Числовая последовательность и ее предел

Действительные числа. Числовые множества

Свойства действительных чисел

Рассмотрим действительные числа. Сначала в процессе счета возникает так называемый натуральный ряд чисел 1, 2, 3, …, n, …. В арифметике вводятся действия сложения и умножения над натуральными числами. Что же касается операций вычитания и деления, то они уже оказываются не всегда возможными во множестве натуральных чисел. Чтобы все четыре арифметические операции были возможны для любой пары чисел (кроме операции деления на ноль, которой нельзя приписать разумного смысла), приходится расширить класс рассматриваемых чисел. К необходимости такого расширения запаса чисел приводят также потребности измерения тех или иных геометрических и физических величин. Поэтому вводятся число ноль и целые отрицательные числа (вида –1, –2, …, –n, …), а затем и рациональные (вида , где p и q − целые, ≠ 0). Та же потребность измерения величин и проведения таких операций, как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений, приводит к дальнейшему расширению запаса рассматриваемых чисел: появляются иррациональные и, наконец, комплексные числа. Все рациональные и все иррациональные числа образуют множество всех действительных чисел.

Множество действительных чиселобозначается через R (от лат. realus − действительный). Это множество образует совокупность, в которой определены взаимосвязанные операции сложения, умножения и сравнения чисел по величине и которая обладает определенного рода непрерывностью.

Свойства действительных чисел следующие:

1. Операция сложения. Для любой упорядоченной пары действительных чисел a и b определено, и притом единственным образом, число, называемое их суммой и обозначаемое через a + b, так, что при этом имеют место следующие свойства:

· Для любой пары чисел a и b

a + b = b + a.

Это свойство называется переместительным, или коммутативным законом сложения.

· Для любой тройки чисел a, b и c

a + (b + c)= (a + b)+ c.

Это свойство называется сочетательным, или ассоциативным законом сложения.

· Существует число, обозначаемое 0 и называемое нулем, такое, что для любого числа a

a + 0 = a.

· Для любого числа a существует число, обозначаемое –a и называемое противоположным данному, такое, что

a +(–a) = 0.

2. Операция умножения. Для любой упорядоченной пары чисел a и b определено, и притом единственным образом, число, называемое их произведением и обозначаемое ab, так, что при этом имеют место следующие свойства:

· Для любой пары чисел a и b

ab = ba.

Это свойство называется переместительным, или коммутативным законом умножения.

· Для любой тройки чисел a, b и c

a(bc) = (ab)c.

Это свойство называется сочетательным, или ассоциативным законом умножения.

· Существует число, обозначаемое 1 и называемое единицей, такое, что для любого числа a

a × 1 = a.

· Для любого числа a ≠ 0существует число, обозначаемое и называемое обратным данному, такое, что

а × = 1.

3. Связь операций сложения и умножения. Для любой тройки чисел a, b и c

(a + b)c = ac + bc.

Это свойство называется распределительным, или дистрибутивным законом умножения относительно сложения.

4. Упорядоченность. Для каждого числа a определено одно из соотношений a > 0, a = 0 или a < 0, при этом, если a > 0, b > 0, то

a + b > 0,

ab > 0.

Числовые последовательности

Рассмотрим ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, ¼, n – 1, n, ¼ .

Если заменить каждое натуральное число n в этом ряду некоторым числом a_n, следуя некоторому закону, то получим новый ряд чисел:

a₁, a₂, a₃, ¼, a_n_–1, a_n, ¼,

кратко обозначаемый и называемый числовой последователь-
ностью. Величина a_n называется общим членом числовой последовательности. Обычно числовая последовательность задается некоторой формулой a_n = f(n) позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n; эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задается путем описания ее членов.

По определению, последовательность всегда содержит бесконечное множество элементов: любые два разных ее элемента отличаются, по крайней мере, своими номерами, которых бесконечно много.

Числовая последовательность является частным случаем функции. Последовательность является функцией, определенной на множестве натуральных чисел и принимающей значения в множестве действительных чисел, т. е. функцией вида f: N ® R.

Последовательность называется возрастающей (убывающей), если для любого n Î N Такие последовательности называются строго монотонными.

Иногда в качестве номеров удобно использовать не все натуральные числа, а лишь некоторые из них (например, натуральные числа, начиная с некоторого натурального числа n₀). Для нумерации также возможно использование не только натуральных, но и других чисел, например, n = 0, 1, 2, ¼ (здесь в качестве еще одного номера к множеству натуральных чисел добавлен ноль). В таких случаях, задавая последовательность, указывают, какие значения принимают номера n.

Если в некоторой последовательности для любого n Î N то последовательность называется неубывающей (невозрастающей). Такие последовательности называются монотонными.

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 Следующая ⇒