Системы линейных уравнений и неравенств

Системой m линейных уравнений с n неизвестными x₁, x₂, ¼, x_n называется система вида

(1)

где а_ij и b_i – действительные числа (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n), которые называются соответственно коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравнений системы (1).

Матрица А = составленная из коэффициентов при неизвестных системы (1), называется матрицей системы (1).

Матрица-столбец В = составленная из свободных членов уравнений системы (1), называется столбцом свободных членов системы (1).

Матрица системы (1), дополненная столбцом свободных членов системы (1), называется расширенной матрицей системы (1):

А_В =

Линейным неравенством с двумя неизвестными х, у называется неравенство вида: ax + by + c £ 0 или ax + by + c £ 0, где a, b, c – действительные числа.

Решением линейного неравенства с двумя неизвестными х, у называется всякая упорядоченная пара действительных чисел (l₁; l₂), в результате подстановки которых вместо х, у соответственно неравен-
ство превращается в верное числовое неравенство.

С геометрической точки зрения пару действительных чисел (l₁; l₂), являющуюся решением линейного неравенства с двумя неизвестными х, у, можно рассматривать как координаты точки плоскости Оху.

Областью решений линейного неравенства с двумя неизвестными х, у называется множество точек плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют этому неравенству.

Теорема. Областью решений линейного неравенства с двумя неизвестными х, у вида ax + by + c ³ 0 служит одна из двух полуплоскостей, на которые всю плоскость Оху делит прямая ax + by + c = 0, включая и эту прямую, а другая полуплоскость вместе с той же прямой является областью решений неравенства ax + by + c £ 0.

Теорема. Область решений системы линейных неравенств с двумя неизвестными есть пересечение (общая часть) полуплоскостей, каждая из которых есть область решения соответствующего неравенства системы.

Комплексные числа

Комплексным числом z называется выражение вида z = а + bi, где а и b – действительные числа, i – мнимая единица, i² = –1.

Если а = 0, то число 0 + bi = bi называется чисто мнимым; если
b = 0, то число а + 0i = а отождествляется с действительным числом а.

Таким образом, множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т. е. R Ì С.

Для комплексного числа z = a +bi число а называется действительной частью комплексного числа z и обозначается а = Rez, а число b – мнимой частью комплексного числа z и обозначается b = Imz.

Два комплексных числа z₁ = а₁ + b₁i и z₂ = а₂ + b₂i называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части, т. е. а₁ = а₂, b₁ = b₂. В частности, комплексное число z = а + bi равно нулю тогда и только тогда, когда а = b = 0.

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней изображены действительные числа z = a +0i = а. Ось ординат называется мнимой осью, так как на ней изображены чисто мнимые комплексные числа z = 0 + bi = bi.

Аргументом комплексного числа z = а + bi называется величина угла φ (рисунок 22) между положительным направлением действительной оси Ох и вектором r, изображающим комплексное число. Обозначение: аrgz или φ.

Аргумент (главное значение аргумента) комплексного числа заключен в промежутке [0; 2π ).

Множество аргументов числа z обозначается Аrgz и Аrgz = аrgz +
+ 2π k, k Î Z.

С помощью модуля r и аргумента φ комплексное число z = а + bi можно представить в другом виде. Так как а = r cosφ, b = r sin φ (рисунок 22), то z = а + bi = r cosφ + r sinφ i или z = r (cosφ + i sinφ ), где

r = (3)

cosφ = , sin φ = . (4)

Запись числа z = а + bi в виде z = r (cosφ + i sinφ ), где r – модуль, а φ – аргумент числа z, называется тригонометрической формой комплексного числа z.

Два комплексных числа z₁ = r₁(cos φ ₁ + i sin φ ₁) и z₂ = r₂(cosφ ₂+ i sin φ ₂), заданных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную 2π, т. е. z₁ = z₂ Û r₁ = r₂, φ ₁ = φ ₂ + 2 π k, k Î Z.

Формула Эйлера имеет следующий вид:

(5)

Данная формула может быть записана в виде

(6)

Из формул (5) и (6) следует

сos .

Используя формулу (5), комплексное число z = r(cosφ + i sinφ ) можно записать в виде z = rеⁱ^φ, называемом показательной (или экспоненциальной) формой комплексного числа z.

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 Следующая ⇒