , необходимо провести дополнительные исследования, т. е. раскрывать неопределенности.

Раскрыть неопределенность – значит найти предел соответствующего выражения, если он существует.

Методика раскрытия неопределенностей изложена ниже.

· Первый замечательный предел. Если угол u выражен в радианах, то

Многие задачи нахождения пределов приводят к использованию первого замечательного предела.

Первый замечательный предел можно применять в ряде случаев для раскрытия неопределенностей вида

· Второй замечательный предел.

где – иррациональное число, называемое числом Л. Эйлера.

Оно играет большую роль в математике так же, как и число
p(е = 2, 718 281 828 459 045 235 3 ¼ ).

Логарифмы с основанием называются натуральными и обозначаются

С помощью второго замечательного предела раскрывают неопределенность вида .

1. Раскрытие неопределенности вида Неопределенное выражение вида получаем при нахождении если f(x) является дробью.

Способы раскрытия неопределенности зависят от вида f(x).

· Пусть f(x) – рациональная дробь.

В этом случае числитель и знаменатель дроби разлагают на множители.

2. Раскрытие неопределенности вида Пусть следует найти предел , где и – многочлены n-й и m-й степени соответственно.

В этом случае необходимо руководствоваться следующим:

Пусть

где a_i и b_i – некоторые постоянные.

Тогда

Таким образом, для раскрытия неопределенности целесообразно числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень x из числа слагаемых одночленов числителя и знаменателя, а затем перейти к пределу.

3. Раскрытие неопределенности вида Неопределенное выражение вида сводится к неопределенности вида или

Методику раскрытия этой неопределенности покажем на примере.

4. Раскрытие неопределенности вида Неопределенное вы-
ражение вида раскрывается путем преобразования соответствующих выражений и сведения их к неопределенности вида или

5. Раскрытие неопределенности вида Неопределенное выражение вида получаем при вычислении пределов

если а

В этом случае для раскрытия неопределенности применяют второй замечательный предел.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 Следующая ⇒